6.2.4 第1课时 向量的数量积（一）（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.2.4 向量的数量积

第1课时 向量的数量积（一）

学习目标

1.理解平面向量夹角的概念，会求两向量的夹角. 2.理解平面向量数量积的概念，会计算平面向量的数量积. 3.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.

新知学习 探究

新课导学

我们在物理课中学过，力与物体在力的作用下产生的位移的乘积称为力对物体所做的功，如图所示，如果作用在小车上的力的大小为，小车在水平面上的位移的大小为，力的方向与小车位移的方向的夹角为 ，那么这个力所做的功为 .

思考1．功与力向量及位移向量有关，这三者之间有什么关系，功是向量还是数量？

思考2．给定任意两个向量,，能确定出一个和功类似的数量吗？

【答案】思考1 提示： 与 及 的关系为.功 是数量.

思考2 提示：向量的数量积.

一 两向量的夹角

1.定义：已知两个非零向量,,是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角.

2．三种特殊情况

【答案】同向； 反向； 垂直；

例1 如图，在等边三角形中，点，，分别是边，，的中点，写出下列各组向量的夹角.

（1） 与；

（2） 与；

（3） 与.

【答案】（1） 【解】与 的夹角是 .

（2） 因为，所以 与 的夹角等于 与 的夹角，即 .

 

（3） 如图，延长 至，使，则，则 与 的夹角等于 与 的夹角，即 .

（1）求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.

（2）特别地，与的夹角为 ，与（，是非零常数）的夹角为，当时， ；当时， .

［跟踪训练1］．如图，已知是等边三角形.

（1） 求向量与的夹角；

（2） 若为的中点，求向量与的夹角.

【答案】

（1） 解：因为 为等边三角形，所以 .

如图，延长 至点,使，则,所以 为向量 与 的夹角.

因为 ，所以 ,

所以向量 与 的夹角为 .

 

（2） 因为 为 的中点，所以，

所以向量 与 的夹角为 .

二 向量的数量积

1．定义：已知两个非零向量与,它们的夹角为 ,把数量①____________________叫做向量与的数量积（或内积）,记作,即②____________________.

规定：零向量与任一向量的数量积为③____.

【答案】； ； 0

2．性质

设,是非零向量,它们的夹角是 ,是与方向相同的单位向量,则

（1） .

（2）④____.