云南省德宏州2024-2025学年高三上学期期末教学质量统一监测数学试题

德宏州2024—2025学年高三年级秋季学期期末教学质量统一监测 数学试卷 本试卷共8页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：     1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数，则在复平面对应的点所在象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．某校举行数学竞赛，现将100名参赛学生的成绩（单位：分）整理如下： 成绩 频数 5 25 30 20 10 10 根据表中数据，下列结论正确的是（ ） A．100名学生成绩的极差为60分 B．100名学生成绩的中位数大于70分 C．100名学生成绩的平均数大于60分 D．100名学生中成绩大于60分的人数所占比例超过80% 4．若椭圆的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则为（ ） A．244 B．243 C．242 D．241 6．下列说法不正确的是（ ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“，”是真命题 C．由一组样本数据，，… ，得到经验回归方程，若相关系数越小，则两组变量的相关性越弱 D．甲、乙、丙三名大学生从勐焕大金塔、一寨两国、黄草坝、陇川欢乐水世界、南甸宣抚司署五个景点中各选一个去游玩，则共有125种不同选法 7．已知一道解答题共有两小问，第一问7分，第二问8分，高三（2）班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 8．已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（ ） A．在区间单调递减 B．的图象关于直线对称 C．当时，的值域为 D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 10．如图，正方体的棱长为2，点是其侧面上的一个动点（含边界），点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A．存在点，，使得二面角大小为 B．存在点，，使得平面与平面平行 C．当为棱的中点且时，点的轨迹长度为 D．当为中点时，四棱锥外接球的体积为 11．已知抛物线 的准线与圆相切，为抛物线上的动点，是圆上的动点，过点作的垂线，垂足为，抛物线的焦点为，则下列结论正确的是（ ） A．的最小值为 B．存在两个点，使得 C．存在点，当为正三角形时，圆与直线相交 D．过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，若，则的面积为 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若向量，，且，，三点共线，则 . 13．已知的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中常数项为 . 14．已知首项为2的数列的前和为，且，若数列满足，则数列中最大项的值为 . 4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 在中，角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 16．（本小题15分） 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，，平面平面. （1）证明：； ( P A D B C )（2）点在线段上，且，求直线与平面所成角的余弦值. 17．（本小题15分） 已知函数. （1）若函数在处的切线与直线垂直，求实数； （2）若函数有极大值，且极大值不大于0，求实数的取值范围. 18．（本小题17分） 为更好的发挥高考的育才作用，部分新高考数学试卷采用了多选题这一题型．教育部考试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的区分度，也有利于提高学生的得分率．多选题评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中，有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选得0分，正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为（其中）． （1）在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得2分的概率； （2）针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案： Ⅰ：随机选一个选项； Ⅱ：随机选两个选项； Ⅲ：随机选三个选项. (ⅰ)若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望； (ⅱ)以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？ 19．（本小题17分） 已知平面直角坐标系中椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，，以为圆心3为半径的圆与以为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于，两点，射线交椭圆于点. (ⅰ)求的值； (ⅱ)求面积的最大值. 数学试卷·第8页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 德宏州2024—2025学年高三年级秋季学期期末教学质量统一监测 数学参考答案及评分建议 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C A A C B D 二、选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 序号 9 10 11 答案 AB BC BCD 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．0.5 13．60 14．381 四、解答题（共5小题，共77分） 15．解： （1） …………………………………………………2分 …………………………………………………………………3分 ……………………………………………………………………………4分 ……………………………………………………………………………5分 …………………………………………………………………………………6分 （2） ，……………………………………………………………9分 ……………………………………………………………………………12分 ………………………………………………13分 16．答案： （1）证明：取的中点，连接.…………………………………………………1分 因为为等边三角形，所以. 因为为等腰直角三角形，且，所以.………………………4分 因为平面平面，所以平面， 所以.……………………………………………………………………………6分 （2）因为平面平面，平面平面平面， 所以平面.……………………………………………………………………8分 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为， 所以,……………………………………10分 设平面的法向量为， 则即 令，则，所以.………………………………………12分 设直线与平面所成的角为， 则………………………14分 则 则直线与平面所成角的余弦值为………………………………………15分 17．（1），………………………………………………………………………1分 则，……………………………………………………………2分 直线斜率为………………………………………………………3分 又函数在处的切线与直线垂直， 则， ……………………………………………………………5分 得 …………………………………………………………………………6分 （2）①当时，，则函数在上单调递减，所以无极值………8分 ②当时，令得：；令得：. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，……………………10分 所以的极大值为. 因为极大值不大于0，所以. 因为，所以.……………………………………………………12分 记，，则， 所以在上单调递增. 而，所以由可解得. 综上，实数的取值范围为.……………………………………………………15分 18． 解：（1）记事件为“学生甲得2分” ，即学生甲该题得2分的概率为 ………………………3分 （2）①记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， 所以可以取0，2，3， 则，，， 所以的分布列为： 0 2 3 则数学期望；………………………………………8分 ②记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， 则，， ， 所以；……………………………………10分 记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”， 则， ， ， 所以；……………………………12分 记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”， 则，， 所以，…………………………………14分 要使选择方案Ⅰ最好，则，解得：， 故的取值范围为．……………………………………………………………17分 19． 解：（1）设两圆相交于点M， 可得， 又，， 可得，， ( x y A P B Q O F 1 F 2 )即椭圆的方程为；……………………………4分 （2）由（1）知椭圆的方程为， 设，，，由题意可知， ，，由于， 又，即， 所以，即；………………………………………………………………8分 由知，………………………………………………9分 设，，，，将直线代入椭圆的方程，可得 ，由△，可得，① 则有，，…………………………………………11分 所以， 由直线与轴交于， 则的面积为 ，………………………………………………………13分 设，则， 将直线代入椭圆的方程，可得， 由可得，② 由①②可得，则在，递增，即有取得最大值， 即有，即，取得最大值6， 又由，即面积的最大值为18．……………………………17分 注：以上解析仅供参考，若有其它解法，请按点酌情给分。 数学参考答案及评分建议·第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$