6.4.1 平面几何中的向量方法&6.4.2 向量在物理中的应用举例 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6．4.1　平面几何中的向量方法 6．4.2　向量在物理中的应用举例 学业标准 素养目标 1.理解用向量方法解决简单的平面几何问题、物理问题及其他一些实际问题．(重点) 2．掌握用向量方法解决问题的步骤，体会向量解决问题的优越性．(难点) 1.通过向量解决平面几何中的问题，培养数学抽象和数学运算等核心素养． 2．借助向量在物理中的应用举例，提升数学建模等核心素养. 导学1 用向量解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 导学2 用向量解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题． (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型． (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等． (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．(　　) (2)若△ABC为直角三角形，则有·＝0.(　　) (3)若向量∥，则AB∥CD.(　　) (4)物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若向量＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|＝(　　) A．(0,5)　　　　　　 B．(4，－1) C．2 D．5 答案　D 3．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC的形状是(　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定 答案　C 4．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做的功是________． 答案　－11 如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于点E.求BE∶EC. [解析]　解法一　设＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2， 则a·b＝|a||b|cos 60°＝1，＝a＋b. 设＝λ＝λb，则＝－＝λb－a. 由AE⊥BD，得·＝0，即(λb－a)·(a＋b)＝0， 解得λ＝，所以BE∶EC＝∶＝2∶3. 解法二　以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设B(0,0)，C(2，0)， 则A，D. 设E(m,0)，则＝， ＝， 由AE⊥BD，得·＝0， 即－×＝0， 解得m＝， 所以BE∶EC＝∶＝2∶3. 用向量方法解决平面几何问题的步骤 　 [触类旁通] 1．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 解析　设＝a，＝b， 则＝a－b，＝a＋b， 而||＝|a－b|＝ ＝＝＝2， 所以5－2a·b＝4，所以a·b＝， 又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2 ＝1＋4＋2a·b＝6， 所以||＝，即AC＝. 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. [证明]　证法一　设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋， ＝＋＝b＋， 所以·＝· ＝－－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 证法二　如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)， 则＝(2,1)，＝(1，－2)． 因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的三个步骤 ①选取基底，用基底表示相关向量； ②利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ③把计算所得结果转化为几何问题． (2)向量的坐标运算法的三个步骤 ①建立适当的平面直角坐标系，把相关向量坐标化； ②利用向量的坐标运算找到相应关系； ③利用向量关系回答几何问题．　 [触类旁通] 2．如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ 解析　第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． 如图，取{，}为基底，设＝a，＝b， 则＝a＋b，＝a－b. 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系． 2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2， 2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2， 上面两式相加，得2＋2＝2(a2＋b2)． 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系． AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)． (1)一个质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角且|F1|＝2，|F2|＝4，则|F3|＝(　　) A．6　　　　　　　 B．2 C．2 D．2 (2)在风速为75(－)km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向． (1)[解析]　因为物体处于平衡状态， 所以F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)， 所以|F3|＝|F1＋F2|＝ ＝ ＝＝2. [答案]　D (2)[解析]　设ω＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞机的航行速度，vb＝va－ω.如图所示． 设||＝|va|，||＝|ω|， ||＝|vb|， 作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E， 则∠BAD＝45°. 设||＝150，则||＝75(－)， ∴||＝||＝||＝75，||＝75. 从而||＝150，∠CAD＝30°， ∴|vb|＝150 km/h，方向为北偏西60°. [素养聚焦]　利用平面向量在物理中的应用，把数学建模和数学运算等核心素养体现在解题过程中． 　 [触类旁通] 3．(1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ (2)已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功(力的单位：N，位移的单位：m)． 解析　(1)如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度． 因为＋＝， 所以四边形ABCD为平行四边形． 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5，||＝25，所以∠CAD＝30°， 即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°. (2)设物体在力F作用下的位移为s， 则所做的功为W＝F·s. ∵＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)． ∴W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)． 知识落实 技法强化 (1)用向量解决平面几何中的平行(或共线)、长度、角度问题． (2)利用向量证明平面几何问题． (3)利用向量的运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解、力所做的功的问题. 解题过程中易出现不能将几何、物理问题转化为向量问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$