精品解析：江苏苏州市2026届高三上学期期末数学试题

高三数学试卷 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题－第8题）、多项选择题（第9题－第11题）、填空题（第12题－第14题）、解答题（第15题－第19题），本卷满分150分，答题时间为120分钟，答题结束后，请将答题卡交回． 2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整，笔迹清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是定义在上的奇函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设平面向量满足，，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 4. 在平面直角坐标系中，已知两圆相交于两点，，且圆心都在直线上，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. 记是等比数列的前项和，，，则正整数的值为（ ） A. 18 B. 9 C. 6 D. 2 6. 若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S，则圆柱的体积为 A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，边长为2的菱形的顶点均在双曲线上，点在边上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知点，，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记等差数列的前项和为，已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 设i为虚数单位，已知复数，（其中），设，则（ ） A. 当时， B. 对任意，都有 C. 存在，使得 D. 存在，使得 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别为的中点，动点在棱上（不含端点），则下列说法正确的有（ ） A. 是钝角三角形 B. 平面截该正方体所得截面的形状可能是平行四边形 C. 当为的中点时，平面与底面所成角的正切值为 D. 若在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在展开式中，含项的系数为______． 13. 一个盒中有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地依次选取两张标签，记事件“两张标签上的数字之和为6”．若标签的选取是不放回的，记；若标签的选取是有放回的，记，则______． 14. 过抛物线一条弦的中点作垂直于准线的直线交抛物线于一点，以该点及弦的端点为顶点的三角形称为这条弦的衍生三角形．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线交于两点，弦的衍生三角形是．记为弦的一阶衍生三角形；弦的衍生三角形为弦的二阶衍生三角形；弦的衍生三角形为弦的三阶衍生三角形；⋯，由此进行下去，记所有的弦的阶衍生三角形的面积之和为，若对任意，，则正整数的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 为丰富全校师生的校园文化生活，增强师生身体素质，某校在学生运动会期间开展了教工定点投篮游戏，游戏规则如下：每位教师投中即结束投篮，最多投篮三次．记第次投篮命中得分为分，若三次均未命中则得分为0分．假设李老师每次投篮的命中率为，每次投篮互不影响．已知李老师投篮的次数的均值． （1）求的值； （2）设李老师投篮结束最终得分为，若，则认定李老师是投篮高手．请问是否有理由认定李老师是投篮高手？ 17. 已知定义在上函数，． （1）求的值及的值域； （2）在中，角所对的边分别为，已知，，，求的面积． 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，离心率为．动直线交于两点，点满足． （1）求的标准方程； （2）记四边形的面积为． ①若点恰好在上，求的值； ②若，问：在轴上是否存在两个定点，使得直线与轴分别交于两点，且为定值？若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，（且）． （1）设的导函数为． ①若与有相同零点，求的值； ②若对任意，都有，求的取值范围； （2）若存在唯一的实数，使得，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题－第8题）、多项选择题（第9题－第11题）、填空题（第12题－第14题）、解答题（第15题－第19题），本卷满分150分，答题时间为120分钟，答题结束后，请将答题卡交回． 2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整，笔迹清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的单调性、一元二次不等式的解法化简集合表示，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：C 2. 已知是定义在上的奇函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合函数单调性的定义进行判断即可. 【详解】由， 因此不能判断在上单调递增. 当在上单调递增， 所以 ， 因此“”是“在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 3. 设平面向量满足，，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】， 所以. 故选：C 4. 在平面直角坐标系中，已知两圆相交于两点，，且圆心都在直线上，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据相交圆的性质，结合互相垂直直线斜率的关系进行求解即可. 【详解】根据相交圆的性质可知直线与直线垂直， 线段中点在直线上， 所以， 所以线段的中点的坐标为， 则有， 因此. 故选：A 5. 记是等比数列的前项和，，，则正整数的值为（ ） A. 18 B. 9 C. 6 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式，结合等比数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，所以不成立，故不符合题意； 当时， ， 因为，所以，或舍去， ， 因为，所以，且， 所以，所以， 因且， 所以. 故选：B 6. 若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S，则圆柱的体积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设出圆柱的高，找到侧面积和之间的关系，即可求得体积. 【详解】根据题意，不妨设圆柱的高为，又因为轴截面为正方形， 故可得底面半径. 则，解得， 故可得圆柱体积. 故选：D. 【点睛】本题考查圆柱的侧面积和体积的求解，属基础题. 7. 在平面直角坐标系中，边长为2的菱形的顶点均在双曲线上，点在边上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形的性质、双曲线的对称性以及点在双曲线上的条件来求解双曲线的参数，从而得到离心率. 【详解】因为双曲线，点在边上， 所以边平行于轴，点和点关于轴对称， 所以点是的中点，又因为菱形边长为2，所以， 又因为菱形的对角线分别为直线，直线， 根据菱形两条对角线垂直且平分可得： 点和点关于轴对称，点和点关于轴对称， 所以，，，， 将代入，解得，即， 在双曲线中，， 又因为，即 所以离心率. 故选：C. 【点睛】 8. 已知点，，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意求出的反函数，将“镜像距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导数求出最值即可求得结果. 【详解】由函数可得，即， 所以的反函数为， 由点在曲线上，可知点在其反函数上， 所以 相当于上的点到曲线上点的距离， 即， 利用反函数性质可得与关于对称， 的最小值相当于点到直线的距离最小值的2倍， 点到直线的距离，由于恒在下方， 所以， ，求导得：，令 得，又在上单调递增， 所以可得对恒成立，对恒成立， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记等差数列的前项和为，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据所给条件求出、，即可判断A，求出，即可判断B，表示出，列出其前几项，即可判断C，表示出，即可判断D. 【详解】对于A：设等差数列的公差为，由，， 则，解得，所以，故A错误； 对于B：，所以，故B正确； 对于C：，则，，，，，， 当且时，，所以， 所以，故C正确； 对于D：因为，因为在定义域上单调递增， 又，， 显然， 所以，故D错误. 故选：BC 10. 设i为虚数单位，已知复数，（其中），设，则（ ） A. 当时， B. 对任意，都有 C. 存在，使得 D. 存在，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用复数的除法及乘法运算判断A，应用复数的乘法除法运算结合特殊角的三角函数值及三角函数值域判断B，C，D. 【详解】对于A：当时， ，则，A正确； 对于B：， 则对任意，都有，B选项正确； 对于C：， 所以， 存在，， 使得，C正确； 对于D：若存在，使得， 则， 则， 又因为， 设， 在单调递增， 所以的最大值为， 所以不成立， 所以不存在使得，D错误； 故选：ABC. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别为的中点，动点在棱上（不含端点），则下列说法正确的有（ ） A. 是钝角三角形 B. 平面截该正方体所得截面的形状可能是平行四边形 C. 当为的中点时，平面与底面所成角的正切值为 D. 若在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系.A：利用空间向量数量积的坐标表示公式，判断各内角中有没有钝角；B：根据正方体截面性质进行判断；C：根据面面所成角的定义，结合空间向量夹角公式、同角的三角函数关系进行求解判断；D：根据球的性质，结合空间两点间距离公式、基本不等式、球的表面积公式进行判断. 【详解】A：建立如图所示的空间直角坐标系， ，设， ， 因为， ， ， 所以是钝角，所以是钝角三角形，因此本选项说法正确； B：根据正方体截面性质，可以判断平面截该正方体所得截面的形状不可能是平行四边形，所以本选项说法不正确； C：当为的中点时，， 因为平面， 所以是平面的一个法向量， ， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以是平面的一个法向量， 设平面与底面所成角为， ， ，所以本选项说法正确； D：在同一个球面上，设该球的球心为， 所以由， ， ， 所以球心坐标， 所以球的半径为， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 即当时，有最小值， 所以有最小值，最小值为， 所以球的表面积的最小值为，所以本选项说法正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，含项的系数为______． 【答案】19 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式逐一进行求解. 【详解】在的展开式中， 含项的系数为， 故答案为：19. 13. 一个盒中有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地依次选取两张标签，记事件“两张标签上的数字之和为6”．若标签的选取是不放回的，记；若标签的选取是有放回的，记，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据不放回和放回的不同方式特点，结合古典概型运算公式进行求解即可. 【详解】当标签的选取是不放回的，共有方式， 其中事件A有共4种方式， 所以； 当标签的选取是放回的，共有方式， 其中事件A有，5种方式， 所以, 所以. 故答案为： 14. 过抛物线一条弦的中点作垂直于准线的直线交抛物线于一点，以该点及弦的端点为顶点的三角形称为这条弦的衍生三角形．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线交于两点，弦的衍生三角形是．记为弦的一阶衍生三角形；弦的衍生三角形为弦的二阶衍生三角形；弦的衍生三角形为弦的三阶衍生三角形；⋯，由此进行下去，记所有的弦的阶衍生三角形的面积之和为，若对任意，，则正整数的最大值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】直线和抛物线联立方程组，由直线和抛物线相交得到，利用根与系数的关系写出，求出，求出，从而可以求出，继而求出，从而得到是等比数列，利用无穷等比数列的前项和求出，利用求出的范围，从而得到正整数的最大值. 【详解】将代入，得到，即， ，， 设，则， ，，， ， ， ， ， ， 这说明弦的阶衍生三角形都可以生成阶中的两个衍生三角形， 且后者的面积之和是前者面积的，故数列是以为首项， 以为公比的等比数列， ， 对任意，， ，， ，，， ，， 正整数的最大值为. 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行判定定理和面面平行的判定定理、面面平行的性质定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为分别为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理平面，，平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面． 【小问2详解】 因为平面，底面为正方形， 所以以为坐标原点，为基底建立空间直角坐标系， 所以，，，，， ，，， 设平面的法向量为，由所以 令，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 16. 为丰富全校师生的校园文化生活，增强师生身体素质，某校在学生运动会期间开展了教工定点投篮游戏，游戏规则如下：每位教师投中即结束投篮，最多投篮三次．记第次投篮命中得分为分，若三次均未命中则得分为0分．假设李老师每次投篮的命中率为，每次投篮互不影响．已知李老师投篮的次数的均值． （1）求的值； （2）设李老师投篮结束最终的得分为，若，则认定李老师是投篮高手．请问是否有理由认定李老师是投篮高手？ 【答案】（1）． （2）有理由认定李老师是投篮高手，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）求出的可能值及对应的概率，得到分布列，根据期望值得到方程，求出答案； （2）设投篮结束最终的得分为，则的可能值为0，1，2，3，得到对应的概率，得到数学期望，得到，得到答案. 【小问1详解】 投篮的次数的可能值为1，2，3， 1 2 3 所以， 由于，所以． 【小问2详解】 有理由认定李老师是投篮高手，理由如下： 投篮结束最终得分为，则的可能值为0，1，2，3， ，， ，， 所以， 所以，所以有理由认定李老师是投篮高手． 17. 已知定义在上的函数，． （1）求的值及的值域； （2）在中，角所对的边分别为，已知，，，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用代入法求出的值，再利用正弦函数和余弦函数的二倍角公式、辅助角公式化简函数的解析式，最后结合正弦型函数的最值性质进行求解即可； （2）法一：利用正弦定理和余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可； 法二：利用角度之间的关系，利用正弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以． 因为，所以，， 所以的值域为． 【小问2详解】 由得， 因为函数定义域为， 因为，所以， 又因为是三角形的内角，所以， 所以． 法一：由正弦定理，得，， 则，所以， 即，由余弦定理得，所以， 所以的面积为． 法二：因为，所以， 则， 所以， 因为，所以， 则，， 由正弦定理得，所以， 所以的面积为． 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，离心率为．动直线交于两点，点满足． （1）求的标准方程； （2）记四边形的面积为． ①若点恰好在上，求值； ②若，问：在轴上是否存在两个定点，使得直线与轴分别交于两点，且为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在，，或， 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程求解即可； （2）①联立椭圆与直线方程，由韦达定理可得，，结合弦长公式得到，原点到直线的距离为，由知四边形是平行四边形，所以面积，根据坐标运算可得，代入椭圆方程求出即可求解. ②根据面积关系化简可得，由向量关系可得，，从而得到，且，设存在两个定点，，（定值），表示出直线的方程，求出点，化简即可求解. 【小问1详解】 由题意得，， 所以，，所以的方程为． 【小问2详解】 ①设，，， 由得，即， 所以，所以， 且，， 所以， 又因为原点到直线的距离为， 由知四边形是平行四边形， 所以面积． 由，所以， 因为在椭圆上，所以，解得， 所以． ②因为， 所以，即， 所以，， 所以，即，且． 设存在两个定点，，（定值）， 所以直线的方程为，令，得， 同理可得， 所以， 化简得， 所以得，， 所以在轴上存在两个定点，或，使得为定值． 19. 已知函数，（且）． （1）设的导函数为． ①若与有相同的零点，求的值； ②若对任意，都有，求的取值范围； （2）若存在唯一的实数，使得，求的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）． 【解析】 【分析】（1）①先对求导，根据求出值，并代入求，②将转化为问题，分和讨论求解的范围. （2）将方程有唯一解问题转化为函数图象交点问题，分和及不同区间讨论，并对不同区间的函数求导分析单调性，根据函数值范围确定的值. 【小问1详解】 因为，所以， ①由得，所以，所以． ②原问题转化为在时恒成立． 当时，原不等式可化为，即恒成立， 因为表示开口向下的抛物线， 所以不等式不恒成立； 当时，令，所以，得， （ⅰ）当时，原不等式可化为，所以， 此时，所以的最大值为，所以，所以； （ⅱ）当时，原不等式可化为，所以， 因为在上单调递增，所以，所以． 综上所述，． 【小问2详解】 由题意知，方程有唯一解． 当时，原方程化为，由于，所以， （ⅰ）当，即时，有（*），设， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增，，， 因为方程（*）有唯一解，所以，所以； （ⅱ）当时，时，方程可化为（**）， 设，则，所以在上单调递增， 又，所以时，方程（**）有唯一解； 当时，有， 又，方程有解； 所以时，原方程至少有两个解（舍去）； 当时，原方程化为， 由于，所以（不合题意）， 所以方程可化为，即， 由（ⅰ）可知在上单调递减， 所以时方程有唯一解，解得（舍去）或； 综上所述，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $