6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例

学习目标

1.理解测量中有关名词、术语的确切含义. 2.能将实际问题转化为解三角形问题. 3.能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题.

新知学习 探究

新课导学

在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量.

思考 假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？

提示：问题转化为求不可到达的两点，之间的距离（如图），可选定可到达位置，用米尺测量，用测量角度的工具测得 ， , , , ,先在 中求出，再在 中求出，最后在 中求 即可.

一 实际问题中有关名词、术语

1.基线的概念与选取原则

（1）基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线.

（2）选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.

2.测量中相关角的概念

（1）仰角和俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示.

（2）方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点的方位角为 （如图1所示）.

（3）方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如北偏西 ，南偏东 （此时也称为东南方向，如图2所示）.

【即时练】

1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1） 在测量中，选取的基线越短，测量的精确度越高.（  ）

（2） 仰角与俯角都是目标视线与铅垂线所成的角.（  ）

（3） 方位角的范围是.（  ）

（4） “视角”就是“仰角”.（  ）

【答案】（1） ×

（2） ×

（3） ×

（4） ×

2．若在的北偏东方向上，则在的（  ）

A. 东偏北方向上 B. 东偏北方向上

C. 南偏西方向上 D. 西偏南方向上

【答案】C

【解析】选C.如图所示，可知 在 的南偏西 方向上，故选C.

3．从处望处的仰角为 ,从处望处的俯角为 ，则 , 的关系为（  ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】选B.根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示.由图知 .故选B.

分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角.

二 测量距离问题

例1

（1） [2024·河南郑州期中]海面上有相距的，两个小岛，从岛望岛和岛成 的视角，从岛望岛和岛成 的视角，则，间的距离为（  ）

A.  B.  C.  D.

（2） （对接教材例9）如图，为了测量，两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度单位：，，，，且，，，四点共圆，则的长为______.

【答案】（1） D

（2） 7

【解析】

（1） 如图，由题意得 , ,,则 ，所以,所以,即B,C间的距离为.故选D.

（2） 因为，，，四点共圆，圆内接四边形的对角和为 ，所以 ，所以由余弦定理可得,①,