6.2.4 第2课时 向量的数量积（二）（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦向量数量积的运算律、模的计算及夹角与垂直关系，在数量积概念基础上，通过探究引导（如思考运算律是否成立）、例题解析（结合平行四边形等几何图形）、跟踪训练及课堂自测，构建从原理到应用的学习支架。 资料以探究式设计激发学生推理能力（如通过提示推导运算律），结合几何图形培养几何直观（如平行四边形中数量积计算），融入高考题与教材改编题强化应用意识。课中辅助教师系统教学，课后学生可借自测查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

第2课时 向量的数量积（二） 学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律，会利用运算律进行数量积的运算. 2.理解平面向量数量积的性质，能利用数量积解决向量的模与夹角问题. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 新知学习 探究 新课导学 通过前面的学习，我们知道向量的加法运算满足交换律、结合律，向量的数乘运算满足结合律,分配律，. 思考 向量的数量积是否满足交换律，数乘结合律及数量积对向量加法的分配律？ 提示：向量的数量积满足交换律，数乘结合律及数量积对向量加法的分配律. 一 向量数量积的运算律 1．向量数量积的运算律 已知向量，，和实数 ,则 （1） 交换律：①________； （2） 数乘结合律：②______________； （3） 分配律：③______________. 【答案】（1） （2） （3） 2.向量数量积的常用结论 （1）; （2）; （3）; （4）. 例1 （1） （对接教材例12）已知,,与的夹角为 ，则________; （2） 如图所示，在平行四边形中，已知，，，，则__. 【答案】（1） （2） 22 【解析】 （1） . （2） 由，得，，.因为，所以，即.又，，所以. 数量积运算的两个关键点 （1）求含向量线性运算的数量积：利用向量数量积的运算律转化为直接利用公式求解的问题； （2）涉及含几何图形的数量积求解：借助图形先将两向量分别用已知向量线性表示，然后再转化为含线性运算的数量积求解. ［跟踪训练1］． （1） 已知向量,满足,,则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 （2） 如图,在中,,,则________. 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选. （2） 因为,,所以. 二 向量模的计算 例2 （1） 已知平面向量,的夹角为，且,,在中，,,为的中点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 （2） 已知非零向量,满足，，且，则________. 【答案】（1） A （2） 【解析】 （1） 因为,则 .即. （2） 由 两边平方得，即，所以.所以. 求向量的模的常见思路及方法 （1）求模的问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. 或,可以实现实数运算与向量运算的相互转化. ［跟踪训练2］． （1） 已知,,向量,的夹角为 ，那么（ ） A. 2 B. C. 6 D. 12 （2） 若平面向量,满足,,且,则 （ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】（1） B （2） B 【解析】 （1） 选B.因为,所以. （2） 选B.因为,,且,对等式两边平方易知,故. 三 向量的夹角与垂直 角度1 求两向量的夹角 例3 （1） [2024·广西南宁期中]设向量,满足,,,则与的夹角为（ ） A. B. C. D. （2） 已知向量,满足，,且,则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） D （2） A 【解析】 （1） 设 与 的夹角为 ,由题意得,所以,又,,所以,所以,则.又,所以 与 的夹角为. （2） 因为,,,所以，①,②所以 得，,,所以,所以,. 求向量夹角的基本步骤 角度2 利用数量积解决向量的垂直问题 例4 （对接教材例13）已知，,向量，的夹角为 ，，.求实数为何值时，与垂直. 【解】 由已知得. 若，则， 所以， 解得. 故当 时，与 垂直. 向量垂直问题的处理思路 解决与垂直相关题目的依据是,利用向量数量积的运算代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题. ［跟踪训练3］． （1） [2024·广东广州期中]已知,,且,则向量与的夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. （2） 已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数 （ ） A. B. C. D. 【答案】（1） B （2） D 【解析】 （1） 选B.因为,,且,所以,所以,所以,. （2） 选D.由题意，又向量 与 的夹角为 且 与 为单位向量，所以，解得.故选D. 课堂巩固 自测 1．设和是互相垂直的单位向量，且,,则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】选B.因为,，所以. 2．设,,都是单位向量,且,则向量,的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.由,可知,故,所以.设,的夹角为 ,即,又 ,所以.故选A. 3．已知,,且,的夹角为 ，,则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.由题意知, 即， 所以, 解得. 4．[2023· 新课标Ⅱ卷]已知向量，满足，，则______． 【答案】 【解析】由,得,即.① 由,得,整理得,，结合①，得，整理得,,所以. 5．（教材P24T18改编）若两个向量与的夹角为，且是单位向量，,,则向量与的夹角为________. 【答案】 【解析】由题知 , 所以, . 设向量 与 的夹角为 , 则. 因为，所以. 1.已学习：向量数量积的运算律、求向量的模和夹角、向量垂直的应用. 2.须贯通：求向量的数量积要灵活应用其运算律；求向量的模时，则要灵活应用模的计算公式；用向量解决夹角与垂直问题，常利用数形结合的思想方法. 3.应注意：不一定成立. 学科网（北京）股份有限公司 $