34 培优2 三角形中的几何计算（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦三角形中的几何计算，涵盖中线、角平分线及最值范围问题，以正余弦定理为基础，衔接平面向量知识，构建从基础应用到综合拓展的学习支架。 其亮点在于通过分类题型与典例解析，培养数学眼光观察几何关系，数学思维推理转化，数学语言表达公式与向量应用。例如用向量法推导中线长，等面积法解决角平分线问题，助力学生提升解题能力，为教师提供系统教学资源。

第六章 平面向量及其应用 培优2 三角形中的几何计算 1 正、余弦定理本身就是研究几何图形的边长、角度及面积的方法,因此 在面对几何图形时,关键是寻找相应的三角形,并在三角形中运用正、余弦 定理,特别是涉及公共边时,要利用公共边创造的互补或互余的关系列式,其 本质是构建关于角的关系的方程.解三角形问题还常常与基本不等式、向量、 三角函数及三角恒等变换知识综合考查. 2 类型一 三角形中的中线问题 求解三角形中的中线问题，主要有两种思路： （1）中线长定理：在中，是边 上的中线，则 ； （2）向量法： . 3 典例1 在中，内角，，所对的边分别为,, ，且满足 . （1）求 ； 【解】因为,所以 , 由正弦定理得 , 因为，所以,所以 , 所以,因为,,,所以 , 得,即,所以 . 4 （2）若,,是的中线，求 的长. 【解】 因为 , 所以,得 , 由余弦定理得 , 因为 ,所以 ,所以,即 的长为 . 5 类型二 三角形中的角平分线问题 求解三角形的角平分线问题主要有以下常用解法： 在中，平分,角，，所对的边分别为,, ， （1）利用角度的倍数关系： ; （2）内角平分线定理：为的内角的平分线，则 ; （3）等面积法：, （角平分线长公 式）. 6 典例2（1） 在中，角，，所对的边分别为,,, , ,.若的平分线与交于点，则 ( ) A A. B. C. D.3 7 【解析】 因为 , 所以 , 因为,所以,,所以,所以,所以 , 所以.因为平分,所以 ,所以 , 所以,所以 . 8 （2）在中，角，，所对的边分别为,, , ,的平分线交于点， ，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 如图所示，因为 ,所以 ,即 ，所以 . 9 类型三 三角形中的最值范围问题 解三角形中的最值（范围）问题主要有两种解决方法：一是将问题表 示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角 形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角 的范围确定最值（范围）. 10 典例3（1）（多选）设的内角，，的对边分别为,, ，若 , ,则下列选项正确的是( ) ABC A.外接圆的半径为 B.面积的最大值为 C.的最大值为2 D. 的最小值为32 11 【解析】 对于A，由正弦定理得,所以 外接圆的半 径，故A正确；对于B，由余弦定理得 ,即 ,当且仅当 时，等号成立，即 ,所以面积的最大值 ，故B正确； 对于C，由正弦定理得.又 , ,所以,又 ,所以 12 ，所以当，即时， 取得最大值，最大值为 2，故C正确；对于D，由余弦定理得 ,所以 ,当且仅当 时，等号成立，所以 的最大值为32，故D错误. （2）已知中，,,则 周长的最大值为_________. 解析：方法一：由正弦定理得 ,从而 , . 故 . 又，所以 ， 所以当，即时，周长取得最大值 . 14 方法二：由余弦定理得 ， 即 ， 所以 ， 又 ， 所以 ， 所以 ， 故，当且仅当 时，等号成立， 所以周长的最大值为 . 15 【尝试训练】 1.已知的面积为， ，,则 边上的中线长 为( ) C A. B.3 C. D.4 【解析】 选C.由题意结合正弦定理得 ,即 ,因为B，C为的内角，所以 或 ，当时， ，不符合三角形内角和定理， 当 时， ，故 ，因此，因为 的面积为，所以,解得 （负值已舍去），即 .由余弦定理可知 16 .设 边的中点为D，则 ,因此 . 故选C. 17 2.已知的内角，，的对边分别为,,, ,,角 的 平分线交于点，且，则 ( ) B A. B. C. D. 18 【解析】 选B.因为 ，角A的平分线交 于点D，所以 .又,所以 . 因为，所以， .由余弦定理可得 ,所以 ,解得 （负值已舍去）.在中，由正弦定理得 ,即 ,所以.因为,所以 .又因为 ,,所以,所以 为锐角， 所以 .故选B. 19 3.在中，内角，，所对的边分别为，， ，已知 ，若为的面积，则 的最小值为_____. 20 解析：由题意及正弦定理得， ， 即，而 ，故 ， 又，则，故 ， 而 ， ， 所以，当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 . 21 4.已知在中，角，，的对边分别为,, ，满足 . （1）求角 的大小； 解：因为 , 所以 , 22 所以 , 整理可得 ， 所以可得 , 因为,可得,,所以，可得 . 23 （2）若为锐角三角形，,求 周长的取值范围. 解：由正弦定理,且, , 所以, , 所以 . 24 因为 为锐角三角形， 所以 解得,所以 , 所以 , 即周长的取值范围是 . 25 $