6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦平面向量在平面几何与物理中的应用这一核心知识点，前承向量的线性运算与数量积，通过“三步曲”（几何元素向量化、向量运算、结果几何化）搭建学习支架，系统梳理几何中的夹角距离计算、证明及物理中力与速度的合成问题。 资料以生活情境（两人提行李）引入，培养数学眼光，通过基底法与坐标法解决几何证明（如梯形中位线定理），渗透数学思维，用向量语言精准描述物理量关系，课中例题解析助教师高效授课，课后跟踪训练与自测题帮学生查漏补缺，强化应用意识。

6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 学习目标 1.能用向量方法解决简单的平面几何问题. 2.能用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题. 新知学习 探究 新课导学 日常生活中，我们会看到如图所示的情况，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为 思考 两人的拉力大小和 的关系. 提示：由 为定值，所以， 解得. 因为当 时， 单调递减， 所以 单调递增, 即 越大越费力， 越小越省力. 一 平面向量在平面几何中的应用 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用①____表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成②____关系. 【答案】向量； 几何 角度1 夹角、距离问题 例1 （1） 在中， ，，，，，与交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. （2） 在平行四边形中，，垂足为，若，则______. 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 建立如图所示的平面直角坐标系，则,，，，得,，所以.故选D. （2） 如图，在平行四边形 中，设 与 交于点，则，因为，所以，因为，所以，所以，解得. （1）用向量方法求长度的策略 ①利用图形特点选择基底，通过向量的数量积转化，用公式求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式.若，则. （2）向量数量积、夹角的计算 利用向量或坐标表示出未知向量，代入相应的公式进行计算. ［跟踪训练1］． （1） 在矩形中，，，若，则与的夹角为________. （2） 如图所示，在矩形中，，点为的中点，且，则________. 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） 方法一：由，，得，由勾股定理得，，又，，，，故，所以，，得, .方法二：以 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系,则，，，，则，，故，,得， . （2） 以 为坐标原点，所在直线为 轴，所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设，则，，，，所以，，因为，所以，所以，即,解得（负值已舍去）,所以,所以. 角度2 平面几何证明问题 例2 （1） （对接教材例1）用向量的方法证明梯形的中位线定理：梯形的中位线（连接梯形两腰中点的线段）平行于两底，并且等于两底和的一半； （2） 在中，，，是三条边上的高，求证：，，相交于一点. 【答案】 （1） 【证明】因为 所以, 又,分别为,的中点， 则，， 所以, 因为四边形 为梯形，所以, 不妨设, 则， 所以，即， 所以. 因为, 所以, 所以，即命题得证. （2） 如图设，交于点，则只需证明 在 上， 因为，， 所以,， 即，① ，② 得，， 即， 所以，又，所以 在 上， 即，，相交于一点. 用向量证明平面几何问题的基本思路及步骤 （1）基底法 ①选取基底;②用基底表示相关向量;③利用向量的线性运算或数量积找相应关系;④把几何问题向量化. （2）向量的坐标运算法 ①建立适当的平面直角坐标系;②把相关向量坐标化;③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化. ［跟踪训练2］．在直角梯形中，， ，，求证：. 证明：方法一：因为 ，，， 所以设,,, 则. 所以， . 而 ， 所以，即. 方法二：如图，建立平面直角坐标系,设，则， ，. 所以，. 所以. 所以. 二 向量在物理中的应用 （1）由于力、速度等物理量既有大小又有方向，因此可以利用向量表示，进而利用向量知识解决相关的问题. （2）此类题目往往借助向量加法的平行四边形法则，把力、速度等物理量分解或者合成，再根据三角形知识解题. 例3 （1） （对接教材例4）如图，已知河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为.若此人实际前进方向与水流方向垂直，且，则他游泳的方向与水流方向的夹角 为（ ） A. B. C. D. （2） 如图所示，把一个物体放在倾斜角为 的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，垂直斜面向上的弹力，沿着斜面向上的摩擦力.已知 ，，则的大小为____________. 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 如图，设,,，则由题意知，，根据向量加法的平行四边形法则得四边形 为平行四边形.由题意知，且，，如图所示，则在 中，，.又，所以，则. （2） 由题设得. 用向量方法解决物理问题的四个步骤 ［跟踪训练3］． （1） （多选）在水流速度大小为 的河水中，一艘船以大小的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船在静水中航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ） A. 这艘船在静水中航行速度的大小为 B. 这艘船在静水中航行速度的大小为 C. 这艘船在静水中航行速度的方向与水流方向的夹角为 D. 这艘船在静水中航行速度的方向与水流方向的夹角为 （2） 一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为 （ ） A. 24 B. C. D. 【答案】（1） BD （2） A 【解析】 （1） 选.如图，设船的实际航行速度为，水流速度为，船在静水中航行速度为，根据向量的平行四边形法则可知.设船在静水中航行速度的方向和水流方向的夹角为 ，则，所以， ，船在静水中的速度为，航行速度方向与水流方向的夹角为 .故B，D正确，故选. （2） 选A.由题意可知，，的合力，，则由共点力平衡得合力 对该质点所做的功为.故选A. 课堂巩固 自测 1．（教材P39T2改编）在中， ，，，为的中点，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】选B.如图，以B为原点，，所在直线分别为 轴、轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 所以，. 又 为，的夹角， 所以. 2．（多选）（教材P52T1改编）点是所在平面内一点,满足,则的形状不可能是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】AD 【解析】选.因为 是 所在平面内一点， 且， 所以， 即， 所以， 两边平方并化简得， 所以， 所以 ， 则 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不可能是钝角三角形，等边三角形.故选. 3．已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.因为两个力，的夹角为，所以，又因为它们的合力大小为，合力与 的夹角为，所以，解得.故选A. 4．如图，在平行四边形的对角线所在的直线上取两点，，使.用向量方法证明：四边形是平行四边形. 证明：如图，，.因为四边形 是平行四边形，所以，又，从而，所以，即 与 平行且相等，所以四边形 是平行四边形. 1.已学习：平面向量在几何、物理中的应用. 2.须贯通：用向量解决几何、物理问题时，先把有关问题转化为向量问题，再通过向量的线性运算或数量积运算解决该问题，最后一定要回归到所研究问题上，体现了转化与化归的思想方法. 3.应注意：忘记把向量运算的结果转化为几何、物理问题. 学科网（北京）股份有限公司 $