培优2 三角形中的几何计算（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

培优2 三角形中的几何计算

正、余弦定理本身就是研究几何图形的边长、角度及面积的方法,因此在面对几何图形时,关键是寻找相应的三角形,并在三角形中运用正、余弦定理,特别是涉及公共边时,要利用公共边创造的互补或互余的关系列式,其本质是构建关于角的关系的方程.解三角形问题还常常与基本不等式、向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查.

类型一 三角形中的中线问题

求解三角形中的中线问题，主要有两种思路：

（1）中线长定理：在 中，是边 上的中线，则；

（2）向量法：.

典例1 在中，内角，，所对的边分别为,,，且满足.

（1） 求；

（2） 若,,是的中线，求的长.

【答案】

（1） 【解】因为,所以,

由正弦定理得,

因为，所以,所以,

所以,因为,,,所以,

得,即,所以.

 

（2） 因为,

所以,得,

由余弦定理得,

因为,所以,所以,即 的长为.

类型二 三角形中的角平分线问题

求解三角形的角平分线问题主要有以下常用解法：

在 中，平分,角，，所对的边分别为,,，

（1）利用角度的倍数关系：;

（2）内角平分线定理：为 的内角 的平分线，则;

（3）等面积法：,（角平分线长公式）.

典例2

（1） 在中，角，，所对的边分别为,,,,,.若的平分线与交于点，则（  ）

A.  B.  C.  D. 3

（2） 在中，角，，所对的边分别为,,, ,的平分线交于点，，则 （  ）

A.  B.

C.  D.

【答案】（1） A

（2） D

【解析】

（1） 因为,所以,因为,所以,,所以,所以,所以,所以.因为 平分,所以

,所以,所以,所以.

（2） 如图所示，因为,所以 ,即，所以.

类型三 三角形中的最值范围问题

解三角形中的最值（范围）问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值（范围）.

典例3

（1） （多选）设的内角，，的对边分别为,,，若,,则下列选项正确的是（  ）

A. 外接圆的半径为 B. 面积的最大值为

C. 的最大值为2 D. 的最小值为32

（2） 已知中，,,则周长的最大值为__________.

【答案】（1） ABC

（2）

【解析】

（1） 对于A，由正弦定理得,所以 外接圆的半径，故A正确；对于B，由余弦定理得,即,当且