6.4.3 第3课时 用余弦、正弦定理解三角形（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦正弦、余弦定理的综合应用这一核心知识点，承接前两课时的定理学习，系统梳理三角形面积公式（含边角正弦形式、内切圆半径公式等）、多边形计算及综合问题，构建从定理到应用的完整学习支架。 资料以“思考-探究-应用”为主线，通过多条件例题（如例1三选一）培养学生数学思维的严谨性，结合高考真题（2024新课标Ⅰ卷）提升用数学语言解决实际问题的能力。课中助力教师分层教学，课后跟踪训练与巩固题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第3课时 用余弦、正弦定理解三角形 学习目标 1.利用正弦、余弦定理研究三角形中边与角的关系. 2.掌握三角形的面积公式，能熟练求出三角形的面积. 3.掌握正弦、余弦定理的综合应用. 新知学习 探究 新课导学 我们前两节课学习了余弦定理和正弦定理，利用这两个定理可以求解下列条件下的三角形问题： （1）已知两边和夹角； （2）已知三边； （3）已知两角和一边； （4）已知两边和其中一边的对角. 思考 你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗？ 提示：. 一 三角形面积的计算 （1）,,分别表示,,上的高. （2）. （3）为内切圆的半径. （4）其中. 例1 在,,这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答. 在中，内角，，的对边分别为,,，且  . （1） 求角的大小； （2） 若,，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】 （1） 【解】选条件①. 因为, 所以. 因为 ,所以, 所以, 即,因为 , 所以, 则,. 选条件②. 因为, 所以, 所以. 因为 ,所以, 所以,即. 又 ,所以. 选条件③. 因为, 所以, 即. 因为 ,所以,所以,即. 又 ,所以. （2） 因为, ,所以. 由, 可得, 所以, 则 的面积. 求三角形面积的解题思路 在应用三角形面积公式求解时，一般是已知哪个角就使用哪一个相应的公式. ［跟踪训练1］． （1） 在中，已知,且的面积为,则（ ） A. B. C. 或 D. 或 （2） 在中，,,分别是角，，的对边，若,,，则的面积为________. 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 选D.由面积公式,解得,所以 或 .故选D. （2） 依题意,由正弦定理得,,,所以,所以,所以 的面积为. 二 多边形中的计算问题 例2 如图，在平面四边形中，,,,.求： （1） ; （2） 的长. 【答案】 （1） 【解】在 中，由余弦定理得,即,所以（负值已舍去）. 由正弦定理可得, 即. （2） 在 中，由正弦定理得 , 所以. 在 中，由正弦定理得 , 所以. 因为,, 所以, 所以, 所以,所以. 多边形中计算问题的解题思路 （1）正确挖掘图形中的几何条件，简化运算是解题要点，还要善于应用正弦定理、余弦定理.只需通过解三角形，一般问题便能很快解决. （2）解决此类问题的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件. ［跟踪训练2］．如图，在圆内接四边形中， ，，，的面积为.求： （1） ； （2） . 【答案】 （1） 解：因为 的面积为， 所以. 又因为 ，，所以. 由余弦定理得，，所以. （2） 因为四边形 为圆内接四边形，且 ，所以 . 又，由正弦定理可得，故. 因为，所以 ， 所以 . 三 正弦定理、余弦定理的综合问题 例3 [2024·新课标Ⅰ卷]记的内角，，的对边分别为，，，已知，. （1） 求； （2） 若的面积为，求． 【答案】 （1） 【解】由余弦定理得, 又 ,所以. 所以,所以, 又 ，所以. （2） 由（1）得， . 由正弦定理,得,所以. 所以 的面积,得. 利用正弦定理、余弦定理求解综合问题 （1）三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，寻找三角形中的边角关系. （2）抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键. ［跟踪训练3］．[2024·浙江金华期中]（多选）在中，内角，，的对边分别是,,，且满足，则（ ） A. B. 若,则周长的最大值为 C. 若为的中点，且，则的面积的最大值为 D. 若角的平分线与边的相交于点，且，则的最小值为9 【答案】ACD 【解析】选.由 及正弦定理可得,又，所以,所以,则,因为,所以,故A正确； 若，则 的外接圆直径,所以，由,,得，,所以，所以 周长的最大值为9，故B错误；若D为 的中点，且， 则, 则,所以,当且仅当 时，等号成立，所以，故C正确; 由题意得, 即，即,即, 所以,当且仅当 时，等号成立，故D正确.故选. 课堂巩固 自测 1．（教材 改编）在中，若，， ，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】选A.由余弦定理，得，即 ，化简得，解得 或（舍去）.故选A. 2．[2024·河南南阳期中]已知,,分别表示中内角，，所对的边长，若 ,,,则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.因为 ，,,所以 ,所以.由余弦定理可知,所以,,所以由正弦定理得.故选A. 3．（多选）在中，，，，则的面积可以是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】AD 【解析】选.因为，，，由余弦定理，得， 所以， 所以 或. 当 时，， 当 时，. 综上，或. 4．（教材P54T22改编）已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1） 求； （2） 若，求面积的最大值. 【答案】 （1） 解：根据正弦定理及， 得. 因为，所以，所以，因为 ，所以. （2） 由（1）知，又，由余弦定理得， 即，所以, 即，当且仅当 时取等号. 所以. 所以 面积的最大值为. 1.已学习：三角形的面积公式及正弦、余弦定理的综合应用. 2.须贯通：结合条件能顺利选择三角形的面积公式、正确选择正弦或余弦定理结合三角恒等变换实现边与角的互化，应用转化与化归、数形结合的思想方法. 3.应注意：利用正弦定理进行边和角的相互转化的等价性. 学科网（北京）股份有限公司 $