函数的周期性 讲义-2026届高考数学一轮复习

专题2.6 函数的周期性和对称性 2.6.1 函数的周期性 知识点梳理 1.周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期. 2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小正数数叫做f(x)的最小正周期. 3.函数周期性结论： ①若则； ②若则； ③若则； ④若则； ⑤若则； ⑥若f(x+a)=，则f(x)的周期都是T=2； ⑦若f(x)=1-，则f(x)的周期都是T=3； ⑧若f(x+a)=，则f(x)的周期都是T=4； ⑨若f(x+2a)= f(x+a)-f(x)，则f(x)的周期都是T=6. 典型例题 例1.定义在R上的偶函数满足；当时，，则( ) A. B. C. D. 例2.已知.若是以为最小正周期的周期函数，则（  ） A. B. C. D. 例3.已知函数满足且，则 . 例4.已知f（x）是定义域为R的偶函数，f（5.5）＝4，g（x）＝（x﹣1）f（x），若g（x+1） 是偶函数，则g（﹣0.5）＝　 　． 例5.已知函数f（x）的定义域为R，f（x）＝g（x﹣1）+2，若函数g（x）为奇函数，g（x+1） 为偶函数，且f（2）＝1，则（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 随堂演练 1.在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则 （ ） A.在区间上是增函数，在区间上是增函数 B.在区间上是增函数，在区间上是减函数 C.在区间上是减函数，在区间上是增函数 D.在区间上是减函数，在区间上是减函数 2.已知是定义域为R的奇函数且满足,则 ( ) A. B. C. D. 3.已知在R上是奇函数，且，当时，，则 ( ) A. B. C. D. 4.定义在R上的奇函数，满足，当时，，则（  ） A. B. C. D. 5.已知是定义在R上的函数，若函数为偶函数，函数为奇函数，则 （  ） A. B. C. D. 6.已知函数的定义域为，且则( ) A. B. C. D. 7.已知定义域为R的函数满足且当时，，则当时，的最小值为( ) A. B. C. D. 8.函数对于任意实数满足条件，若，则 . 9.定义R上的函数满足，且当时，，则 . 10.已知为偶函数，且，则 . 11.函数满足（），且在区间上， 则的值为 . 12.已知是定义在R上的偶函数，且.若当时，，则 . 13.若存在常数，使得函数满足则的一个正周期为 . 2.6.2 函数的对称性 知识点梳理 1.函数的对称性： （1）若函数y =f(x)的图像关于直线x=a对称，则有f(a+x)= f(a-x)或者f(x)= f(2a-x). （2）若函数y =f(x+a)是偶函数，则f(x+a)= f(-x+a)，即x=a是该函数图像的对称轴. （3）若函数y =f(x)的图像关于点（a,0）中心对称，则有f(a+x)=-f(a-x)或f(x)=-f(2a-x). （4）若函数y =f(x+a)是奇函数，则f(-x+a)=- f(x+a),即（a,0）是该函数图像的对称中心. （5）若函数y =f(x)的图像关于点（a,b）中心对称，则有f(a+x)+f(a-x)=2b或f(x)+f(2a-x)=2b. 2.对称性、周期性判断口诀：同周异对（x同号：周期性；x异号：对称性）. 典型例题 例1.关于函数有如下四个命题： ①的图象关于轴对称. ②的图象关于原点对称. ③的图象关于直线对称. ④的最小值为2. 其中所有真命题的序号是 . 例2.已知函数的定义域均为R，且 若的图像关于直线对称，且，则( ) A. B. C. D. 例3.已知函数，则（ ） A.在单调递增 B.在单调递减 C.的图像关于直线对称 D.的图像关于点对称 随堂演练 1.若函数的图象关于点对称，则（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. 2 2.设函数，则下列函数中为奇函数的是 ( ) A. B. C. D. 3.定义在R上的函数的图像关于直线对称，且当时，，则下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 4.设函数的图像关于直线对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 5.已知函数的图象关于点对称，则（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 6.函数的对称中心为 . 7.已知，则 . 8.若函数（其中满足，且在单调递增，则实数的最小值等于 . 9.若函数的图像关于直线对称，则的最大值是 . 10.已知函数的图像关于直线对称，则 . 2.6.3 函数的的对称性与周期性的关系 知识点梳理 1.已知两个对称轴推周期：关于直线对称则. 2.已知两个对称中心推周期：关于两点、都对称,则. 3.已知一个对称中心和一个对称轴推周期:关于和直线都对称,则. 典型例题 例1.若定义在R上的函数满足，且，，则下列结论错误的是（ ） A. B.的图象关于直线对称 C. D.是奇函数 例2.定义域为的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称，若，则 . 随堂演练 1.已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ） A. B. C. D. 2.已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 3.函数的定义域为，若与都是奇函数，则( ) A.是偶函数 B.是奇函数 C. D.是奇函数 4.已知函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数.若，则 ( ) A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 5.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，。若，则( ) A. B. C. D. 6.已知是定义域为的奇函数，满足.若，则 ) A. B. 0 C. 2 D. 50 7.已知可导函数的定义域为R，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则( ) A. B. C. D. 8.已知函数的定义域为，且满足，为偶函数，当时，，若，则( ) A. B. C. D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 函数的周期性和对称性 2.6.1 函数的周期性 知识点梳理 1.周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期. 2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小正数叫做f(x)的最小正周期. 3.函数周期性结论： ①若则； ②若则； ③若则； ④若则； ⑤若则； ⑥若f(x+a)=，则f(x)的周期都是T=2； ⑦若f(x)=1-，则f(x)的周期都是T=3； ⑧若f(x+a)=，则f(x)的周期都是T=4； ⑨若f(x+2a)= f(x+a)-f(x)，则f(x)的周期都是T=6. 典型例题 例1.定义在R上的偶函数满足；当时，，则( ) A. B. C. D. 解：因为 ，所以 周期为 ， 因为当时，单调递增，所以时，单调递增， 因为偶函数，所以时，单调递减，因为，， ，，所以，， ，，故选B. 例2.已知.若是以为最小正周期的周期函数，则（  ） A. B. C. D. 解：因为是以2为最小正周期的周期函数， 所以 由于该等式对所有满足定义的恒成立，且右侧为关于的分式恒等于， 即：， 两边同乘分母（假设分母非零），得： 整理为关于的恒等式： 为使该式对任意（允许取值的）恒成立，各项系数必须均为0：，解得. （注：同时满足所有方程，且此时原函数迭代关系简化为，可验证 成立.）,故选：B. 例3.已知函数满足且，则 . 解：,， ， 所以是的一个周期, 又,， 所以. ∴. 例4.已知f（x）是定义域为R的偶函数，f（5.5）＝4，g（x）＝（x﹣1）f（x），若g（x+1） 是偶函数，则g（﹣0.5）＝　 　． 解：因为g（x+1）是偶函数，又因为g（x+1）＝xf（x+1）， 其中y＝x为奇函数，所以y＝f（x+1）必为奇函数， 即有f（1﹣x）＝﹣f（1+x），f（﹣x）＝﹣f（x+2）， 又因为f（﹣x）＝f（x），所以f（x+2）＝﹣f（x）， f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以函数y＝f（x）的周期为4， 由g（x+1）是偶函数，可得g（﹣x+1）＝g（x+1），即g（﹣x）＝g（x+2）， 所以g（﹣0.5）＝g（2.5）＝1.5f（2.5）＝1.5f（﹣2.5）＝1.5f（﹣2.5+4×2）＝1.5f（5.5）＝6．故答案为：6． 例5.已知函数f（x）的定义域为R，f（x）＝g（x﹣1）+2，若函数g（x）为奇函数，g（x+1） 为偶函数，且f（2）＝1，则（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 解：根据题意，因为函数g（x）为奇函数，所以有g（﹣x）＝﹣g（x），g（0）＝0， 又因为g（x+1）为偶函数，所以g（x+1）＝g（﹣x+1），g（2）＝g（0）＝0， 于是有g（x+2）＝g（﹣x）＝﹣g（x）⇒g（x+4）＝g（x）， 所以函数g（x）的周期为4，因为g（x）＝f（x+1）﹣2，f（2）＝1， 所以g（1）＝f（1+1）﹣2＝﹣1，g（3）＝g（﹣1）＝﹣g（1）＝1，g（4）＝g（0）＝0， 所以g（1）+g（2）+g（3）+g（4）＝0， 于是， 故选：B． 随堂演练 1.在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则 （ ） A. 在区间上是增函数，在区间上是增函数 B. 在区间上是增函数，在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数 D. 在区间上是减函数，在区间上是减函数 解：因为函数是偶函数，而偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，所以在区间上是增函数.又因为，且，故有，即函数周期为.所以区间上的单调性和区间上单调性相同，即在区间上是减函数.故选B. 2.已知是定义域为R的奇函数且满足,则 ( ) A. B. C. D. 解：由是定义域为的奇函数，则，且， 又由满足，即，则有，可得， 即函数是周期为的周期函数，故.故选：B. 3.已知在R上是奇函数，且，当时，，则 ( ) A. B. C. D. 解：，是以为周期的周期函数，由于为奇函数， ，而，即. 故选：A. 4.定义在R上的奇函数，满足，当时，，则（  ） A. B. C. D. 解：因为定义在上的奇函数, 满足, 所以 故的周期为8, 当 时, , 则,所以, 所以.故选: C. 5.已知是定义在R上的函数，若函数为偶函数，函数为奇函数，则 （  ） A. B. C. D. 解：因为函数为偶函数, 所以,函数的图象关于直线对称, 又函数为奇函数,所以,所以函数的图象关于对称, 所以,所以, 即,所以，则函数的一个周期为4,对, 令,则, 所以, 令,则, 又, 所以, , 所以 故选：. 6.已知函数的定义域为，且则( ) A. B. C. D. 解：因为 ，令 可得，， 所以 ，令 可得，， 即，所以函数为偶函数，令得， 即有从而可知 ，， 故，即， 所以函数的一个周期为6.因为， ，，， 所以一个周期内的： 由于22除以6余4，所以，故选: A. 7.已知定义域为R的函数满足且当时，，则当时，的最小值为( ) A. B. C. D. 解：当时, 易知当时，因为则 当. 综上： 8.函数对于任意实数满足条件，若，则 . 解：由得： 所以，则.故答案为：. 9.定义R上的函数满足，且当时，，则 . 解：由可得,所以,故为周期函数, 且周期为8,,故答案为: . 10.已知为偶函数，且，则 . 解：因为为偶函数, 所以,又, 所以,因为, 所以,所以, 所以函数为周期函数, 周期为4, 所以,由, 可得,由, 可得,所以, 所以,故答案为: . 11.函数满足（），且在区间上， 则的值为 . 解：由得函数的周期为4, 所以 因此.故答案为：. 12.已知是定义在R上的偶函数，且.若当时，，则 . 解：由，移项得，故是周期为的周期函数.因此.故. 13.若存在常数，使得函数满足则的一个正周期为 . 解：令，则.依题意有对任意实数成立，且为常数， 故是周期函数，是它的一个正周期.则答案为:. 2.6.2 函数的对称性 知识点梳理 1.函数的对称性： （1）若函数y =f(x)的图像关于直线x=a对称，则有f(a+x)= f(a-x)或者f(x)= f(2a-x). （2）若函数y =f(x+a)是偶函数，则f(x+a)= f(-x+a)，即x=a是该函数图像的对称轴. （3）若函数y =f(x)的图像关于点（a,0）中心对称，则有f(a+x)=-f(a-x)或f(x)=-f(2a-x). （4）若函数y =f(x+a)是奇函数，则f(-x+a)=- f(x+a),即（a,0）是该函数图像的对称中心. （5）若函数y =f(x)的图像关于点（a,b）中心对称，则有f(a+x)+f(a-x)=2b或f(x)+f(2a-x)=2b. 2.对称性、周期性判断口诀：同周异对（x同号：周期性；x异号：对称性）. 典型例题 例1.关于函数有如下四个命题： ①的图象关于轴对称. ②的图象关于原点对称. ③的图象关于直线对称. ④的最小值为2. 其中所有真命题的序号是 . 解：对于命题①, , .所以, ,故的图像不关于轴对称,也不关于原点对称.命题①错误. 对于命题②,函数的定义域为,定义域关于原点对称. .所以,函数的图像关于原点对称,命题②正确. 对于命题③, , . 则所以,函数的图像关于直线对称, 命题③正确. 对于命题④,当时, ,则命题④错误. 故答案为: ②③. 例2.已知函数的定义域均为R，且 若的图像关于直线对称，且，则( ) A. B. C. D. 解：因为的图像关于直线对称,所以. 因为,所以,即. 因为,所以.代入得, 即.所以. . 因为,所以,即.所以. 因为,所以,又因为, 联立得.所以的图像关于点中心对称. 因为函数的定义域为,所以.因为,所以. 所以 例3.已知函数，则（ ） A.在单调递增 B.在单调递减 C.的图像关于直线对称 D.的图像关于点对称 解：由题意知,,所以的图像关于直线对称. 故C 正确, D错误. 又 (). 由复合函数的单调性可知在上单调递增, 在 上单调递减,所以A, B错误. 故选：C. 随堂演练 1.若函数的图象关于点对称，则（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. 2 解: 的图像关于点对称,, 即.解得. .经检验知的图像关于点对称,故选: C. 2.设函数，则下列函数中为奇函数的是 ( ) A. B. C. D. 解：因为.定义域为 . 则 所以函数的对称中心为,所以将函数向右平移个单位, 向上平移个单位,得到函数.该函数的对称中心为,故函数为奇函数.故选: A. 3.定义在R上的函数的图像关于直线对称，且当时，，则下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 解：定义在上的函数的图像关于直线对称,所以. 所以.因为当时,为单调递增函数, 定义在上的函数的图像关于直线对称, 所以当时,单调递减.所以.所以,即 .故选：B. 4.设函数的图像关于直线对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 解：因为函数的图像关于直线对称, 所以点与点 ,关于直线对称.故选：D. 5.已知函数的图象关于点对称，则（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 解：由对称中心性质可知函数满足. 即 整理可得, 即,解得.故选: C. 6.函数的对称中心为 . 解：因为. 则的图像可以由函数向右平移一个单位,再向上平移一个单位得到. 因为为奇函数,函数图像关于原点对称, 所以关于对称. 7.已知，则 . 解：因为 , 所以 则 .. .所以故答案为: . 8.若函数（其中满足，且在单调递增，则实数的最小值等于 . 解：根据可知函数的图像关于直线对称,可知, 从而可以确定函数在上是增函数,从而有, 所以,故的最小值等于. 9.若函数的图像关于直线对称，则的最大值是 . 解：依题意,为偶函数, 展开式中的系数为,故. 的系数为,故. 令,得,对称轴为可知,将该式分解为,可知其在和处取到最大值,带入,可知最大值为. 10.已知函数的图像关于直线对称，则 . 解：函数的定义域为. 函数的图像关于直线对称,得的定义域关于对称,则. 此时必有,即,解得. 此时 因此函数的图像关于直线对称,即满足题意,所以.故答案为:. 2.6.3 函数的的对称性与周期性的关系 知识点梳理 1.已知两个对称轴推周期：关于直线对称则. 2.已知两个对称中心推周期：关于两点、都对称,则. 3.已知一个对称中心和一个对称轴推周期:关于和直线都对称,则. 典型例题 例1.若定义在R上的函数满足，且，，则下列结论错误的是（ ） A. B.的图象关于直线对称 C. D.是奇函数 解：由,所以， 又,所以， 且,所以,故A正确. 由A可得, 是周期为8的函数,. 又由,得， 所以,故C错误. 对于D,由的图像关于点对称,所以的图像关于原点对称, 故D正确,故选:C. 例2.定义域为的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称，若，则 . 解：因为的图象关于点对称,所以则， 即又的图象关于直线对称, 则,所以,即, 可得,则是以为周期的函数. 因为,由, 令, 得, 所以, ,, 所以 故答案为: . 随堂演练 1.已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ） A. B. C. D. 解：因为满足,所以所以函数是以为周期的周期函数, 则. 由是定义在 上的奇函数,且满足,得, 因为在区间上是增函数, 是定义在上的奇函数,所以在区间上是增函数, 所以,即.故选：D. 2.已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 解：因为函数 为偶函数, 则，可得. 因为函数为奇函数, 则,所以， 所以,即,故函数是以4为周期的周期函数. 因为函数为奇函数,则,故.其它三个选项未知.故选: B. 3.函数的定义域为，若与都是奇函数，则( ) A.是偶函数 B.是奇函数 C. D.是奇函数 解：与都是奇函数,, ,函数 关于点、及点对称,函数是周期的周期函数. , ,即是奇函数.故选：D. 4.已知函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数.若，则 ( ) A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 解：为偶函数，则则关于对称，为奇函数， 则则关于点对称， 则由其关于对称有 则，作差有， 为周期函数，且周期为，因为，，则， 因为，，则， ，则，故选：C. 5.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，。若，则( ) A. B. C. D. 解：因为是奇函数，所以 ① 因为是偶函数，所以 ②. 令，由①得:， 由②得:，因为， 所以，令， 由①得:，所以. ， ， ， 所以故选:D. 6.已知是定义域为的奇函数，满足.若，则 ) A. B. 0 C. 2 D. 50 解：因为是定义域为的奇函数，且，所以, ， 因此， 因为，，所以， ，从而.故选：C. 7.已知可导函数的定义域为R，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则( ) A. B. C. D. 解：因为为奇函数,则， 两边求导得,则,可知关于直线对称, 又因为为奇函数,则,即, 可知关于点对称.令,可得 由可得,由, 可得,即,可得,即 令,可得;令,可得;且 可知8为的周期,可知 所以.故选：D. 8.已知函数的定义域为，且满足，为偶函数，当时，，若，则( ) A. B. C. D. 解：因为 ①,所以函数的图象关于点对称. 因为为偶函数,所以 ②,则函数的图象关于直线对称. 由①②得：, 则,故的周期为, 所以. 由,令,得,即③. 已知,由函数的图象关于直线对称,得. 又函数的图象关于点对称,得. 所以,即,所以④. 联立③④解得, ,故当时, . 由的图象关于点对称, 可得故选: A. 1 学科网（北京）股份有限公司 $