强化课 古典概型的综合应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学古典概型的综合应用，系统梳理概率性质（如互斥事件概率加法）、模型构建（如树状图列举样本点）、与统计结合（如用频率估计概率）的脉络，搭建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料通过球队队员抽取、摸球等现实情境培养数学眼光，借助树状图等方法发展数学思维中的推理能力，结合统计案例提升数学语言表达能力。课中辅助教师授课，课后跟踪训练助力学生查漏补缺。

强化课 古典概型的综合应用 题型一 古典概型和概率性质的综合应用 例1 某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员参加了不止一支球队，具体情况如图所示. 现从中随机抽取一名队员，求： （1） 该队员只属于一支球队的概率； （2） 该队员最多属于两支球队的概率. 【答案】 例1 【解】 分别设“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件,,.由题图知3支球队共有球员20名. 则，,. （1） 设“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件. 则,因为事件,,两两互斥， 所以. （2） 设“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件，则 为“抽取一名队员，该队员属于三支球队”， 所以. 在求解较复杂事件的概率时，可将事件进行标记，分解成若干个事件和或积的形式，然后根据事件之间的关系选择利用合适的概率公式求解. ［跟踪训练1］．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数.事件“两数之和为8”，事件“两数之和是3的倍数”.求： （1） 事件，发生的概率； （2） 事件与事件至少有一个发生的概率. 【答案】 （1） 解：由题意得，样本空间,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 共有36个样本点，它们是等可能发生的，故这是个古典概型. ,,,,，共5个样本点，所以事件 发生的概率为. ,,,,,,,,,,,， 共12个样本点.所以事件 发生的概率. （2） 事件 与事件 至少有一个发生，即事件，因为，不可能同时发生，即，互斥，所以. 题型二 概率模型的构建 例2 已知一袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，现有四个人按顺序依次从中摸出一个球.试计算第二个人摸到白球的概率. 【解】 方法一：用 表示事件“第二个人摸到白球”，把2个白球编上序号1，2；2个黑球也编上序号1，2. 则四个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有样本点，可用树状图直观地表示出来，如图所示， 由图可知，试验的样本点总数是24，其中第二个人摸到白球的样本点是12个，由于各样本点出现的可能性相同，所以第二个人摸到白球的概率. 方法二：用 表示事件“第二个人摸到白球”，把2个白球编上序号1，2，2个黑球也编上序号1，2，四个人按顺序依次从袋中摸出一个球，前两人摸出的球的所有样本点如图所示， 由图可知，试验的样本点总数是12，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同， 所以这12个样本点出现的可能性相同， 其中，第二个人摸到白球的样本点有6个， 故第二个人摸到白球的概率. 古典概型的构建策略 求解古典概型问题的关键是样本点的列举.当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法，树状图可以清晰准确地列出所有的样本点. ［跟踪训练2］．把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.方法一：分三类情况，第一类，1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法； 第二类，2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法； 第三类，3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法． 共有18种分法，则2，3连号的概率为． 方法二:不考虑甲、乙、丙分得的卡片情况，两张卡片连号的情况只有三种12，23，34，则2，3连号的概率为. 题型三 概率与统计的综合应用 例3 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示． 一次购物量 1件 5件 9件 13件 17件 顾客数（人） 30 25 10 结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占． （1） 确定,的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均数； （2） 求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率. 【答案】 （1） 【解】由已知得，，所以,． 顾客一次购物的结算时间的平均数可用样本平均数估计，其估计值为 （分钟）． （2） 记 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，，分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得，. . 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为. 概率问题常常与统计问题结合在一起考查.在此类问题中，概率与频率的区别并不是十分明显，通常直接用题目中的频率代替概率进行计算.解决与古典概型交汇的问题时，应明确相关事件，列举样本点，然后利用古典概型的概率计算公式求解. ［跟踪训练3］． （1） 某校有高一、高二、高三三个年级，其人数分别为600，600，300，现用分层随机抽样的方法从总体中抽取一个容量为5的样本，并从所抽取的样本中选两人做问卷调查，两人来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. （2） （多选）在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（（男）、（女））及年级（（高一）、（高二）、（高三））分类统计的人数如表： 类别 18 20 14 17 24 7 若从这100名学生中随机选一名学生，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） D （2） ABD 【解析】 （1） 选D.方法一：由题意，可得抽取的5人中，高一有2人，高二有2人，高三有1人．设事件A为“两人来自高一年级”，事件B为“两人来自高二年级”，事件C为“两人来自不同年级”，则从5人中任意抽选两人的样本点为10，得.又A，B，C两两互斥，且 为必然事件，所以.方法二：设高一两人为A，B，高二两人，，高三一人为，样本空间为，，，，，，，，，，样本点总数为10．两人来自不同年级有，，，，，，，，共8个，故. （2） 选.由题表数据,知,A正确;,B正确；，C错误；，D正确.故选. 学科网（北京）股份有限公司 $