6.4.3.1余弦定理教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3.1余弦定理教学设计 教材分析： 本节是高中数学人教A版必修2第一章第4节的内容．本节课在证明了余弦定理及其推论以后,教科书从余弦定理与勾股定理的比较中,提出了一个考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?”并进而指出,“从余弦定理以及余弦函数的性质可知,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方那么第三边所对的角是锐角.由上可知,余弦定理是勾股定理的推广”,还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达到求解，求证目的启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系，在应用向量知识的同时注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系，教学中应当引起充分重视． 学情分析： 一方面，学生在初中阶段已经知道：已知三角形的两边及夹角，那么这个三角形是唯一确定的，对此有一个定性的认识，不过还不能定量去描述它们的关系。另一方面，学生学习余弦定理之前已经学习了向量和三角函数等相关知识，具备自主探究推导余弦定理的知识储备. 教学目标： 1. 通过问题探究，学生能运用向量推导出余弦定理，发展学生的逻辑推理能力，达到逻辑推理核心素养水平一的要求； 2. 通过多种方法证明余弦定理，发展培养学生的数学思想方法，达到数学抽象核心素养水平一的要求； 3.通过解决简单的解三角形问题，巩固学生对余弦定理的理解于与应用，达到数学运算核心素养水平一的要求. 教学重难点： 重点：1.探究和证明余弦定理的过程； 2.运用余弦定理解三角形. 难点：余弦定理的证明. 教学过程： 一、引言 我们知道，三角形两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的. 也就是说，已知三角形两边及其夹角，其他的边、角都可以用这两边及其夹角来表示. 那么，表示的公式是什么？ 思考：如图，在A,B两地之间隔着一个山丘，现要修一条隧道穿过山丘，测量人员在C点测得CA=2km,CB=5km，∠ACB=60°.请问，你能求出隧道AB的长度吗？ 问题1你能将这个实际问题转化为数学问题吗？ 在∆ABC中，已知：a，b，∠C，求c 追问：这个三角形是唯一确定的吗？ 是 【设计意图】通过实际问题，激发学生的研究兴趣. 二、研究探讨 探究：在中，三个角所对的边分别是，怎样用和表示？ 问题2在中，记,,, 那么在中，用和表示的本质就是用和向量的夹角来表示，你能表示出来吗？ 因为 故 所以 同理可得 【设计意图】通过探究，由向量证明余弦定理，提高学生分析问题、概括能力. 三、概念形成 通过以上探究，我们得到了三角形边角关系的一个重要定理： 余弦定理 三角形任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即 探究思考：你还能用其它方法证明余弦定理吗？ 问题3在问题1中我们是用向量的线性运算和数量积来得到余弦定理的，那你能否利用向量的坐标运算证明余弦定理呢？ 学生解答： 如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，根据任意角三角函数的定义，可得则,则有 , 所以 同理可得 问题4我们发现，当三角形其中一个角为时，余弦定理就是初中阶段所学的勾股定理，那你能否用平面几何方法证明余弦定理呢？ 学生解答： 当为直角时，根据勾股定理得； 当为锐角时，如图1，,, , 在中， ； 当为钝角时，如图2，, , , 在中， ； 综上，. 同理可得: 【设计意图】学生刚学完向量，通过问题2的引导，可以得到问题2的解答，从而得到余弦定理.问题2的解答是利用向量的线性运算和数量积运算，向量还有坐运算，由此设计了问题3，帮助学生更全面的应用向量，在运算过程中需要注意B点坐标的求法.问题4的设置目的是鼓励学生建立数学知识之间的联系，培养学生解题思维的灵活性，也更进一步说明了向量强大之处！ 四、概念深化 问题4 (1)根据余弦定理，我们可以从三角形已知的两条边及其夹角直接求出第三边，其余的两个角如何求呢？ 学生解答： 根据余弦定理，可以得到下列推论： (2)一般地，三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形.余弦定理及推论可以解已知三角形哪些元素的三角形？ 学生解答： 可以解已知两边及其夹角和已知三边的三角形. 【设计意图】问题设置帮助学生加深对余弦定理的记忆，并掌握余弦定理的应用方向. 通过问题的设置，培养学生自主研讨能力、合作交流能力、分析问题能力。 五、应用举例 例1 在中，已知,, ,解这个三角形(角度精确到，边长精确到1cm). 分析：这是已知三角形的两边及其夹角的解三角形问题，故先使用余弦定理求出第三边，然后根据推论求出其余的角. 解：由余弦定理，得 所以 根据余弦定理的推论，得 利用计算器，可得 所以. 练习1 在中，,锐角满足，求.(已知) 分析：由条件可求,再利用余弦定理及其推论可求出的值. 学生解答: 解：因为,且为锐角， 所以 由余弦定理，得 所以 进而 而由 可知 又,故. 【设计意图】通过例题讲解，让学生灵活掌握并运用余弦定理，提升学生数学运算素养和解决问题的能力. 六、归纳总结 (1)比较余弦定理的三种证法，总结其思想方法. 几何法、代数法、向量法.几何直观，代数精确，向量兼具数与形,更加强大！ (2)余弦定理可以解决哪些常见的解三角形问题？其本质思想是什么？ 可以解决“SAS、SSS”问题,本质是方程的思想. 七、课后作业 教材第44页练习第1-3题 学科网（北京）股份有限公司 $