强化课 平面向量数量积的应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦平面向量数量积的应用这一核心知识点，系统梳理数量积的计算方法（定义法、坐标法、基底法），延伸至求向量模、夹角、判定垂直关系及与三角函数的综合应用，构建从基础运算到实际问题解决的学习支架。 该资料通过分层题型设计（如例1用基底法与坐标法解题）培养数学思维的逻辑性，结合三角函数综合题（例5）提升数学语言表达能力，跟踪训练强化知识应用。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，发展数学眼光与应用意识。

强化课 平面向量数量积的应用 题型一 平面向量数量积的计算 例1 （1） 如图，在中， ，为的中点，，，，则（ ） A. B. C. 13 D. 15 （2） 如图所示，正方形的边长为1，，分别在轴的正半轴、轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是______. 【答案】（1） C （2） 2 【解析】 （1） 方法一（基底法）：因为 ，为 的中点，，，所以，所以，又，所以，所以 .方法二（坐标法）：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，.在 中，，又，所以，即，则 ，，同理，，所以，，，，则. （2） 如图，取 的中点，的中点，连接，，，则.因为，当且仅当，，三点共线时取等号，所以 的最大值为2. 平面向量数量积的运算方法 （1）当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即（ 为非零向量,的夹角）. （2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若,,则. （3）选择合适的基底，转化为基底去解决问题. （4）利用数量积的几何意义（投影向量）求解. ［跟踪训练1］． （1） 在矩形中，，，若点，分别是，的中点，则（ ） A. B. C. D. （2） [2024·北京东城区期末]在矩形中，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是____________. 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选B.以点A为坐标原点，，所在直线分别为 轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，，，，，所以.故选B. （2） 以 为坐标原点，，的方向分别为 轴、轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则，.设，所以，，所以.因为，所以，即 的取值范围是. 题型二 平面向量数量积的应用 角度1 求向量的模 例2 在平行四边形中，点是边的中点，点在边上，满足.若，，且，则______. 【答案】1 【解析】以 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系. 设，则由题意可得，，，，，. 所以，， ，， 因为，所以， 即， 所以，解得 或（舍去），所以. 求向量的模的方法 （1）公式法：利用及,把向量模的运算化为数量积运算； （2）几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，然后求解. 角度2 求夹角 例3 已知矩形的边长满足，点满足，则的值为__________. 【答案】 【解析】以点 为坐标原点，，所在直线分别为 轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系，设， 则，，，， ，，则点，， 所以，，，， 因此， ， . . 求平面向量的夹角的方法 （1）定义法：由向量数量积的定义知，,其中两个向量的夹角 的范围为，求解时应求出三个量：,,或者找出这三个量之间的关系； （2）坐标法：若,,则 . 角度3 垂直关系的判定 例4 在中，，点. （1） 若，且，，三点能构成直角三角形，求点的坐标； （2） 轴上是否存在点，，满足？若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1） 【解】设点，则，，. 因为，所以，所以. 因为,所以 . 当 时，，所以. 又因为，所以 或. 所以点 的坐标为 或. 当 时，，所以. 又因为，所以. 所以点 的坐标为，或. 综上所述，点 的坐标为 或 或，或. （2） 存在.依题意可设点，， 则，. 因为，，所以,，② 联立①②解得 或 所以点，的坐标分别为，或，. 求两向量垂直的方法 （1）定义法：（其中,）. （2）坐标法：若，，则. ［跟踪训练2］． （1） 已知单位向量，满足，若向量，则，（ ） A. B. C. D. （2） （多选）是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） A （2） AC 【解析】 （1） 选A.因为，是单位向量，所以，又因为，，所以 ，，所以，，因为两个向量夹角的范围为，所以，. （2） 选.由题意可知，，则，故选项A正确；，故选项B错误；，则，故选项C正确；，即，故选项D错误. 题型三 数量积与三角函数 例5 已知向量，,，函数.求： （1） 的值； （2） 函数在上的值域. 【答案】 （1） 【解】, 所以. （2） 由（1）知,因为,所以, 当，即 时，有最小值； 当，即 时，有最大值1. 所以函数 在 上的值域为. 向量坐标中含有三角函数时，先运用向量的相关知识，得到三角函数式，然后利用三角函数的相关知识求解. ［跟踪训练3］． （1） [2024·湖北武汉联考]（多选）已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 的值为 C. 的取值范围为 D. 存在 ，使得 （2） 已知向量，， .且与的模相等，求 的值.（其中为非零实数） 【答案】（1） AB （2） 解：依题意，. 因为, 所以， 即， 即, 整理得. 因为 ，则 ， ， 所以， 所以. 【解析】 （1） 选.对于A，若，则 ，所以，故A正确；对于B，若，则，所以，因为 ，所以 的值为，故B正确；对于C，，因为 ，所以，，所以 的取值范围为，故C错误；对于D，，所以 ，，若，则，得，解得，因为 ，所以 ，解得，因为，所以无解，故D错误.故选. 学科网（北京）股份有限公司 $