6.2.4 第2课时 向量的数量积（二）（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

第2课时 向量的数量积（二）

学习目标

1.掌握平面向量数量积的运算律，会利用运算律进行数量积的运算. 2.理解平面向量数量积的性质，能利用数量积解决向量的模与夹角问题. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

新知学习 探究

新课导学

通过前面的学习，我们知道向量的加法运算满足交换律、结合律，向量的数乘运算满足结合律,分配律，.

思考 向量的数量积是否满足交换律，数乘结合律及数量积对向量加法的分配律？

提示：向量的数量积满足交换律，数乘结合律及数量积对向量加法的分配律.

一 向量数量积的运算律

1．向量数量积的运算律

已知向量，，和实数 ,则

（1） 交换律：①________；

（2） 数乘结合律：②______________；

（3） 分配律：③______________.

【答案】（1）

（2）

（3）

2.向量数量积的常用结论

（1）;

（2）;

（3）;

（4）.

例1

（1） （对接教材例12）已知,,与的夹角为 ，则________;

（2） 如图所示，在平行四边形中，已知，，，，则__.

【答案】（1）

（2） 22

【解析】

（1） .

（2） 由，得，，.因为，所以，即.又，，所以.

数量积运算的两个关键点

（1）求含向量线性运算的数量积：利用向量数量积的运算律转化为直接利用公式求解的问题；

（2）涉及含几何图形的数量积求解：借助图形先将两向量分别用已知向量线性表示，然后再转化为含线性运算的数量积求解.

［跟踪训练1］．

（1） 已知向量,满足,,则（  ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 0

（2） 如图,在中,,,则________.

【答案】（1） B

（2）

【解析】

（1） 选.

（2） 因为,,所以.

二 向量模的计算

例2

（1） 已知平面向量,的夹角为，且,,在中，,,为的中点，则（  ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

（2） 已知非零向量,满足，，且，则________.

【答案】（1） A

（2）

【解析】

（1） 因为,则 .即.

（2） 由 两边平方得，即，所以.所以