6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦余弦定理、正弦定理在实际测量中的应用，先明确基线、仰角、俯角等测量术语，再系统梳理距离（两点可达或不可达）、高度（底部可达或不可达）、角度问题的转化方法，构建从概念到应用的完整学习支架。 以故宫角楼高度测量等真实情境引导问题转化，通过分类表梳理测量方案培养数学思维，即时练与跟踪训练强化应用。课中助教师清晰授课，课后助学生查漏补缺，提升用数学语言表达实际问题的能力。

第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例 学习目标 1.理解测量中有关名词、术语的确切含义. 2.能将实际问题转化为解三角形问题. 3.能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题. 新知学习 探究 新课导学 在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量. 思考 假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？ 提示：问题转化为求不可到达的两点，之间的距离（如图），可选定可到达位置，用米尺测量，用测量角度的工具测得 ， , , , ,先在 中求出，再在 中求出，最后在 中求 即可. 一 实际问题中有关名词、术语 1.基线的概念与选取原则 （1）基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线. （2）选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 2.测量中相关角的概念 （1）仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示. （2）方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点的方位角为 （如图1所示）. （3）方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如北偏西 ，南偏东 （此时也称为东南方向，如图2所示）. 【即时练】 1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 在测量中，选取的基线越短，测量的精确度越高.（ ） （2） 仰角与俯角都是目标视线与铅垂线所成的角.（ ） （3） 方位角的范围是.（ ） （4） “视角”就是“仰角”.（ ） 【答案】（1） × （2） × （3） × （4） × 2．若在的北偏东方向上，则在的（ ） A. 东偏北方向上 B. 东偏北方向上 C. 南偏西方向上 D. 西偏南方向上 【答案】C 【解析】选C.如图所示，可知 在 的南偏西 方向上，故选C. 3．从处望处的仰角为 ,从处望处的俯角为 ，则 , 的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示.由图知 .故选B. 分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角. 二 测量距离问题 例1 （1） [2024·河南郑州期中]海面上有相距的，两个小岛，从岛望岛和岛成 的视角，从岛望岛和岛成 的视角，则，间的距离为（ ） A. B. C. D. （2） （对接教材例9）如图，为了测量，两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度单位：，，，，且，，，四点共圆，则的长为______. 【答案】（1） D （2） 7 【解析】 （1） 如图，由题意得 , ,,则 ，所以,所以,即B,C间的距离为.故选D. （2） 因为，，，四点共圆，圆内接四边形的对角和为 ，所以 ，所以由余弦定理可得,①,②联立①②，解得. 测量距离问题的基本类型及方案 类型 ，两点间不可达或不可视 ，两点间可视，但有一点不可达 ，两点都不可达 图形 方法 先测角，，，再用余弦定理求 以点不可达为例，先测角，，，再用正弦定理求 测得，,,,,,在中用正弦定理求；在中用正弦定理求；在中用余弦定理求 ［跟踪训练1］．一个骑行爱好者从地出发向西骑行了到达地，然后再由地向北偏西 骑行到达地，再从地向南偏西 骑行了到达地，则地到地的直线距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.如图，在 中， ，，，依题意， ,在 中，由余弦定理得，,由正弦定理得，,在 中，,由余弦定理得,,所以A地到D地的直线距离是.故选B. 三 测量高度问题 例2 （1） 如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔,速度为，飞行员先看到山顶的俯角为 ，经过后又看到山顶的俯角为 ，则山顶的海拔高度为（ ） A. B. C. D. （2） （对接教材例10）如图所示，在地面上共线的三点，，处测得一建筑物的仰角分别为 , , ,且，则建筑物的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） C （2） D 【解析】 （1） 如图，过点C作 于点D.由题意知 ， ,则 ，.在 中，由正弦定理，得.在 中，,所以山顶的海拔高度为.故选C. （2） 设建筑物的高度为.由题图知，,,.在 和 中，由余弦定理的推论得,,①.②因为 ,所以.③由①②③，解得 或（舍去）.即建筑物的高度为. 测量高度问题的基本类型及方案 类型 图形 方法 底部可达 测得,, 底部不可达 点与，共线 测得及与的度数.先由正弦定理求出或，再解直角三角形得的值 点与，不共线 测得及，，的度数.在中，由正弦定理求得，再解直角三角形得的值 ［跟踪训练2］．在高的山顶上，测得山下塔顶与塔底的俯角分别为 和 ，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.如图,从塔顶向山体引一条垂线,垂足为.则 , ,因为,所以，所以,所以塔高,故选C. 四 测量角度问题 例3 （对接教材例11）某货船在一海域航行中遭遇突发情况，发出求救信号，如图，某海军护航舰在处获悉后，立即测出该货船在方位角为 ，距离为的处，并测得货船正沿方位角为 的方向，以的速度向前行驶，该海军护航舰立即以的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间. 【解】 设所需时间为，在 中，根据余弦定理，有 ，可得 ， 整理得，解得 或（舍去）. 故护航舰靠近货船需. 此时，，又，所以 ，所以护航舰航行的方位角为 . 测量角度问题的解题思路 ［跟踪训练3］．某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚处测得 ,沿土坡向坡顶前进后到达处，测得 .已知旗杆，,土坡对于地平面的坡度为 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.在 中， ,由正弦定理得,在 中，,故,易知,所以. 课堂巩固 自测 1．从地面上观察一处建在山顶上的建筑物，测得其视角为 ，同时测得建筑物顶部仰角为 ，则山顶的仰角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.如图可知，山顶的仰角为 .故选C. 2．如图，某研究小组为测量某楼房的高度，在地面处测得房顶的仰角为 ，在距离处的地面处测得房顶的仰角为 ，并测得 ，则该楼房的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.根据题意可知，,均为直角三角形， , ,设,则,,在 中，由余弦定理的推论得,解得 或（舍去）,所以楼房的高度为. 3．（教材P53T8改编）如图，已知现存某斜塔塔身高为，塔身向北偏东 方向倾斜.为寻找适当观察视角，某游客在地面处测得斜塔塔尖的仰角为 ，向斜塔方向前行至点，测得仰角为 （若，，三点共线，，，，四点共面），则间距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.由题意可得 , , ,,在 中，根据正弦定理可得,,解得.在 中，因为 ,所以根据正弦定理可得, 又因为, 故. 4．（教材P51T3改编）甲船在点发现乙船在北偏东 的处，乙船以每小时的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解：如图所示，设经过 两船在 点相遇， 则在 中，，， .由， 得. 因为 ，所以 ， 所以 ，所以甲船应沿着北偏东 的方向前进，才能最快与乙船相遇. 1.已学习：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案. 2.须贯通：求解不可到达的距离、高度、角度等实际问题时，策略就是把实际问题转化为解三角形问题，体现了转化与化归和数形结合的思想方法. 3.应注意：测量中有关术语的含义，如方位角、方向角. 学科网（北京）股份有限公司 $