精品解析：江苏苏州市2026届高三上学期期末数学试题

6学科网 命组卷网 高三数学试卷 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题一第8题）、多项选择题（第9题一第11题）、填 空题（第12题一第14题）、解答题（第15题一第19题)，本卷满分150分，答题时间为 120分钟，答题结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请您务必将自已的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的 规定位置。 3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔，清注意字体工整，笔迹清楚. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.己知集合A={xlog,r<,B={xr+x-2<0,则AnB=() A.（-2,1) B.（-2,2) c(0,) D.(0,2) 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的单调性、一元二次不等式的解法化简集合表示，结合集合交集的定义进行求解即可： 第1页/共30页 6学科网命组卷网 【详解】因为4={xogr<=(0,2),B={xr2+x-2<0=(-2,) 所以AnB=(0,) 故选：C 2已知f(是定义在R上的奇函数，则f(2)>f(-2)是f()在[0，+o)上单调递增的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合函数单调性的定义进行判断即可. 【详解1由f(2)>f（-2)→f(2)>-(2)→f(2)>0 因此不能判断f()在0，+o)上单调递增 当()在[0，+o）上单调递增， 所uf)2f(0)=0→f2)>0→2f(2)>0→f2)+f2)>0 →f(2)-f(-2)>0→f(2)>f(-2) 因此f(2)>(-2)是（四在0，+w）上单调递增的必要不充分条件 故选：B 3.设平面向量a,6满足l同=1，=2，(a-b)1a,则la-=() A.3 B.2 G v3 D.1 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可 第2页/共30页 命学科网命组卷网 【详解)(a-b列1a→(a-列a=0→a-a.6=0→1-a-b=0→a:6=l 所以a--(a-6-后+-2a6=+4-2x1-5 故选：C 4.在平面直角坐标系x0y中，已知两周相交于两点4,3)，B化，-1)，且圆心都在直线-2y+c=0上， 则t+c的值为() A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】A 【解析】 【分析】根据相交圆的性质，结合互相垂直直线斜率的关系进行求解即可 【详解】根据相交圆的性质可知直线4B x-2y+c=0 直线 垂直， 线段AB -2y+c=0 的中点在直线 上 知分1哈3213 t-1 所以线段4B的中点的坐标为(2，)， 则有2-2×1+c=0→c=0, 因此t+c=3」 故选：A 5.记S是等比数列{a,}的前n项和，2S,=S,+S,2a:=4+a,则正整数k的值为《） A.18 B.9 C.6 D.2 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式，结合等比数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设等比数列a}的公比为9， 第3页/共30页 命学科网命组卷网 当9=1时，2=184，+,=94,所以2，=，+不成立，故9=不符合思意： 当g1时，28=8+82×41-）.a0-9）,41-g到】 1-q 1-q 1-q →21-q）=(1-q）+(1-q)→2q-g°-q3=0 因69*0，房u24-寸-g=0=29-g-1=00=号，成对-16女 24.=4+a,→2ag1=a92+a9→2ag=4g20+9）→2g1=29 →g3=1 4, 因为9=2，所以9<0，且9× 所(-g= 4,所以q3=g5, 因为9≠士l且940， 所以k-3=6→k=9 故选：B 6.若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,则圆柱的体积为 85 SS B.2V元 D.4V元 【答案】D 【解析】 【分析】 设出圆柱的高2a,找到侧面积S和a之间的关系，即可求得体积 第4页/共30页 学科网命组卷网 【详解】根据题意，不妨设圆柱的高为2a,又因为轴截面为正方形， 故可得底面半径为a. 1 则s=4πd2,解得a=2元， 故可得圆柱体积P=πd2×2a=2mx S1 SSS 一X 4π2Vπ4Vπ 故选：D 【点睛】本题考查圆柱的侧面积和体积的求解，属基础题. x2 7在平面直角坐标系x0中，边长为2的菱形ABCD的顶点均在双曲线京-广=1上，点P(0,1)在边 AB上，则双曲线的离心率为() A.V5-1 B.V2 c v3 D.2 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形的性质、双曲线的对称性以及点在双曲线上的条件来求解双曲线的参数，从而得到离心 率 x2 【详解】因为双曲线-少=1，点P(0,1)在边AB上， 所以边AB平行于x轴，点A和点B关于y轴对称， 所以点P(0,1)是AB的中点，又因为菱形边长为2，所以A(-,) 又因为菱形ABCD的对角线分别为直线AC,直线BD, 根据菱形两条对角线垂直且平分可得： 点A和点D关于x轴对称，点D和点C关于y轴对称， 所以-，).B,D.CL-).D(-1,-) 第5页/共30页 6学科网命组卷网 格4-)代入少=，第阳2 x2 2,即os 2 x2 在双曲线a少=1中，公=1， c2=a2+2=+1= 3 又因 2 2,c=、6 6 所以离心率e=。= c 2 =3 a 2 故选：C 【点睛】 8.已知点A(:,乃)，B(x2,2),定义d=Vx-)'+(:-乃)为4，B的“镜像距离”.若点A,B在 曲线y=1-e2- 上，则的最小值为() A.1 B.V② C.2 D.2V2 【答案】D 【解析】 【分析】依题意求出y=1-©“的反函数，将“镜像距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利 用导数求出最值即可求得结果 第6页/共30页 6学科网命组卷网 【详解】由函数y=1-e2可得2-x=h(1-),即x=2-血(1-)， 所以y=1-e的反函数为y=2-lh(1-x), 由点B(,为)在商线y=1-e“上，可知点B(,5)在其y=2-(1-反函数上， 所以dm=V(x-}+(3-y) 相当于y=2-血(1-上的点(，)到曲线y=1-e上点4(，)的距离。 即AB=dB=Vx-}+(玉-}， 利用反函数性质可得y=1-心2与y=2-血(1-关于y=x对称， 4的最小值相当于点A到直线’=的距离最小值的2倍， 点1药线=的背只-臣 √2，由于y=1-e2-x恒在y=x下方， 所以4-为---=c）。2+5-1 √2 √2 f()=e24+-1,求导得，f()=(e25+1,令 ∫(：)=0得5=2，又y=(x在R上单调递增， 所以可得f')K0对∈（←，2）恒成立，()>0对(2，+w)恒成立. 所以y=f()在（0,2)上单调递减，在(2，+)上单调递增， 所以/(：)m=f(2)=e22+2-1=2 所4-f儿=2-2 V22 第7页/共30页 命学科网命组卷网 所以(d4a)nn=ABin=2(d)。=2V2 故选：D y y=2-In(1-x) tB B O A y=1-e2-x 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.记等差数列a.的前n项和为S。,已知4=3，S,=-9,则《) Sn≥S4 B.S6=0 8≥8 A.41=-3 C.an aa D.n4 【答案】BC 【解析】 【分析】设等差数列a}的公差为d,根据所给条件求出4、d,即可判断A,求出S,即可判断B, S S 表示出an,列出其前几项，即可判断C,表示出n,即可判断D. 【详解)对于A:设等差数列a}的公差为d,由4，=3，，=9， a1+4d=3 41=-5 则3a+3d=-9,解得1d=2，所以a,=2n-7:故A错误： 对于B.S,=-5n+nn-l)=n-6m,所以。=62-6x6=0,故B正确： 第8页/共30页 命学科网命组卷网 S-m-6S-1S-8S=9S=-8$-5S=0 对于C:a。2n-7,则a，a3,4，a4 ，453，a6 S70 当n>6且neN*时2n-7>0,r-6n=n(n-6)>0,所以a,0, S≥9 所以ana4,故C正确： ￡”60=n-6,因为y=x-6在完义减上单调道8 对于D:因为nn 8=5S=-2 又1,4 SSs 显然14， S≥S 所以n1,故D错误。 故选：BC 10,设i为虚数单位，已知复数名=sina+2i,名=l+(cosa)i(其中a∈R),设 =a+bi(a,beR),则() Z2 aπ A.当4时，b=1 B.对任意a∈R,都有b≠0 C存在a∈R,使得+=4 D存在a∈R,使得-B=2 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用复数的除法及乘法运算判断A,应用复数的乘法除法运算结合特殊角的三角函数值及三角函 第9页/共30页 6学科网6组卷网 数值域判断B,C,D. 【详解】对于A:当4时， √2 +2i Z1 2 =/2+i=a+bi(a,bER) Z2 2 1+ 1+ 2 N2: 3 则 ,A 2 21 b=1 正确： 31 sin+2i (sina+2)(1-cosai)sin+cs(2-sinacosa)iR) 对于B:z21+cosai (1+cosai)(1-cosai) 1+cos2a sin2a 则对任忘a∈R,都有b= -sinacosa 2 1+cosa 1+cos 一≠0，B选项正确： sina+i(sin+)(si)sin+s(-sinacosa)ibR) 对于C:z21+cosai(1+cosai)(1-cosai) 1+cos a 4a-a22-b 所以1+cos2a a,tana=2 sina =2cosa 存在 12 2 12 2 使得+b2 sina+2cosa (2-sinacosa 4cosa 2-2cos'a 1+cos2a 1+cos a 1+cos a 1+cosa 1什C4.cE 确： 对于D:若存在a∈R,使得 d-8- sina+2cosa 1+cosa 1+cos'a (1+cos2a}月 第10页共30页 命学科网命组卷网 3cos2a+8sinacosa-sin2acos2a-3=2+4cos2a +2cos a 则 8sinacosa-sin'acos+cco 又因为5+cos2a+2cos'a≥5 设sinacosa=)sin2a=l 「11 2 2'2 y-如amsa-5nao时a--in-4+16.--4+16t[2t8 15 所以y=-（-4+16的最大值为4， 所 8 sinac0sam-sin2acos2a=5+4cos'a+2cos'a不成立， 所以不存在“∈R使每-分=2，D错误： 故选：ABC. 11.如图，在棱长为2的正方体 BCD-ABCD中，点E,F分别为4B,BC的中点，动点G在棱CG上 (不含端点)，则下列说法正确的有() C D E B A.EFG 是钝角三角形 B.平面EFG截该正方体所得截面的形状可能是平行四边形 C.当G为CC的中点时，平面EFG与底面ABCD所成角的正切值为V2 第11页/共30页 命学科网命组卷网 G,E,B, D.若 在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为10m 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系.A:利用空间向量数量积的坐标表示公式，判断△EFG各内角中有没有钝 角：B:根据正方体截面性质进行判断；C:根据面面所成角的定义，结合空间向量夹角公式、同角的三角 函数关系进行求解判断：D:根据球的性质，结合空间两点间距离公式、基本不等式、球的表面积公式进 行判断 【详解】A:建立如图所示的空间直角坐标系， E(21,0),F(1,2,0）,t设G(02,aa∈(0,2) EF=(-1l,0),EG=（-2,l,a),FG=(-1,0,a 因为EF,EG=2+1=3>0 FG.EG=2+a2>0 FE.FG=(1,-1,0)(-l,0,a)=-1<0 所以∠EFG是钝角，所以△EFG是钝角三角形，因此本选项说法正确： B:根据正方体截面性质，可以判断平面EFG截该正方体所得截面的形状不可能是平行四边形，所以本选 项说法不正确： C:当G为CC的中点时， G(0,2,1) 因为DD1平面ABCD, 所以DD=(00,2)是平面ABCD的一个法向量， EF=(-1,1,0),EG=（-2,1,1) 第12页/供30页 学科网命组卷网 设平面EFG的法向量为m=(:,,)】 mEF=0,「-x。+。=0 所以 → mEG=0 -2x+%+2。=0:令 1得 =1,20=1' 所以m=(,1)是平面EFG的一个法向量， 设平面EFG与底面ABCD所成角为O, DD cos@=cos(m,DD) 2 m·DD V1+1+1×23, -3 tan8=s =V2 cos0 所以本选项说法正确： D:G,B,B,F在同一个球面上，设该球的球心为O(x,y2) 所以由 e=0i=c-2+0-+-2y+02+2y. 0r=0B=(c-+0-2+2=c-2+0-2+2→x2. 0G=0B→2+0-2y+(e-a=x-2y+0-2y+→z-a+2 2a, 33a2+2 所以球心坐标 2'232a: 所以球的半径为OE 0 因为a∈(0,2) 第13页/供30页 6学科网命组卷网 a2+2a,1 =+-≥2， 所以2a2a -万，当且仅当2a时取等号， a I V2 a a2+2 即当a=√2时，2a有最小值√2， 所以有最小值， 最小值为 OE 所以球的表面积的最小值为4π· 所以本选项说法正确 故选：ACD ZA D C A B F E 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12在(1-x'+-x+1-的展开式中，含x项的系数为一 【答案】19 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式逐一进行求解 【详解在(1-'+(1-+(1-°的展开式中， 含x2项的系数为C(-)+C(-H+C(-}=3+6+10=19 故答案为：19. 13.一个盒中有标号为1,2,3,4,5的5张标签，随机地依次选取两张标签，记事件A=“两张标签上的 第14页/供30页 命学科网命组卷网 数字之和为6.若标签的选取是不放回的，记P（4)=P,若标签的选取是有放回的，记P(4)=P2,则 P+P2= 2 【答案】5#0.4 【解析】 【分析】根据不放回和放回的不同方式特点，结合古典概型运算公式进行求解即可. 【详解】当标签的选取是不放回的，共有5×4=20方式， 其中事件4有，5).(5，，(2,4)(4,2)共4种方式 41 所以P(4)=A=205: 当标签的选取是放回的，共有5×5=25方式， 其中寧件A有，5)(5,1(2,4(4,2(3,3)，5种方式. P小=及-名 1.12 所以B+B=5+55. 故答案为：5 14.过抛物线一条弦的中点作垂直于准线的直线交抛物线于一点，以该点及弦的端点为项点的三角形称为 这条弦的衍生=角形.如图，在平面直角坐标系0中，己知直线'=+1与抛物线y=”交于4B两 AC,BC 点，弦AB的新生三角形是△ABC.记△MBC为弦AB的一阶衍生三角形，弦A 的衍生三角形为弦 第15页/共30页 6学科网6组卷网 AB AD,DC,CE,EB 的二阶衍生三角形；弦 的衍生三角形为弦AB的三阶衍生三角形：，由此进行下 去，记所有的弦AB的K(k∈N)阶衍生三角形的面积之和为S,若对任意n∈N, 5<36 则正 整数t的最大值为. 珠 【答案】8 【解析】 【分析】直线'=x+‘和抛物线'=X联立方程组，由直线和抛物线相交得到△>0，利用根与系数的关 系写出x+xx,求出K-,求出CC,从而可以求出S,继而求出S,从而得到是等比 S,利用 数列，利用无穷等比数列的前n项和求出台 S<36 出的范围，从而得到正整数的最大 值. 【详解】将y=x+ 代入y=x2 得到=x+,即-x-1=0, △=1+41>0， s、1 4, x+x8=1 设xxB=-1，则x4-xB=V(x4+xa)-4xxB=V+41, 小6小c产g学，)c学】 第16页/共30页 6学科网命组卷网 + 44 4 .S.=Sume--aCC--xa x4-x=V(x4+xB'-4xxB=V1+41, 8=8k,-x=8+4 -动 这说明弦AB的k(k∈N)阶衍生三角形都可以生成k+1阶中的两个衍生三角形， 且后者的面积之和是前者面积的4，故数列{S}是以S,为首项， 1 以9=4为公比的等比数列， 0.w-0】 1-g + 人 ≤36 4 (1+4≤(3x2)3 第17页供30页 命学科网命组卷网 .V1+4t≤6，.1+41≤36.：1s35 4, 1 t> .135 44 <t≤ 4, 8 ·正整数的最大值为 故答案为：8。 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD,PD=4, E,F,G PC,PD,BC 分别为 的中点。 D 、G ---B (1)求证：FG/平面PAB: (2)求直线FG与平面PBC所成角的正弦值. E,F,G PC,PD,BC 【答案】(1)因为 分别为 EF //CD//AB 的中点，所以 又因为ABC平面PAB,EFC平面PAB,所以EFII平面PAB, 同 BG/平面PMB,EFNEG=-E,EFC平面ERG,EGC平面EFG 所以平面EFG/I平面PAB, 又因为FGC平面EFG,所以FG/I平面PAB. 第18页/共30页 6学科网 组卷网 2W5 (2)15· 【解析】 【分析】(1)根据三角形中位线定理，结合线面平行判定定理和面面平行的判定定理、面面平行的性质 定理进行证明即可； (2)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为PD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形， 所以以D为坐标原点，{D1,DC,DP)为基底建立空间直角坐标系， 所以P00,4),C(0,2,0).B(2,2,0).F(00,2).G2,0) PB=(2,2,4).PC=(0,2,4).FG=(1,2,-2) 7.PB=0,2x+2y-4z=0, 面pP8C的法向至为n=(k2)由n-P元=0，所以2y-42=0. 设平面 令y=2,所以i=(0,21) 设直线FG与平面PBC所成的角为O, 所以i=os(F, FG.1225 15, 2v5 所以直线FG与平面PBC所成角的正弦值为15· 第19页/共30页 6学科网命组卷网 B 16.为丰富全校师生的校园文化生活，增强师生身体素质，某校在学生运动会期间开展了教工定点投篮游 戏，游戏规则如下：每位教师投中即结束投篮，最多投篮三次。记第1次投篮命中得分为(4-司分 (i=山2,3)，若三次均未命中则得分为0分.假设李老师每次投篮的命中率为P0<D<1）, 每次投篮互 不影响.己知李老师投篮的次数X的均值 -爱 (1)求P的值： 3 (2)设李老师投篮结束最终的得分为Y,若 E(Y)>2E(X) 则认定李老师是投篮高手.请问是否有理 由认定李老师是投篮高手？ 【答案】(1) P= (2) 有理由认定李老师是投篮高手，理由如下： 投篮结束最终的得分为Y,则Y的可能值为0,1,2,3， Pv=o--.rw---号品 PY=2=（-引}38.PY=)-3 第20页/共30页 6学科网命组卷网 E(Y)=0x- +1x12+2x6+3x3 8 3297 所以 125 125 25 5125, E(Y)_99、3 所以E(X)652,所以有理由认定李老师是投篮高手. 【解析】 【分析】(1)求出X的可能值及对应的概率，得到分布列，根据期望值得到方程，求出答案： (2)设投篮结束最终的得分为Y,则Y的可能值为0,1,2,3，得到对应的概率，得到数学期望，得到 E(Y)99、3 E(X)652,得到答案 【小问1详解】 投篮的次数X的可能值为1,2,3， X 1 3 3 (1-p)p (1-p)2 (X)=Ixp+2x-p)p+31-p}-39 所以 5 3 由于0<p<1,所以D= 【小问2详解】 略 17已知定义在(0，)上的数f儿闭=2snco+acs芳5ueR),f月-1 （a)求a的值及f(x的值域： 在BC,是4RC隐分别为ae.E室C-司引-5，=E 第21页/共30页 6学科网 命组卷网 21 sinB-sinA= 14,求△ABC的面积. 【答案】(1)a=25,（5,2] 35 (2)2 【解析】 【分析】(I)利用代入法求出的值，再利用正弦函数和余弦函数的二倍角公式、辅助角公式化简函数 的解析式，最后结合正弦型函数的最值性质进行求解即可； (2)法一：利用正弦定理和余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可； 法二：利用角度之间的关系，利用正弦定理和三角形面积公式进行求解即可 【小问1详解】 因为 2no0s+ao3骨5=1+号5=l,片以a=25. mf(e)-2niom空+25ows73=simr+v5 Bew=2sn+到 因为。，所以<x+元<4红-3<sinx+)1, 33,2 所以f()的值域为（一5,2]】 【小问2详解】 由c-}2nc-5mc= 2 因为函数f(冈定义域为(0，) 0<C-π<π <C<4 因为 3 ,所以3 3， 第22页/共30页 6学科网6组卷网 亚<C<元 又因为C是三角形的内角，所以3 2π C= 所以3. a b 21 =27 法一：由正弦定理sinA sinB√5 ，得sinA=a 2 sinB=b 26 则sinB-sinM=b-aV2i 2万-14，所以b-a=3, 即b+d2-2ab=3 由余弦定理得 b2+a2+ab=21 ,所以ab=6 1 n2π_35 absin 所以△ABC的面积为2 32· 法二：因为 3,所以1+B =3, 因为0<A< 则snA=sin4+）-32x！V万x3V2 3314214 214, sinB=V21 7 ab 21 由正弦定理得sinAsinB 5 =28, 所以 2 ab =6 第23页/共30页 6学科网6组卷网 1 2π3V5 所以△ABC的面积为2 absin 32· √2 区在于面直角华标系0中，已知圆C:二+片a>b>0经过点2，可。高心来为3：网 直线y=c+m(m≠0)交C于P,0两点，点M满足OM-oP+0见 (1)求C的标准方程： OPMO (2)记四边形 的面积为S。 ①若点M恰好在C上，求S的值； ②老S=25,问：在*轴上是香存在两个定点4,4，使得直线M4,M4与'轴分别交于，品两点， 且0B·0B,为定值？若存在，求出4,4的坐标：若不存在，请说明理由。 【答案】(1)42 2)06:②存在，4(22,0）.4(-22,0)或4(-22,0）.4，(22,0 【解析】 【分析】(1)根据题意，列出方程求解即可： -4km 2m2-4 (2)①联立椭圆与直线方程，由韦达定理可得+，1+2K,x=1+2,结合弦长公式得到 PO=+ 2V2V2+4k2-m2 m 1+2k2 原点0到直线/的距窝为-+，由O-0丽+00知四边 -4km 2m 形OPMQ是平行四边形，所以面积S=2So0=Pg外d,根据坐标运算可得 1+2k2’1+2k2,代 第24页/共30页 命学科网命组卷网 入椭圆方程求出m即可求解. -4km_-4k ②根据面积关系化简可得1+22=m㎡，由向量关系可得。=方+巧1+2限=m, y%=y+y2= +=1 m，从而得到84，且≠0，设存在两个定点4(t,0),4(s,0), OBOB,=元（定值），表示出直线M4,M4的方程，求出点，B,化简OB·OB,即可求解 【小问1详解】 由愿意得。+层=1，c=-8 21 2 x2.y2 1 所以a2=4,b2=2,所以C的方程为42 【小问2详解】 O设P(),(xh),M(%) y=kx+m, 号-L的+2m了-4-0"：2x92++2m4=0 由 所以△=（4m-401+2k2)(2m2-4)=8(2+4k2-m)>0,所以m2<2+4, 且+3+20,524 -4km 1+2k2, 所以PO=V1+x-=+.222+4k2-m2 1+2k2 m d= 又因为原点o到直线，的距离为“+2， 第25页/供30页 命学科网命组卷网 由0M=O币+O0知四边形OPM0是平行四边形， 所以面积S=2Se=Pgd=25m2+4-m 1+2k2 由%+为=(+)+2m= 2 -4km2m） M +2k2,所以(1+2k2’1+2k2, -4km 2 2m）2 因为，在椭圆上，所以1+2k3 1+2k2) =1,解得 M 2 1+2k2=2m2' 所y 25-m2+4e2-m 1+2k2 22-m.N3m=6 2m2 ②因为$ 22-m2+4k2-m=25, 1+2k2 x。=x+x2=122=m,。二乃+三之 m, 所(-1专+普-1.%0 设存在两个定点4,0)，4(5,0)，0B·0B=1(定值)， 第26页/共30页 6学科网命组卷网 所线以的方理%=-0.令0用马0】 同理可得 0、 s好 所以0派·0B,=6-(+)x+1云-(+1x+ = 简2+）-20+x+g-4=0 九+=0, 2 所以 2(s+)=0,得 (2-4)st=0, 1=4s=-t 所以在x轴上存在两个定点422,0)，4(-2√2,0)或4(-22,0），4，(22,0)使得OB-0B,=4 为定值， 19已知函数f()=lm-2.8()=m-m(aeR且a≠0). （1)设8（的导函数为8'(） ①考（☒与8(）有相同的零点，求“的值： ②若对任意x之0，都有f(四)≥8（四，求“的取值范围： (2②)若存在唯一的实数，使得()=80，求0的取值范围. 第27页供30页 可学科网命组卷网 【答案】(1)①a=3; 0<as8 3 2)（-∞，0U(0,2) 【解析】 【分析】)①先对8（求导，根据(）=0求出x值，并代入8'（四）求a,@将()≥g'()转化 为mr-2≥2a-3ar问题，分a<0和a>0讨论求解a的范围， (2)将方程有唯一解问题转化为函数图象交点问题，分a<0和a>0及不同区间讨论，并对不同区间的 函数求导分析单调性，根据函数值范围确定☑的值. 【小问1详解】 因为8)=ar-,所u8'()=2ax-3 a =0,所以a=3 ②原问题转化为-2≥2a-3ar 在x之0时恒成立. 0时，原不等式可化为2-ax≥2ar-3a,即3r-3r+220恒成立， 当a< 因为y=3ar2-3ax+2」 表示开口向下的抛物线， 所以不等式3ar-3ax+2≥0 恒成立： 当a>0时，令x=2 所以2ax2-30 2 a 0,得a≤3 0sx<2 (i) 22x- a时，原不等式可化为2-ax≥2ax-3ax2,所以3 第28页/共30页 命学科网命组卷网 2、2、1 1 2≥1 958 此时a32,所以y=x-x2的最大值为4，所以3a4,所以二3： 2 (i)当a时，原不等式可化为ax-2≥2r-3ax2,所以 2<3x2-x 2 ,+00 因为y=3x2-x在a’ 正单遇递增，所以2≤3×、3 3aa,所以a≤3 0<a≤ 8 综上所述， 3. 【小问2详解】 由腿意知，方程mr-2=-有唯一解。 220,所以x =2-,由a X X一 当a>0时，原方程化为a 2z1 (i)当a,即0<a≤2时，有a ++心，股()-++， 所以(x)=-3r2+2x+1=-(3x+1(x-) 在)上运.兮小上..0=1. 2>1 因为方程(*)有唯一解，所以a,所以0<a<2: 2≤x1 (ii)当a>2时， 时，方程可化为 2=x-x+x(*) 设h(x)=x3-x2+x,则(x)=3x2-2x+1>0,所以h(x)在La’ 上单调递增， 第29页/共30页 6学科网命组卷网 8-0+2<2<h0=,所以a>2时，方程()有库解： + 又"a aa a 2=-x+2+x」 所以a>2时，原方程至少有两个解（舍去）： 2=x-2 X- 当a<0时，原方程化为 2z0 x- 由于a,所以x≥1(x=0不合题意)， 2=x-22=-R+x+xx≥到 x- 所以方程可化为 ,即a 由①可知()=-r++x在，+切）上单调道减， 所以。≤p()=1 2 时方程有唯一解，解得a≥2（舍去）或a<0; 综上所述，a的取值范围为-，0U(0,2) 第30页/共30页 高三数学试卷 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题－第8题）、多项选择题（第9题－第11题）、填空题（第12题－第14题）、解答题（第15题－第19题），本卷满分150分，答题时间为120分钟，答题结束后，请将答题卡交回． 2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整，笔迹清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是定义在上的奇函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设平面向量满足，，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 4. 在平面直角坐标系中，已知两圆相交于两点，，且圆心都在直线上，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. 记是等比数列的前项和，，，则正整数的值为（ ） A. 18 B. 9 C. 6 D. 2 6. 若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S，则圆柱的体积为 A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，边长为2的菱形的顶点均在双曲线上，点在边上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知点，，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记等差数列的前项和为，已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 设i为虚数单位，已知复数，（其中），设，则（ ） A. 当时， B. 对任意，都有 C. 存在，使得 D. 存在，使得 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别为的中点，动点在棱上（不含端点），则下列说法正确的有（ ） A. 是钝角三角形 B. 平面截该正方体所得截面的形状可能是平行四边形 C. 当为的中点时，平面与底面所成角的正切值为 D. 若在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，含项的系数为______． 13. 一个盒中有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地依次选取两张标签，记事件“两张标签上的数字之和为6”．若标签的选取是不放回的，记；若标签的选取是有放回的，记，则______． 14. 过抛物线一条弦的中点作垂直于准线的直线交抛物线于一点，以该点及弦的端点为顶点的三角形称为这条弦的衍生三角形．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线交于两点，弦的衍生三角形是．记为弦的一阶衍生三角形；弦的衍生三角形为弦的二阶衍生三角形；弦的衍生三角形为弦的三阶衍生三角形；⋯，由此进行下去，记所有的弦的阶衍生三角形的面积之和为，若对任意，，则正整数的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 为丰富全校师生的校园文化生活，增强师生身体素质，某校在学生运动会期间开展了教工定点投篮游戏，游戏规则如下：每位教师投中即结束投篮，最多投篮三次．记第次投篮命中得分为分，若三次均未命中则得分为0分．假设李老师每次投篮的命中率为，每次投篮互不影响．已知李老师投篮的次数的均值． （1）求的值； （2）设李老师投篮结束最终的得分为，若，则认定李老师是投篮高手．请问是否有理由认定李老师是投篮高手？ 17. 已知定义在上的函数，． （1）求的值及的值域； （2）在中，角所对的边分别为，已知，，，求的面积． 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，离心率为．动直线交于两点，点满足． （1）求的标准方程； （2）记四边形的面积为． ①若点恰好在上，求的值； ②若，问：在轴上是否存在两个定点，使得直线与轴分别交于两点，且为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，（且）． （1）设的导函数为． ①若与有相同的零点，求的值； ②若对任意，都有，求的取值范围； （2）若存在唯一的实数，使得，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $