强化课 平面向量数量积的应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

强化课 平面向量数量积的应用

题型一 平面向量数量积的计算

例1

（1） 如图，在中， ，为的中点，，，，则（  ）

A.  B.  C. 13 D. 15

（2） 如图所示，正方形的边长为1，，分别在轴的正半轴、轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是______.

【答案】（1） C

（2） 2

【解析】

（1） 方法一（基底法）：因为 ，为 的中点，，，所以，所以，又，所以，所以 .方法二（坐标法）：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，.在 中，，又，所以，即，则 ，，同理，，所以，，，

，则.

（2） 如图，取 的中点，的中点，连接，，，则.因为，当且仅当，，三点共线时取等号，所以 的最大值为2.

平面向量数量积的运算方法

（1）当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即（ 为非零向量,的夹角）.

（2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若,,则.

（3）选择合适的基底，转化为基底去解决问题.

（4）利用数量积的几何意义（投影向量）求解.

［跟踪训练1］．

（1） 在矩形中，，，若点，分别是，的中点，则（  ）

A.  B.  C.  D.

（2） [2024·北京东城区期末]在矩形中，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是____________.

【答案】（1） B

（2）

【解析】

（1） 选B.以点A为坐标原点，，所在直线分别为 轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，，，，，所以.故选B.

（2） 以 为坐标原点，，的方向分别为 轴、轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则，.设，所以，，所以.因为，所以，即 的取值范围是.

题型二 平面向量数量积的应用

角度1 求向量的模

例2 在平行四边形中，点是边的中点，点在边上，满足.若，，且，则______.

【答案】1

【解析】以 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.

设，则由题意可得，，，，，.

所以，，