精品解析：福建漳州市2025-2026学年九年级上学期期末阶段教学联合诊断数学试题

漳州市2025-2026学年上学期初中期末阶段教学联合诊断 九年级数学 （考试时间120分钟，满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】解：A.是一元一次方程，不符合定义，故不符合题意； B.只含未知数x，且最高次数为2，是整式方程，符合定义，故符合题意； C.是二元一次方程，不符合定义，故不符合题意； D.是分式方程，不是整式方程，不符合定义，故不符合题意； 故选：B． 2. 如图，放在同一平面直角坐标系中的两个汽球恰好是位似图形，点 、点 分别是①号②号汽球的扎口，位似中心为点 ，位似比是 ，则的对应点 的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两个图形的位似知识．位似中心为点 ，位似比是 ，则 点的两个坐标分别乘 ，即得 的坐标． 【详解】解：∵两个汽球恰好是位似图形，且原点O为位似中心，其位似比为 ，点， ∴. 故选：C． 3. 圆周率π是无限不循环小数．目前，超级计算机已计算出 的小数部分超过万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．从 的小数部分随机取出一个数字，估计数字是9的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 从 的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字9的只有1种结果，利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵随着 小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同， ∴从 的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字9的只有1种结果， ． 故选：A． 4. 在菱形 中，对角线 与 交于点O，则的值可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质，判断 、 、 能构成直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：菱形 中，对角线 与 交于点O， 由 与 垂直， 、 、 能构成直角三角形， A、，则 、 、 不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； B、，则 、 、 不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； C、，则 、 、 不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； D、，则 、 、 能构成直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 5. 如图，已知 ，，若，则 的长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理可得，即，进而可求出 ，然后根据即可求出 的长． 【详解】解： ， ， 即：， ， ， 故选：B． 6. 如图①，天窗打开后，天窗边缘 与窗框 夹角为，它的示意图如图②所示．若 长为米，则窗角 到窗框 的距离 的大小为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用．熟练掌握直角三角形中得边角关系是解题得关键，在中，由三角函数关系即可得解． 【详解】解：在中， ∵， ∴米， 故选：D． 7. 已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ 　　）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由反比例函数的图象确定k的范围，再利用二次函数的性质进行判断即可. 【详解】解：根据题意，反比例函数的图象在二、四象限，所以k<0， ∴2k<0，∴抛物线的开口向下， 对称轴为：直线，所以抛物线的对称轴在y轴的左侧， 抛物线与y轴的交点为（0，），在y轴的正半轴上； 观察各选项，只有D符合. 故选D. 【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数的图象和性质，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键. 8. 如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知 ，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先过点 作于点E，于点 ，由题意可得四边形 是平行四边形，继而求得 的长，判定四边形 是菱形，则可求得答案． 【详解】过点 作于点E，于点 ， 根据题意得： ， ，， ∴四边形 是平行四边形， ∵， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， 同理： ， ∴ ， ∴四边形 是菱形， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含 角的直角三角形的性质等知识，解题关键在于掌握菱形判定定理和作辅助线． 9. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示， 是垂直于水平地面的支撑杆，米，AB是杠杆， 米，．当点A位于最高点时，．此时，点A到地面的距离为（ ） A. 米 B. 5米 C. 6米 D. 7米 【答案】B 【解析】 【分析】过O作，过A作于G，求出，进而求出，即可求解． 【详解】过O作，过A作于G， ∵ 米，， ∴米， ∵，， ∴， 在中， (米)， 点A位于最高点时到地面的距离为(米)， 答：点A到地面的距离为5米； 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是根据题目条件，构造直角三角形． 10. 已知，，三点在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象上有，，三点，比较三点的横坐标的大小，结合性质和m的符号分类解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，有理数的大小比较，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据反比例函数的图象上有，，三点， 且， 故， 故在每一个象限内，y随x的增大而增大， 由， 解得 当时，则，且 故， 故A选项不符合题意； 当时，则，且 故， 故B选项符合题意； 当时，则，且 故， 故C选项不符合题意； 当时，则，且， 故， 故D选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置． 11. 如果两个相似多边形的面积比是，那么这两个相似多边形的相似比是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比是1：4， ∴这两个相似多边形的相似比1：2， 故答案为1：2． 【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 12. 在一个不透明的口袋里装有n个除颜色外都完全相同的小球，其中红球有6个，每次将袋子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在 ，那么可以估算出n的值为________． 【答案】24 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在 ， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为 ， ∴， 解得， 经检验：是原方程的解， 故答案为：24． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率． 13. 写一个二次函数，要求∶开口向下，对称轴y轴，与x轴有两个交点．符合条件的二次函数解析式为∶_____________； 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意写出二次项系数为负数，一次项系数为0，常数项大于0的二次函数解析式，即可求解． 【详解】解：依题意，符合条件的二次函数解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 一辆汽车，新车购买价为20万元，以后每年的年折旧率为 ，如果该车购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元，那么可以列出关于 的方程是_______．（列出方程即可，无需求解） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据“新车购买价为20万元，购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元”列方程即可． 【详解】解：设每年的年折旧率为 ， 根据题意，得， 故答案为：． 15. 如图，点A在反比例函y1＝的图象上，点B在反比例函y2＝的图象上，且AB∥x轴，若△AOB的面积为7，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长 与 轴交于点 由反比例函数的几何意义可得：再解方程，结合函数图像的位置可得答案． 【详解】解：如图，延长 与 轴交于点 点A在反比例函y1＝的图象上，点B在反比例函y2＝的图象上，结合反比例函数的几何意义可得： 反比例函数的图像在第一，第三象限， 故答案为： 【点睛】本题考查的是反比例函数的的几何意义，掌握反比例系数的几何意义是解题的关键． 16. 定义：是一元二次方程 的倒方程．则下列四个结论： ①如果 是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程 有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 【答案】 ①②③ 【解析】 【分析】本题考查新定义和一元二次方程，根据倒方程的定义，分别验证每个结论的正确性： ①通过代入求解； ②利用判别式即可； ③通过判别式得到，代入倒方程判别式可得； ④举反例说明不成立． 【详解】解：结论①，原方程 的倒方程为 ， 将 代入得 ， 解得 ， 故①正确； 结论②，当 时， 判别式 ， 两个方程均有两个不相等的实数根， 故②正确； 结论③， 原方程无解， ， 即 ， 倒方程判别式 ， 倒方程无解， 故③正确； 结论④， 举反例说明，当 时，原方程为， 若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：， 即， 原方程 的倒方程为 ， ，， 倒方程为，是一元一次方程， 只有一个根， 故④错误． 故答案为①②③． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡的相应位置解答． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：原式， 【点睛】本题考查了锐角三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 18. 如图，在 中， 在 边上，连接 ， ， ，，求证：． 【答案】证明：，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】略 19. 三个外观完全相同的细口瓶中分别装有一种无色溶液，记为、 、 ．已知、 混合后溶液会变为红色，、 混合后溶液也会变为红色， 、 混合后溶液不变色．从、 、 三种溶液中随机选择两种在烧杯中混合．用画树状图（或列表）的方法，求混合后烧杯中溶液颜色为红色的概率． 【答案】 【解析】 【分析】通过列表法列出从、 、 三种溶液中随机选择两种混合的所有等可能结果，数出总结果数为6种，再结合题目中给出的与 、与 混合变红， 与 混合不变色的条件，从所有结果中找出混合后溶液为红色的结果数为4种，最后将符合条件的结果数和总结果数代入概率公式计算，即可得到混合后溶液颜色为红色的概率． 【详解】解：列出从、 、 三种溶液中随机选择两种的所有等可能结果如下： 红 红 红 红 由表可知，所有等可能的结果共有6种，其中混合后溶液颜色为红色的结果有4种， ∴； 答：混合后烧杯中溶液颜色为红色的概率是． 20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形DECF的三个顶点D，E，F分别落在边AB，AC，BC上． （1）用尺规作出正方形DECF； （2）求正方形DECF的边长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，先作∠ACB的平分线，得到点D，再分别过点D作AC和BC的垂线，得到点E和点F，顺次连接即可； （2）设正方形的边长为x，根据题意证明△AED∽△ACB，得到，求解即可. 【详解】解：（1）如图， ∴正方形DECF就是所求的； （2）设正方形的边长为x，则AE=4－x， 在正方形DECF中，DE∥CF ∴∠AED=∠ACB， ∵∠A=∠A ∴△AED∽△ACB ∴ ∴ ∴x= ∴正方形DECF的边长为. 【点睛】本题考查了尺规作图，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握尺规作图的方法和相似三角形的应用. 21. 如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点 并将其吊起来．在中点 的左侧挂一个物体，在中点 的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数 （单位： ）是 （弹簧秤与中点 的距离）（单位： ）的反比例函数，当时，． （1）求 关于 的函数表达式． （2）移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数 的最小值． 【答案】（1） 关于 的函数解析式为 （2）弹簧秤的示数 的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的定义，运用待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数图形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意设，把，代入，得， ∴ 关于 的函数解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）可知， 关于 的函数解析式为，， 是弹簧秤与中点 的距离是，如图所示， ∵ ， ∴ 随 的增大而减小， ∴把代入，得， ∴弹簧秤的示数 的最小值为． 【点睛】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质是解题的关键． 22. 阅读材料：已知实数m、n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ∴，∴， ∵，∴． 上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知x、y满足，求的值； （2）已知a、b满足，求的值． 【答案】（1）18 （2）或1 【解析】 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程和整式的混合运算-化简求值，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）设，则原方程可变为，解方程即可得到结论； （2）设，则原方程可变为，列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：设， 则原方程可变为， 解得：， ， ， ． 【小问2详解】 解：设， 则原方程可变为， 即， 解得：， 或1， 或1． 23. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】（1） （2）糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解∶设y与x的函数表达式为 ， 把，； ，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时， 有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； 【小问3详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时， 有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 24. 综合与实践课上，数学老师让同学们通过折纸进行探究活动． 【动手操作】 如图1，将平行四边形纸片 沿过顶点A的直线折叠，使得点D落在 边上的点G处，折痕交 于点E，再沿着过点G的直线折叠，使得点B落在 边上的点H处，折痕交 于点F．将纸片展平，画出对应点G，H及折痕 ， ，连接 ， ， ． 【初步探究】 （1）确定 和 的位置关系及线段 和 的数量关系． 求知小组经过一番思考和研讨交流后，发现，证明过程如下： 由折叠的性质，可知，． 又由平行四边形的性质，可知， ∴． ∴ ① ， ∴． 奋进小组经过一番思考和研讨交流后，发现在寻找 和 的数量关系时，方法不一： 先测量 和 的长度，猜想其关系为 ② ． 方法一：证明，得到，再由可证． 方法二：过点G作 的平行线交 于点N，构造平行四边形，然后证可得结论． 补充上述过程中横线上的内容：①____________；②____________． 【类比探究】 （2）如图2，将平行四边形纸片 特殊化为矩形纸片 ，重复上述操作．请判断 和 的位置关系及 和 的数量关系是否发生变化，并说明理由． 【拓展运用】 （3）如图3，在矩形 中， ，按上述操作折叠并展开后，过点G作交 于点M，连接．当时，求 的长． 【答案】（1）①；② （2）不发生变化， 理由如下： ①由折叠的性质，可知，． 四边形 为矩形， ， ∴． ∴， ∴． 四边形 为矩形， ， ， ②由折叠的性质，可知，，，，，， 又 ， ， ， ，， ， ， ， ． （3） 的长为 【解析】 【分析】（1）根据推论过程结合等量代换补充完整即可得到①，由方法一思路证明可得到②，即可解题； （2）类似于初步探究的证明过程，即可证明 和 的位置关系及 和 的数量关系不发生变化； （3）利用平行的性质得到，，进而得到， ，利用等量代换得到，，结合（2）中结论，设，则，根据，建立等式，结合勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由等量代换可知：①， 由折叠的性质，可知，，，，，． 四边形 为平行四边形， ． ． 又 ， ， ， ，， ， ， ， ． 可猜想其关系为：②， 故答案为：①；②． （2）略 （3）解： ， ∴ ， ， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ，即， ， ， 解得或（舍去）， 的长为． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，平行线性质，等腰三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用． 25. 定义：已知二次函数 ，则称二次函数是二次函数 的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（ ） A． B． C． D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 【答案】（1）C；（2）①2；②见解析；③或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键． （1）根据伴随二次函数的定义逐一判断即可； （2）①将变形即可求解；②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合取值范围及二次函数的性质分情况求解即可． 【详解】解：（1）对于二次函数 当伴随值为1时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为2时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 故选：C． （2）①设伴随值为t， 则 ， ， ． 故答案为：2； ②列表： 0 2 3 4 6 5 5 依次描出点， 画图如图所示： ③令 得 或； 令 得或． 结合函数图象可知，只能是或， 或3． 当时，，此时且随x的增大而减小， ∴当 时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 当时，，此时且随x的增大而增大， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 综上，W的最低点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州市2025-2026学年上学期初中期末阶段教学联合诊断 九年级数学 （考试时间120分钟，满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，放在同一平面直角坐标系中的两个汽球恰好是位似图形，点 、点 分别是①号②号汽球的扎口，位似中心为点 ，位似比是 ，则的对应点 的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 圆周率π是无限不循环小数．目前，超级计算机已计算出 的小数部分超过万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．从 的小数部分随机取出一个数字，估计数字是9的概率为（　　） A. B. C. D. 4. 在菱形 中，对角线 与 交于点O，则的值可以是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知 ，，若，则 的长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 6. 如图①，天窗打开后，天窗边缘 与窗框 夹角为，它的示意图如图②所示．若 长为米，则窗角 到窗框 的距离 的大小为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ 　　）. A. B. C. D. 8. 如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知 ，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示， 是垂直于水平地面的支撑杆，米，AB是杠杆， 米，．当点A位于最高点时，．此时，点A到地面的距离为（ ） A. 米 B. 5米 C. 6米 D. 7米 10. 已知，，三点在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置． 11. 如果两个相似多边形的面积比是，那么这两个相似多边形的相似比是________． 12. 在一个不透明的口袋里装有n个除颜色外都完全相同的小球，其中红球有6个，每次将袋子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在 ，那么可以估算出n的值为________． 13. 写一个二次函数，要求∶开口向下，对称轴y轴，与x轴有两个交点．符合条件的二次函数解析式为∶_____________； 14. 一辆汽车，新车购买价为20万元，以后每年的年折旧率为 ，如果该车购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元，那么可以列出关于 的方程是_______．（列出方程即可，无需求解） 15. 如图，点A在反比例函y1＝的图象上，点B在反比例函y2＝的图象上，且AB∥x轴，若△AOB的面积为7，则k的值为_____． 16. 定义：是一元二次方程 的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程 有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡的相应位置解答． 17. 计算： 18. 如图，在中， 在 边上，连接 ， ， ，，求证：． 19. 三个外观完全相同的细口瓶中分别装有一种无色溶液，记为、 、 ．已知、 混合后溶液会变为红色，、 混合后溶液也会变为红色， 、 混合后溶液不变色．从、 、 三种溶液中随机选择两种在烧杯中混合．用画树状图（或列表）的方法，求混合后烧杯中溶液颜色为红色的概率． 20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形DECF的三个顶点D，E，F分别落在边AB，AC，BC上． （1）用尺规作出正方形DECF； （2）求正方形DECF的边长． 21. 如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点 并将其吊起来．在中点 的左侧挂一个物体，在中点 的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数 （单位： ）是 （弹簧秤与中点 的距离）（单位： ）的反比例函数，当时，． （1）求 关于 的函数表达式． （2）移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数 的最小值． 22. 阅读材料：已知实数m、n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ∴，∴， ∵，∴． 上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知x、y满足，求的值； （2）已知a、b满足，求的值． 23. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 24. 综合与实践课上，数学老师让同学们通过折纸进行探究活动． 【动手操作】 如图1，将平行四边形纸片 沿过顶点A的直线折叠，使得点D落在 边上的点G处，折痕交 于点E，再沿着过点G的直线折叠，使得点B落在 边上的点H处，折痕交 于点F．将纸片展平，画出对应点G，H及折痕 ， ，连接 ， ， ． 【初步探究】 （1）确定 和 的位置关系及线段 和 的数量关系． 求知小组经过一番思考和研讨交流后，发现，证明过程如下： 由折叠的性质，可知，． 又由平行四边形的性质，可知， ∴． ∴ ① ， ∴． 奋进小组经过一番思考和研讨交流后，发现在寻找 和 的数量关系时，方法不一： 先测量 和 的长度，猜想其关系为 ② ． 方法一：证明，得到，再由可证． 方法二：过点G作 的平行线交 于点N，构造平行四边形，然后证可得结论． 补充上述过程中横线上的内容：①____________；②____________． 【类比探究】 （2）如图2，将平行四边形纸片 特殊化为矩形纸片 ，重复上述操作．请判断 和 的位置关系及 和 的数量关系是否发生变化，并说明理由． 【拓展运用】 （3）如图3，在矩形 中， ，按上述操作折叠并展开后，过点G作交 于点M，连接．当时，求 的长． 25. 定义：已知二次函数 ，则称二次函数是二次函数 的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（ ） A． B． C． D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $