培优2 三角形中的几何计算（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦三角形中的几何计算核心知识点，以正、余弦定理为基础，系统梳理中线问题（中线长定理、向量法）、角平分线问题（内角平分线定理、等面积法）及最值范围问题（基本不等式、三角函数有界性）的解题方法，构建递进式学习支架。 资料通过类型化方法总结与典例解析，引导学生用数学眼光观察几何元素关系，用数学思维构建角的关系方程，如中线问题结合向量法列式，角平分线问题运用等面积法推理。课中助力教师高效授课，课后学生可通过尝试训练巩固方法，查漏补缺，提升解题能力。

培优2 三角形中的几何计算 正、余弦定理本身就是研究几何图形的边长、角度及面积的方法,因此在面对几何图形时,关键是寻找相应的三角形,并在三角形中运用正、余弦定理,特别是涉及公共边时,要利用公共边创造的互补或互余的关系列式,其本质是构建关于角的关系的方程.解三角形问题还常常与基本不等式、向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查. 类型一 三角形中的中线问题 求解三角形中的中线问题，主要有两种思路： （1）中线长定理：在 中，是边 上的中线，则； （2）向量法：. 典例1 在中，内角，，所对的边分别为,,，且满足. （1） 求； （2） 若,,是的中线，求的长. 【答案】 （1） 【解】因为,所以, 由正弦定理得, 因为，所以,所以, 所以,因为,,,所以, 得,即,所以. （2） 因为, 所以,得, 由余弦定理得, 因为,所以,所以,即 的长为. 类型二 三角形中的角平分线问题 求解三角形的角平分线问题主要有以下常用解法： 在 中，平分,角，，所对的边分别为,,， （1）利用角度的倍数关系：; （2）内角平分线定理：为 的内角 的平分线，则; （3）等面积法：,（角平分线长公式）. 典例2 （1） 在中，角，，所对的边分别为,,,,,.若的平分线与交于点，则（ ） A. B. C. D. 3 （2） 在中，角，，所对的边分别为,,, ,的平分线交于点，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】（1） A （2） D 【解析】 （1） 因为,所以,因为,所以,,所以,所以,所以,所以.因为 平分,所以,所以,所以,所以. （2） 如图所示，因为,所以 ,即，所以. 类型三 三角形中的最值范围问题 解三角形中的最值（范围）问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值（范围）. 典例3 （1） （多选）设的内角，，的对边分别为,,，若,,则下列选项正确的是（ ） A. 外接圆的半径为 B. 面积的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为32 （2） 已知中，,,则周长的最大值为__________. 【答案】（1） ABC （2） 【解析】 （1） 对于A，由正弦定理得,所以 外接圆的半径，故A正确；对于B，由余弦定理得,即,当且仅当 时，等号成立，即,所以 面积的最大值，故B正确；对于C，由正弦定理得.又,,所以,又,所以，所以当，即 时，取得最大值，最大值为2，故C正确；对于D，由余弦定理得,所以,当且仅当 时，等号成立，所以 的最大值为32，故D错误. （2） 方法一：由正弦定理得,从而,.故.又，所以，所以当，即 时，周长取得最大值.方法二：由余弦定理得，即，所以，又，所以，所以，故，当且仅当 时，等号成立，所以 周长的最大值为. 【尝试训练】 1．已知的面积为， ，,则边上的中线长为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】选C.由题意结合正弦定理得,即,因为B，C为 的内角，所以 或 ，当 时， ，不符合三角形内角和定理，当 时， ，故 ，因此，因为 的面积为，所以,解得（负值已舍去），即.由余弦定理可知 .设 边的中点为D，则,因此.故选C. 2．已知的内角，，的对边分别为,,, ,,角的平分线交于点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.因为 ，角A的平分线交 于点D，所以 .又,所以.因为，所以，.由余弦定理可得 ,所以,解得（负值已舍去）.在 中，由正弦定理得,即,所以.因为,所以.又因为,,所以,所以 为锐角，所以.故选B. 3．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，若为的面积，则的最小值为________. 【答案】 【解析】由题意及正弦定理得，， 即，而 ，故， 又，则，故， 而， ， 所以，当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为. 4．已知在中，角，，的对边分别为,,，满足. （1） 求角的大小； （2） 若为锐角三角形，,求周长的取值范围. 【答案】 （1） 解：因为, 所以, 所以, 整理可得， 所以可得, 因为,可得,,所以，可得. （2） 由正弦定理,且,, 所以,, 所以. 因为 为锐角三角形， 所以 解得,所以, 所以, 即 周长的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $