6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.4 平面向量的应用

6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例

学习目标

1.能用向量方法解决简单的平面几何问题. 2.能用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题.

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新课导学

日常生活中，我们会看到如图所示的情况，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为

思考 两人的拉力大小和 的关系.

提示：由 为定值，所以，

解得.

因为当 时， 单调递减，

所以 单调递增,

即 越大越费力， 越小越省力.

一 平面向量在平面几何中的应用

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”

（1）建立平面几何与向量的联系，用①____表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

（3）把运算结果“翻译”成②____关系.

【答案】向量； 几何

角度1 夹角、距离问题

例1

（1） 在中， ，，，，，与交于点，则的值为（  ）

A.  B.  C.  D.

（2） 在平行四边形中，，垂足为，若，则______.

【答案】（1） D

（2）

【解析】

（1） 建立如图所示的平面直角坐标系，则,，，，得,，所以.故选D.

（2） 如图，在平行四边形 中，设 与 交于点，则，因为，所以，因为，所以，所以，解得.

（1）用向量方法求长度的策略

①利用图形特点选择基底，通过向量的数量积转化，用公式求解.

②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式.若，则.

（2）向量数量积、夹角的计算

利用向量或坐标表示出未知向量，代入相应的公式进行计算.

［跟踪训练1］．

（1） 在矩形中，，，若，则与的夹角为________.

（2） 如图所示，在矩形中，，点为的中点，且，则________.

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1） 方法一：由，，得，由勾股定理得，，又，，，，故，所以，，得, .方法二：以 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系,则，，，，则，，故，,得， .

（2） 以 为坐标原点，所在直线为 轴，所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设，则，，，，所以，，因为，所以，所以，即,解得（负值已舍去）,所以,所以.