精品解析：云南德宏傣族景颇族自治州2025-2026学年高三上学期期末教学质量统一监测数学试题

2025年高三年级秋季学期期末教学质量统一监测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集定义计算即可. 【详解】. 故选：A. 2. 直线与直线所成角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得两条直线的斜率，然后由两直线的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】直线斜率，直线斜率， 设两直线的夹角为，则， 且，所以. 故选：B 3. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边.已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由同角的正余弦的平方关系求得，进而由余弦定理求得，再利用正弦定理可求解. 【详解】因为为锐角三角形，所以，又，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 在中，由正弦定理可得，所以，解得. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用两角和的正弦、余弦公式化简可得，再根据二倍角余弦公式求解. 【详解】由，可得， 即，即得， . 故选：B. 5. 已知，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对给定不等式作等价变形，构造函数并确定其单调性，再借助函数单调性并结合复合函数单调性求解即得. 【详解】因为，所以. 令，则. 依题意可知，且，， 因此在上单调递增， 设，因为是上的增函数， 所以是上的增函数，且恒有. 设，，则，. 因为是上的增函数，所以是上的增函数且恒有. 当时，是上的增函数成立且满足. 当时，由是上的增函数得，解得. 又都有，所以，解得，因此. 综上所述可得. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 6. 已知函数,下列结论中正确的是（ ） A. 函数的周期是 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的最小值是 D. 函数的图象关于点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据的解析式,由可求其周期,令即可求对称轴,根据,即可求最值,根据对称中心是令,即可判断选项D正误. 【详解】解:由题知, , 故选项A正确; 令, 解得: , 令, 令, 故选项B错误; 因为, 所以, 故选项C正确; 因为对称中心纵坐标为1, 故选项D错误. 故选:AC 7. 已知抛物线的焦点为F，C上一点到和到轴的距离分别为12和10，且点位于第一象限，以线段为直径的圆记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的准线方程为 C. 圆的标准方程为 D. 若过点，且与直线为坐标原点）平行的直线与圆相交于A，B两点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知及抛物线定义可判定AB，求出点坐标，进而得圆心坐标及半径可判定C，求出直线方程，利用直线与圆相交求出弦长可判定D. 【详解】选项A：因C上一点到和到轴的距离分别为12和10， 由抛物线定义可知，，故A正确； 选项B：准线方程为，故B错误； 选项C：设，由到轴的距离分别为10，所以， 则，即，又，所以圆心， 半径， 所以圆的标准方程为，故C正确； 选项D：因为直线为坐标原点）平行的直线，所以， 所以直线的方程为， 又圆心到直线的距离为， 所以，故D正确； 故选：ACD. 8. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．他在1261年所著的《详解九章算法》给出图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．根据以上材料，则下列说法正确的是（ ） A. 第10行所有数字的和等于1024 B. 第10行所有数字的平方和等于 C. 若第n行的第i个数记为，则 D. 记每一行的第个数组成的数列称为第k斜列，该三角形数阵前2024行中第k斜列各项之和为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据杨辉三角对应的题图分析，结合二项式定理、组合数的性质及运算判断各项的正误即可. 【详解】对于A，由图分析知，杨辉三角的第n行是的展开式中二项式系数，， 所以，第10行所以数字的和为，A对； 对于B，由，则， 所以，对于含项，左侧为，右侧为， 所以，第10行所有数字的平方和，B对； 对于C，第行的第个数为，则，故，C对； 对于D，由， 所以，三角形数阵前2024行中第k斜列各项之和为， 时，三角形数阵前2024行中第1斜列各项之和为2024，而， 综上，时三角形数阵前2024行中第k斜列各项之和为，D错. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 9. 已知函数的定义域为，，且，则__________. 【答案】2026 【解析】 【分析】由题中函数方程的性质，可推导出当自变量为正整数时，函数值构成一个等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为，且， 令，则， 所以为首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以. 故答案为：2026. 10. 如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，（） 的两部分，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用线面平行的性质，得出线线平行，从而求作出平面与平面的交线，进而得出平面分正方体为两部分，再利用棱台的体积公式即可求出结果. 【详解】取的中点，连，因为平面，故平行于平面与面的交线，又分别为的中点，易知，即平面平面，故平面分正方体为两部分， 设正方体的边长为2，则正方体的体积为8，， 故, 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11. 已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且 （1）求此椭圆的方程 （2）若点满足，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】设椭圆的方程为,由焦点坐标求出，根据，求出，从而可求，即可得出椭圆方程； 在焦点三角形中，运用余弦定理结合椭圆的定义，求出，再利用三角形的面积公式，可求的面积． 【小问1详解】 由题意，设椭圆的方程为， ∵焦点为，， ∴， 又， 所以，， ，． 所求椭圆的方程为． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得 即， ∴， ∴， 所以. 12. 在一个温馨的周末，甲同学一家人齐聚在宽敞明亮的客厅里进行掷游戏币活动，假设每次掷游戏币出现正面的概率为，且，每次掷游戏币的结果相互独立. （1）当时，若甲连续投掷了两次，求至少出现一次正面向上的概率； （2）若规定每轮游戏只要连续不断的出现三次正面向上，则游戏结束，每轮最多连续投掷6次. ①甲在一轮游戏中恰好投掷了5次游戏结束的概率为，求的表达式； ②设甲在一轮游戏中投掷次数为，求的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用对立事件概率的关系求事件的概率. （2）①明确投掷5次游戏结束的具体情况，可求得其概率； ②明确的可能取值，求出对应概率，得到的分布列，求其期望，再结合导数与函数的单调性，求的最大值. 【小问1详解】 设事件表示第次正面向上，其中.且，， 设事件：“至少出现一次正面向上”. 【小问2详解】 ①设事件：“恰好投掷了5次游戏结束”，则. 故 . 所以. ②由题意知， ， ， . . 则. 令，， 当时，，即在上单调递减，故， 因此，的最大值为. 13. 已知递增数列的各项为正整数，前项和为，数列满足“对任意的，均有成立.且. （1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式； （2）若的公差大于1，定义首项为2且公比大于1的等比数列为“G-数列”，证明： ①对任意且，存在“-数列”，使得成立； ②当且时，不存在“-数列”，使得对任意正整数成立. 【答案】（1） 取，则， 又，， 所以， 当时，， 两式相减整理得： 又：， 两式相减整理可得：， 由，当时，，即， 所以对任意的，都有， 所以是等差数列，由，可得： . ∴. （2）①由于，∴，设“数列”的公比为，且. 由题意，只需证存在对且，成立， 即成立，设， 令，所以在上单增，上单减， 又∵，∴， 所以，使得对任意且成立. 又，，， ，， 所以对任意且，均成立， 所以对任意且，存在“数列”，使得成立； ②由①知，若成立，则成立，当 时，， 取，由不存在， 所以当且时，不存在“数列”，使得对任意正整数成立. 【解析】 【分析】（1）由条件关系取可得，结合关系证明：，再证明时。结论也成立，由此证明数列为等差数列，结合，，求和公差，.由此可求数列的通项公式； （2）由（1），的公比为，， ①要证明原结论只需证明存在对且，成立，利用导数证明，由此证明满足条件即可； ②设成立，则成立，取推出矛盾，完成证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高三年级秋季学期期末教学质量统一监测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合或，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线与直线所成角是（ ） A. B. C. D. 3. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边.已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 6. 已知函数,下列结论中正确的是（ ） A. 函数的周期是 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的最小值是 D. 函数的图象关于点对称 7. 已知抛物线的焦点为F，C上一点到和到轴的距离分别为12和10，且点位于第一象限，以线段为直径的圆记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的准线方程为 C. 圆的标准方程为 D. 若过点，且与直线为坐标原点）平行的直线与圆相交于A，B两点，则 8. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．他在1261年所著的《详解九章算法》给出图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．根据以上材料，则下列说法正确的是（ ） A. 第10行所有数字的和等于1024 B. 第10行所有数字的平方和等于 C. 若第n行的第i个数记为，则 D. 记每一行的第个数组成的数列称为第k斜列，该三角形数阵前2024行中第k斜列各项之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 9. 已知函数的定义域为，，且，则__________. 10. 如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，（） 的两部分，则_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11. 已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且 （1）求此椭圆的方程 （2）若点满足，求的面积． 12. 在一个温馨的周末，甲同学一家人齐聚在宽敞明亮的客厅里进行掷游戏币活动，假设每次掷游戏币出现正面的概率为，且，每次掷游戏币的结果相互独立. （1）当时，若甲连续投掷了两次，求至少出现一次正面向上的概率； （2）若规定每轮游戏只要连续不断的出现三次正面向上，则游戏结束，每轮最多连续投掷6次. ①甲在一轮游戏中恰好投掷了5次游戏结束的概率为，求的表达式； ②设甲在一轮游戏中投掷次数为，求的最大值. 13. 已知递增数列的各项为正整数，前项和为，数列满足“对任意的，均有成立.且. （1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式； （2）若的公差大于1，定义首项为2且公比大于1的等比数列为“G-数列”，证明： ①对任意且，存在“-数列”，使得成立； ②当且时，不存在“-数列”，使得对任意正整数成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $