精品解析：陕西省咸阳市武功县普集高级中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

普集高中2025~2026学年度第一学期高二年级期末质量检测 数学试题（卷） 命题人：王合军 审题人：段玲莉 总分值：150分 试题范围：选修性必修第一册，选修性必修第二册数列部分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据焦点坐标设抛物线方程，求出焦半径，即得抛物线的标准方程. 【详解】因为抛物线的焦点在轴的负半轴上，故可设其标准方程为，， 因，解得，故抛物线的标准方程是. 故选：C 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 6 B. 2 C. -6 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】直接用空间向量的数量积公式计算即可求解. 【详解】已知 ，， 因为，所以， 即，化简得 故选：A 3. 若直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用方向向量来求斜率即可. 【详解】由直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为. 故选：C. 4. 如图，在四面体中，，点满足，为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形，运用空间向量线性运算将向量用表示即可. 【详解】因为 所以， 故选：C. 5. 直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为（　　） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，即可得到当直线l与线段CP垂直时，弦AB的长最小，再由勾股定理即可得到结果. 【详解】圆C：的圆心，半径为2， 由直线l：为， ∴直线l过定点， 又，∴P在圆C内部， 当直线l与线段CP垂直时，弦AB的长最小， ∵， ∴弦AB长的最小值为. 故选：C. 6. 已知数列满足，则（ ） A. -1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用递推公式先判断周期，利用周期数列即可求解. 【详解】解法1：由数列满足， 可取，则； 取，则； 取，则， 猜想数列是周期为3的周期数列，. 解法2：由得，，逐项代换可得， 数列是周期为3的周期数列，. 故选：C 7. 数列：称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列满足.记该数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用递推关系变形可得，然后裂项相消法求和即可判断各选项. 【详解】由可得： ，故A错误； 移项可得，故C正确； 同理，故B错误； 移项可得，故D错误； 故选：C 8. 如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：由向量的线性运算结合椭圆的性质可得，再由离心率的定义计算可得； 方法二：设，由坐标计算向量的数量积再求离心率即可. 【详解】由题可知 方法一：因为， 则， 即，可得，所以椭圆离心率. 方法二：由在以为直径的圆上可设，则， 易知，则， 所以，即，可得，所以椭圆的离心率. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列中，，，前项和为，则下列选项正确有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式求出首项和公差，从而逐项判断. 【详解】根据题意，等差数列中，，， 可得，解得， 由于，A正确； ，B错误； ， 所以，C正确； ，D正确. 故选：ACD 10. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 【答案】CD 【解析】 【分析】由倾斜角的定义判断A，由两直线位置关系判断B，由点到直线距离公式判断C，由平行求得平行线方程判断D． 【详解】对于A，直线的斜率，故直线的倾斜角是，故A错误； 对于B，因为直线的斜率， 故直线与直线不垂直，故B错误； 对于C，点到直线的距离，故C正确； 对于D，过与直线平行的直线方程是， 整理得：，故D正确. 故选：CD. 11. 已知双曲线离心率为2，左､右焦点分别为是上的动点，且，若直线与的右支交于两点，的中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 若的斜率分别为，则 C. 若为坐标原点，且的斜率分别为，则 D. 若经过，则的内心与三点共线 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和离心率求出双曲线的标准方程即可判断A；根据两点表示斜率公式计算即可判断B；利用点差法，结合两点表示斜率公式计算即可判断C；如图，根据双曲线的定义和切线的性质可得，则切点与点重合，即内心的横坐标为2，同理可得内心的横坐标也为2，即可判断D. 【详解】对于A，由题意知的离心率为， 所以，所以的方程为，故A正确； 对于B，，设点，则，即， 所以不是定值，故B错误； 对于C，设，则， 因为在上，所以， 两式相减，得，即， 所以，故C正确； 对于D，如图，设和的内心分别为，设的内切圆的切点为， 由双曲线的定义得，又， 所以，又， 所以，又， 所以切点与点重合，内心的横坐标为2， 同理可得内心的横坐标也为2，所以三点共线，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若抛物线的准线经过椭圆的左焦点，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据方程求椭圆的左焦点和抛物线的准线方程，根据题意列式求解即可. 【详解】由椭圆方程可知：， 则椭圆的左焦点为， 又因为抛物线的准线方程为， 可得，解得. 故答案为：2. 13. 已知点在平面内，的一个法向量为，则点到平面的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间中点到平面的距离公式计算即可. 【详解】，，， 所以. 故答案为： 14. 如图，直角中，，，作的内接正方形，再做的内接正方形，…，依次下去，所有正方形的面积依次构成数列，其前项和为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形相似比求得相邻两个正方形的边长之比，和第一个正方形的边长，然后可得面积构成等比数列，利用等比数列求和公式可得. 【详解】由可得， 因为，所以，即， 又，所以，即，所以. 由上可知，， 同理可得，所以， 即数列是以为首项和公比的等比数列， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的三个顶点是．求： （1）边的垂直平分线的方程； （2）的外接圆的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出BC中点，由直线BC斜率得其垂直平分线斜率，点斜式写出方程； （2）由待定系数法列方程组求解圆的方程. 【小问1详解】 因为，所以BC中点坐标为，即， 又，所以所求直线的斜率， 所以所求直线方程为，即. 【小问2详解】 设的外接圆方程为， 则，解得， 所以所求圆的方程为. 16. 如图，四边形是正方形，平面，，，，点，分别为棱和的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 分析】（1）建立空间直角坐标系，计算，，利用向量法计算可得； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 因为四边形为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 所以，所以，即. 【小问2详解】 设平面的法向量，，， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为，又， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得出是首项为3，公差为5的等差数列，根据等差数列通项公式求得，即可求得数列的通项公式； （2）结合（1），根据错位相减法求解即可． 【小问1详解】 由题意知，所以由，得， 所以，又， 所以是首项为3，公差为5的等差数列， 所以，即． 【小问2详解】 由（1）得， 所以①， ②， ①②，得 ， 所以． 18. 已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为时，求k的值． 【答案】（1） （2）1或－1. 【解析】 【详解】（1）由题意得解得．所以椭圆C的方程为． （2）由得． 设点M，N的坐标分别为，，则，，，． 所以|MN|===． 由因为点A（2,0）到直线的距离， 所以△AMN的面积为． 由，解得，经检验，所以． 19. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系把转化成关于的递推公式，再构造等比数列可得答案； （2）利用分组求和可得答案； （3）由（2）可得到，利用单调性可得到其最值，即得答案. 【小问1详解】 由 ，当  时，，解得 ； 当  时，， 整理得 ， 即 故数列  是首项为 、公比为  的等比数列， 所以 因此 【小问2详解】 由 . ， 【小问3详解】 由（2）知， 由，知 易知  单调递减， 所以， 而  单调递增，所以， ， 只需， 即. 故  的取值范围是 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普集高中2025~2026学年度第一学期高二年级期末质量检测 数学试题（卷） 命题人：王合军 审题人：段玲莉 总分值：150分 试题范围：选修性必修第一册，选修性必修第二册数列部分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 6 B. 2 C. -6 D. -2 3. 若直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为（ ） A B. C. D. 4. 如图，在四面体中，，点满足，为中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为（　　） A. B. 2 C. D. 4 6. 已知数列满足，则（ ） A. -1 B. C. 2 D. 3 7. 数列：称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列满足.记该数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 8. 如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列中，，，前项和为，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 11. 已知双曲线的离心率为2，左､右焦点分别为是上的动点，且，若直线与的右支交于两点，的中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 若斜率分别为，则 C. 若为坐标原点，且的斜率分别为，则 D. 若经过，则的内心与三点共线 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若抛物线的准线经过椭圆的左焦点，则__________. 13. 已知点在平面内，的一个法向量为，则点到平面的距离为_____． 14. 如图，直角中，，，作的内接正方形，再做的内接正方形，…，依次下去，所有正方形的面积依次构成数列，其前项和为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的三个顶点是．求： （1）边的垂直平分线的方程； （2）的外接圆的方程． 16. 如图，四边形是正方形，平面，，，，点，分别为棱和的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和． 18. 已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为时，求k的值． 19. 已知数列的前项和为，且． （1）求通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $