精品解析：重庆市第一中学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025年重庆一中初2026届初三上期末考试 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试卷的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回. 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴为直线：. 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1. 下列实数中，属于无理数的是（） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，掌握知识点是解题的关键． 无理数是指无限不循环小数，根据定义逐项分析求解即可． 【详解】解：A．是分数，属于有理数，不符合题意； B．是整数，属于有理数，不符合题意； C．是分数，属于有理数，不符合题意； D．，是无理数，且不能表示为分数，属于无理数，符合题意． 故选：D． 2. 人工智能技术的突破性发展，正在全球范围内掀起一场“软件定义世界”的革命浪潮，下列软件图标中，属于轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、B、D的图案不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项C的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 3. 已知点在反比例函数的图象上，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 将点(m，2)代入反比例函数解析式，解方程求m． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂相乘法则、幂的乘方运算法则、单项式乘以单项式法则以及完全平方公式，逐一验证每个选项的正确性即可． 【详解】解：A.，原计算错误，不符合题意； B.，原计算错误，不符合题意； C.，计算正确，符合题意； D. ，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 5. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积之比为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似比，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握面积比与相似比之间的关系． 由面积比可得相似比，以及对应边的位置关系，根据平行线的性质，可得角相等，从而可证三角形相似，对应边成比例，进一步计算可得的值即可． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，与的面积之比为， ∴与的相似比为，， ∴，， ∴， 故选：A． 6. 小一同学用大小相同的围棋子按如图所示的规律摆图案，其中第①个图案中有5颗围棋子，第②个图案中有9颗围棋子，第③个图案中有13颗围棋子，第④个图案中有17颗围棋子，…，按此规律摆放下去，第⑧个图案中围棋子的个数是（ ） A. 29 B. 31 C. 33 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现棋子个数的变化规律是解题的关键． 根据所给图形中棋子的个数，发现后一个图形比前一个图形多4个棋子，据此发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图案中，棋子的数量为； 第2个图案中，棋子的数量为； 第3个图案中，棋子的数量为； 所以第个图案中，棋子的数量为个． 当时， （个， 即第8个图案中，棋子的数量为33个． 故选：C． 7. 已知，则实数m的范围是（） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 通过估算的值，得到，进而确定m的范围即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 即， ∴m在3和4之间． 故选：C． 8. 某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器感染病毒，最初有3台服务器感染病毒，经过两轮传播后共有147台服务器被感染，设每轮传播中平均一台服务器感染x台服务器，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据病毒传播过程，初始感染台数加上每轮新增感染台数，两轮后总感染台数为147，列方程求解即可． 【详解】解：∵初始感染服务器数为3台， 第一轮传播中，每台感染x台，新增感染数为台，第一轮后总感染数为台， 第二轮传播中，有台服务器，每台感染x台，新增感染数为台， ∴两轮后总感染数为． 故选：A． 9. 如图，在正方形中，点F是对角线上任意一点，将绕点A顺时针旋转得到，过点G作交于点E，连接，，当点E恰好为中点时，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先结合正方形的性质和旋转的性质证明，由全等三角形的性质可得；过点作平行线，分别交于点，过点作，交延长线于点，设交于点，易得四边形为矩形，进而可知，再证明，均为等腰直角三角形，进一步可知，，即可确定；证明，可得；设，， 则，进一步确定，然后计算的值即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 如图，过点作平行线，分别交于点，过点作，交延长线于点，设交于点， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，，即， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，， 则， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 10. 已知整式，其中n为正整数，，，…，，均为绝对值小于2的整数且．若M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，满足且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有2个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有12个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式的系数与次数，整式的加减，先由题意可得为或，，…，，均为或或0，，结合且，根据的值分情况讨论即可． 【详解】解：∵，，…，，均为绝对值小于2的整数且， ∴为或，，…，，为或或0， ∵M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B， ∴， 各项系数都不为0时，， 当时，，，由得，此时，，； 当时，， 若，，由得，即，，中有两个，一个1， 此时满足条件的共有三个多项式，分别为，，， 若，，由得，即，中有一个，一个1， 此时满足条件的共两个多项式，分别为，， 满足条件的所有整式M的和为； 当时，， 若，，，由得，即，，，都等于，满足条件的只有一个多项式 ； 若，，，由得，此时，，满足条件的只有一个多项式 ； 若，，，由得，此时，，满足条件的只有一个单项式 ； 若，，，由得，此时，满足条件的只有一个多项式 ； 综上，当时，满足条件多项式为，，，； 当时，，由可得，和中至少有一个为0， 若，，，，由得，此时，满足条件的只有一个多项式 ； 若，，，，由得，此时，满足条件的只有一个多项式 ； 若，，，，由得，没有满足条件的多项式； 综上，当时，满足条件多项式为，； 当时，，由可得，即； 若，，，由得，此时没有满足条件的多项式； 若， ，，由得，此时没有满足条件的多项式； 综上，当时，没有满足条件的多项式； 当时，，由可得，即，此时，没有满足条件的多项式； ∴①满足条件的所有整式M中单项式有，，原说法正确； ②当时，满足条件的所有整式M的和为，原说法正确； ③满足条件的整式M共有个，原说法正确． ∴说法正确的有3个， 故选：D． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上. 11. 气凝胶属于纳米级多孔固态材料，是目前已知密度最低固体，质量为的某种二氧化硅气凝胶的体积约为．将数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏（红色加蓝色配成紫色）：如图，下面是两个可以自由转动的A、B转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．游戏者同时转动A、B两个转盘，配成紫色的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．先列出表格得到所有等可能性的结果数， 再找到可配成紫色的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意，可列表如下， 转盘B 转盘A 黄 蓝 绿 红 （红，黄） （红，蓝） （红，绿） 绿 （绿，黄） （绿，蓝） （绿，绿） 由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中可配成紫色的结果数有1种， ∴配成紫色的概率是． 故答案为：． 13. 如图，一束光线沿着平行于主光轴的方向射向凸透镜，经过凸透镜折射后，其折射光线恰与一束经过光心O的光线相交于点F（D，O，E共线）.若，，则的度数为______. 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据平行线的性质得，利用对顶角相等得，再根据三角形的外角性质求得． 【详解】解：如图，标记点H， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，解二元一次方程组，负整数指数幂，熟知把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，被开方数相等，列出方程组并求解，得到和的值，再计算． 【详解】解：由与是同类二次根式，得到， 整理得， 由最简二次根式与是同类二次根式，得到， 整理得， ∴， 解方程组得， 因此， 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，顶点A，B，D在上，与相切于点D，对角线，相交于点E，与交于点F.若，，则的半径为______，的长度为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接并延长交于点H，连接，过点作于点，过点作交延长线于点，先解求出，设圆半径为，则，再运用勾股定理建立方程求解半径即可；在中，由勾股定理求解，延长交于点，连接，然后证明，求出，则，由，得到，则可求，那么，，最后对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接并延长交于点H，连接，过点作于点，过点作交延长线于点， ∵平行四边形， ∴， ∵与相切于点D， ∴， ∴， ∵经过圆心， ∴ ∵， ∴， ∴， 设圆半径，则， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， 解得； ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴在中，， 延长交于点，连接， ∴， ∵是直径， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定与性质等知识点，难度大，正确添加辅助线，熟练掌握各知识点是解题的关键． 16. 我们规定：一个四位数，若M满足各个数位上的数字均不相等，且，则称这个四位数为“差异数”.（例如：四位数3421，因为各个数位上的数字均不相等，且，所以3421是“差异数”，按照这个规定，最小的“差异数”是______；一个“差异数”，将其千位和百位数字调换位置，十位和个位数字调换位置，得到一个新的数，记，记，N的各个数位上数字之和记为.若能写成一个正整数的平方，则满足条件的正整数M的最大值与最小值的和为_____. 【答案】 ①. 2310 ②. 13508 【解析】 【分析】答题空1：首先，根据“差异数”的定义，找到满足条件的最小四位数，即千位数字a尽可能小，且满足和，各个数位上的数字互不相等．计算得出最小差异数为2310； 答题空2：先根据化简，得到，再由得到，，然后对于，分三种情况进行讨论，每一种都用枚举法列出符合条件的M的值，最后找到其最大值和最小值，求和为13508． 【详解】解：答题空1： 对于最小的“差异数”，千位数字a需最小， ∵， ∴， ∴当时，， 此时且各个数位上的数字均不相等， ∴若要求最小的“差异数”，则只需要，， 此时， 故最小差异数为2310； 答题空2：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，． ，分三种情况讨论： ①当，时， ∵，此时N为两位数，十位数字为a，个位数字为， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵能写成一个正整数的平方，，，M满足各个数位上的数字均不相等， ∴或， 即或； ②当，时， ∵，此时N三位数，百位数字为1，十位数字为0，个位数字为， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵能写成一个正整数的平方，，M满足各个数位上的数字均不相等， ∴没有这样的M满足以上条件，此情况无解； ③当，时， ∵，此时N为两位数，十位数字为，个位数字为， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵能写成一个正整数的平方，，，M满足各个数位上的数字均不相等， ∴或 即或； ∴综上，M的最大值为8976，M的最小值为4532， ∴满足条件的正整数M的最大值与最小值的和为13508． 【点睛】本题主要考查了新定义，整式混合运算等知识点，理解新定义，按照题意进行分类讨论是解题的关键． 三、解答题：（本大题共8小题，17-18题各8分，19-25各10分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 17. （1）因式分解：； （2）解方程：. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法以及解一元一次方程的步骤． （1）先提取公因式，再由平方差公式进行因式分解； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴ 18. 如图，在平行四边形中，点E是对角线上一点，连接． （1）用尺规完成基本作图：作，交线段于点F，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形，请根据以下思路完成填空： 证：在平行四边形中，，， ___①___． 在和中，， ． ___②___，， ，___③___， ， ___④___， 四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④． 【解析】 【分析】本题考查了用尺规作与已知角相等的角，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． （1）根据用尺规作与已知角相等的角的方法作图即可． （2）先由平行四边形的性质可得，再由角边角的证明方法证明和全等，由此可得，，由此可得，再根据一组对边平行且相等即可证明． 【小问1详解】 解：以点A为圆心，任意长度（小于长）为半径画弧，分别交、于点P、点Q， 再以点C为圆心，相同长度为半径画弧，交于点M， 将圆规针尖放在点C，调整到点Q，截取长度保持不变， 再以点M为圆心，长度为半径画弧，两弧相交于点N， 连接交线段于点F，连接，，如图． 【小问2详解】 证明：在平行四边形中，，， ． 在和中，， ． ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 故答案为：①；②；③；④． 19. 学校开展了环保知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A.；B.；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：82，83，84，84，85，86，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：60，61，62，70，71，72，73，80，82，83，85，86，87，87，91，92，95，96，98，99． 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81.5 81.5 中位数 a 84 众数 84 b 七年级所抽学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生环保知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生600人，八年级有学生520人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少? 【答案】（1）83.5，87，10 （2）该校八年级学生环保知识竞赛的成绩较好，理由见详解 （3）306 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图，中位数、众数、平均数，样本估计总体，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （1）利用题意及扇形统计图即可求出七年级各组人数，再利用中位数定义和D组数据即可求出和的值，再利用众数定义即可求出的值； （2）根据平均数、中位数及众数分析即可得出结果； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，七年级20名学生竞赛成绩在A组中的数据有（人）， 在B组中的数据有7（人）， 在C组中的数据有（人）， 则在D组中的数据有（人）， ∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第10和11个数据，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是83，84， ∴， ∵八年级20名学生竞赛成绩中出现次数最多的是87，共计2次， ∴， ∵七年级20名学生竞赛成绩在D组中的数据共2个， ∴， ∴， 故答案为：83.5，87，10； 【小问2详解】 解：该校八年级学生环保知识竞赛的成绩较好，理由： 因为该校七、八年级学生环保知识竞赛的成绩的平均数相同都是81.5，但八年级竞赛的成绩的中位数大于七年级竞赛的成绩的中位数，且八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数， 所以该校八年级学生环保知识竞赛的成绩较好； 【小问3详解】 解：（人）， 即估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是306人． 20. 先化简，再求值： ，其中. 【答案】，16 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，整式的混合运算，特殊角的三角函数值，化简绝对值，负整数指数幂等知识点． 先根据整式的混合运算法则和分式的混合运算法则化简，然后通过计算负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值求解，最后代入求值即可． 【详解】解： ∵ ， ∴原式 21. 红星超市购入盒装纯牛奶和酸奶共240盒．已知酸奶的进价比纯牛奶高，纯牛奶的进货总费用为400元，酸奶的进货总费用为700元． （1）求纯牛奶和酸奶的进价分别是每盒多少元； （2）该批纯牛奶按每盒元的单价全部售出．酸奶因保质期较短，先以每盒8元的价格售出总量的，剩余部分降价促销并全部卖完．若该批纯牛奶与酸奶的总利润不低于600元，则酸奶降价后的单价至少应为每盒多少元？ 【答案】（1）纯牛奶进价为每盒4元，酸奶进价为每盒5元 （2）酸奶降价后的单价至少应为每盒元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设纯牛奶的进价为每盒x元，则酸奶的进价为每盒元，依题意，列出分式方程并求解即可； （2）设酸奶降价后的单价为y元/盒，依题意，列出一元一次不等式并求解即可． 【小问1详解】 解：设纯牛奶的进价为每盒x元，则酸奶的进价为每盒元，依题意，得 ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 则元， 答：纯牛奶的进价为4元/盒，酸奶的进价为5元/盒． 【小问2详解】 解：设酸奶降价后的单价为y元/盒，依题意，得 解得：． 答：酸奶降价后的单价至少应为每盒元． 22. 如图，在矩形中，，，动点Q以每秒个单位长度的速度从点B出发，沿方向运动，点M为上一点，始终满足，同时动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿方向运动，到达点B后再以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点P到达点C时，点P，点Q均停止运动．设动点P运动的时间为x秒，点P与点B之间的距离为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图像；并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）， （2）见详解；当时，随的增大而减小；（或当时，随的增大而增大） （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据题意可得点运动到点的时间为（秒），运动到点的时间为（秒），当点运动到点时，此时；设动点P运动的时间为x秒，分和两种情况确定解析式；结合以及三角形面积公式，确定解析式，并注明自变量x的取值范围；； （2）结合（1）画出，的图像；并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形，，， ∴，， ∵动点Q以每秒个单位长度的速度从点B出发，沿方向运动，同时动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿方向运动，到达点B后再以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴点运动到点的时间为（秒），运动到点的时间为（秒）， 点Q运动到点的时间为（秒）， ∴当点运动到点时，，此时，即点运动到点， 设动点P运动的时间为x秒， 当时，点P与点B之间的距离， 当时，点P与点B之间的距离， ∴， ∵， ∴的面积为； 【小问2详解】 结合（1），在平面直角坐标系中画出，的图像，如下图所示， 函数的性质：当时，随的增大而减小；（或当时，随的增大而增大） 【小问3详解】 结合函数图像，可知时x的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、二次函数和一次函数的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 23. 随着智能物流系统的普及，许多仓储中心开始使用机器人协同作业．某分拣中心为优化路径，设置了四个智能站点A，B，C，D（位于同一平面）．如图，A在B的南偏西方向72米处，C在A的东北方向，且在B的正北方向，D在A的北偏东方向，且在C的正西方向．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）两个物流机器人同时从不同站点出发执行运输任务，机器人甲从C出发沿着前往D处取货，机器人乙从D出发沿着前往A装货，乙的速度是甲的2倍．机器人之间通过车间通信系统保持实时数据同步，有效通信距离为33米．请通过计算说明，当甲距离C多少米时，两个机器人之间的直线距离开始超出通信范围？（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1） （2）当甲距离C大于米时，两个机器人之间的直线距离开始超出通信范围 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，特殊角的三角函数，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）过点B作于点E，过点A作，交延长线于点F，推导出，，，求出，，得到米，进而求出米，则，计算求解即可． （2）设当甲距离C的距离为x米时，两个机器人之间的直线距离为33米，此时甲所在位置为M，乙所在位置为N，过点N作，交的延长线于点P，推导出米，，米，继而求出，再根据勾股定理，得到，求出或（不符合题意，舍去），即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点E，过点A作，交的延长线于点F， ∴， 由题意及图，得 米， ∴， ∴， ∴， 米， ∴， ， ∴米， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 解：设当甲距离C的距离为x米时，两个机器人之间的直线距离为33米，此时甲所在位置为M，乙所在位置为N，如图，过点N作，交的延长线于点P， ∴， ∴， ∵，，米， ∴米， ∴米米， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． ∴当甲距离C大于米时，两个机器人之间的直线距离开始超出通信范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴直线与x轴交于点D，点E为点C关于x轴的对称点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线下方且在对称轴左侧的抛物线上的一动点，过点P作平行于y轴，交于点Q，过点Q作，交抛物线对称轴于点F．点M为抛物线对称轴上的动点，点N为y轴上的动点，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及取得最小值时点N的坐标； （3）将抛物线沿射线平移，平移后的新抛物线与x轴两交点间的距离为3，点G是线段上的动点，线段关于的对称线段为，线段所在直线交新抛物线于点K．若直线与直线所成夹角等于，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）先由抛物线对称轴为直线求得b的值，再根据抛物线与x轴交于点，求出c的值，从而得到抛物线的表达式； （2）求直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点L，过点Q作于点K，过点N作于点R，在中，运用勾股定理求出的长度，再证，则，即， ，设，，， ，求出当时，取得最大值，证，，从而得出 ，当且P，M，N，R四点共线时，有最小值，作且P，M，N，R四点共线，作轴于点S，证，从而求出，，最后求出N点坐标； （3）先求出平移后的抛物线解析式，证明，分两种情况进行讨论，求出对应K点横坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线， ∵抛物线与x轴交于， ∴将代入中，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵抛物线的表达式为， ∴令，得，即， ∵，， ∴直线的解析式为， 如图1，设直线与抛物线对称轴交于点L，过点Q作于点K，过点N作于点R， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵直线与抛物线对称轴交于点L， ∴， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵抛物线的对称轴是直线，直线的解析式为， ∴设，，， ∴，， ∴， ∵，开口向下， 又∵， ∴时，取最大值，此时． ∵点E为点C关于x轴的对称点，， ∴， ∵抛物线与x轴交于，B两点，抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴，， 在中， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当且P，M，N，R四点共线时， ， 此时的最小值为的长． 如图2，作且P，M，N，R四点共线，作轴于点S， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中， ，， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴ 【小问3详解】 解：设抛物线沿射线向右移动了m个单位长度，则抛物线向上平移了个单位长度， 设平移后的抛物线为， 设平移后的抛物线与x轴的交点横坐标分别为，， 令，整理得， ∵平移后的新抛物线与x轴两交点间的距离为3， ∴， 解得， ∴平移后的抛物线， 设， ∵点E为点C关于x轴的对称点， ∴， ①如图3，当点在直线上，且时，设此时直线交x轴于点J，交直线于点M，则直线与直线所成夹角为，此时，点K的横坐标为，理由如下： 在x轴上截取，连接， ∵，， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵在中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵线段关于的对称线段为， ∴， ∵， ∴， ∵在中， ， 在中， ， ∴， ∵，， ∴， 即此时直线与直线所成夹角为，且， ∴点K的横坐标为； ②如图4，当点在y轴上，且时，设此时直线交直线于点U，则直线与直线所成夹角为，此时，点K的横坐标为，理由如下： ∵线段关于的对称线段为， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∵，， ∴， 此时，， 直线解析式为：， ∴联立， 解得或， ∴； 综上或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，包括待定系数法求解析式，函数平移，线段最值问题，角度存在性问题等，题目难度大． 25. 如图，在等腰三角形中，，点E在直线上，点D是平面内一点，连接. （1）如图1，若，点E在线段上，，连接，将绕点A逆时针旋转至，连接，点D为中点，连接，求出此时的面积； （2）如图2，若，点D在外部，点E，点F分别是，的中点，连接，将绕点F顺时针旋转至，连接，，，试猜想线段和的数量关系，并证明； （3）如图3，若，若点D是平面内一动点，连接，将沿翻折得，当B，D，Q三点共线时，在线段上取一点N，使，点E是直线上的动点，将绕点E顺时针旋转至，连接，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）猜想：，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点F作于点K，证明三角形是等边三角形，再证，在中，求出的长，最后求出； （2）连接，过点D作交延长线于点Q，连接，，先证，再证，最后运用相似三角形性质，特殊角的三角函数值等知识，得出； （3）先证明A，B，C，D四点共圆，再推导出点D在圆上，在上确定一个点F，连接，，使得，连接，，证得，连接，将绕F点顺时针旋转，并将缩短，得到，则点N在圆上，运用瓜豆原理得到点K的运动轨迹，最后得到取最小值时， ． 【小问1详解】 解：如图1，过点F作于点K， ∵等腰三角形中，，， ∴三角形是等边三角形， ∵， ∴，， ∵将绕点A逆时针旋转至， ∴，， ∴， ∴，即， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵点D为中点，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：猜想：，理由如下： 如图2，连接，过点D作交延长线于点Q，连接，， ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵将绕点F顺时针旋转至， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． ∵在等腰三角形中，，， ∴， ∵，点E是的中点， ∴，即， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ， ∴； 【小问3详解】 解：∵等腰三角形中，，， ∴三角形是等边三角形， ∵将沿翻折得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴， 设， 则点D在以O为圆心的圆上，点O为等边的内心， 如图3，作，连接，， 则，，， ∴，，， ∴， ∴如图3，点D在以O为圆心，为半径的圆上， 如图4，在上确定一个点F，连接，，使得，连接，， ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 如图5，连接，将绕F点顺时针旋转，并将缩短，得到， 即，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴点N在以为圆心，为半径的圆上， ∵，， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴，． ∵点E是直线上的动点，将绕点E顺时针旋转至， ∴点K也在直线上运动， 如图6，设点E运动到中点处为，点E运动到B点处为，作出，的对应点，，连接，则点K在直线上运动， 设直线与延长线交于点S，作于点K，当，N，K三点共线，且点N位于之间时，取最小值． ∵，，， ∵为中点，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， 过点K作于点P，设交于点L， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴如图7，在中， 作于点Z， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等边及等腰三角形的性质与判定，相似三角形及全等三角形的性质与判定，隐圆，瓜豆线等动点问题，综合难度大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年重庆一中初2026届初三上期末考试 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试卷的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回. 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴为直线：. 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1. 下列实数中，属于无理数的是（） A. B. 3 C. D. 2. 人工智能技术的突破性发展，正在全球范围内掀起一场“软件定义世界”的革命浪潮，下列软件图标中，属于轴对称图形的是（　　） A B. C. D. 3. 已知点在反比例函数的图象上，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积之比为，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 小一同学用大小相同围棋子按如图所示的规律摆图案，其中第①个图案中有5颗围棋子，第②个图案中有9颗围棋子，第③个图案中有13颗围棋子，第④个图案中有17颗围棋子，…，按此规律摆放下去，第⑧个图案中围棋子的个数是（ ） A. 29 B. 31 C. 33 D. 35 7. 已知，则实数m的范围是（） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 8. 某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器感染病毒，最初有3台服务器感染病毒，经过两轮传播后共有147台服务器被感染，设每轮传播中平均一台服务器感染x台服务器，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点F是对角线上任意一点，将绕点A顺时针旋转得到，过点G作交于点E，连接，，当点E恰好为中点时，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n为正整数，，，…，，均为绝对值小于2的整数且．若M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，满足且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有2个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有12个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上. 11. 气凝胶属于纳米级多孔固态材料，是目前已知密度最低的固体，质量为的某种二氧化硅气凝胶的体积约为．将数据用科学记数法表示为______． 12. 小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏（红色加蓝色配成紫色）：如图，下面是两个可以自由转动的A、B转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．游戏者同时转动A、B两个转盘，配成紫色的概率为______． 13. 如图，一束光线沿着平行于主光轴的方向射向凸透镜，经过凸透镜折射后，其折射光线恰与一束经过光心O的光线相交于点F（D，O，E共线）.若，，则的度数为______. 14. 已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______. 15. 如图，在平行四边形中，顶点A，B，D在上，与相切于点D，对角线，相交于点E，与交于点F.若，，则的半径为______，的长度为_____. 16. 我们规定：一个四位数，若M满足各个数位上数字均不相等，且，则称这个四位数为“差异数”.（例如：四位数3421，因为各个数位上的数字均不相等，且，所以3421是“差异数”，按照这个规定，最小的“差异数”是______；一个“差异数”，将其千位和百位数字调换位置，十位和个位数字调换位置，得到一个新的数，记，记，N的各个数位上数字之和记为.若能写成一个正整数的平方，则满足条件的正整数M的最大值与最小值的和为_____. 三、解答题：（本大题共8小题，17-18题各8分，19-25各10分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 17. （1）因式分解：； （2）解方程： 18. 如图，在平行四边形中，点E是对角线上一点，连接． （1）用尺规完成基本作图：作，交线段于点F，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形，请根据以下思路完成填空： 证：在平行四边形中，，， ___①___． 在和中，， ． ___②___，， ，___③___， ， ___④___， 四边形是平行四边形． 19. 学校开展了环保知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A.；B.；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：82，83，84，84，85，86，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：60，61，62，70，71，72，73，80，82，83，85，86，87，87，91，92，95，96，98，99． 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81.5 81.5 中位数 a 84 众数 84 b 七年级所抽学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生环保知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生600人，八年级有学生520人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少? 20. 先化简，再求值： ，其中. 21. 红星超市购入盒装纯牛奶和酸奶共240盒．已知酸奶的进价比纯牛奶高，纯牛奶的进货总费用为400元，酸奶的进货总费用为700元． （1）求纯牛奶和酸奶进价分别是每盒多少元； （2）该批纯牛奶按每盒元的单价全部售出．酸奶因保质期较短，先以每盒8元的价格售出总量的，剩余部分降价促销并全部卖完．若该批纯牛奶与酸奶的总利润不低于600元，则酸奶降价后的单价至少应为每盒多少元？ 22. 如图，在矩形中，，，动点Q以每秒个单位长度的速度从点B出发，沿方向运动，点M为上一点，始终满足，同时动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿方向运动，到达点B后再以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点P到达点C时，点P，点Q均停止运动．设动点P运动的时间为x秒，点P与点B之间的距离为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图像；并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 随着智能物流系统的普及，许多仓储中心开始使用机器人协同作业．某分拣中心为优化路径，设置了四个智能站点A，B，C，D（位于同一平面）．如图，A在B的南偏西方向72米处，C在A的东北方向，且在B的正北方向，D在A的北偏东方向，且在C的正西方向．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）两个物流机器人同时从不同站点出发执行运输任务，机器人甲从C出发沿着前往D处取货，机器人乙从D出发沿着前往A装货，乙的速度是甲的2倍．机器人之间通过车间通信系统保持实时数据同步，有效通信距离为33米．请通过计算说明，当甲距离C多少米时，两个机器人之间的直线距离开始超出通信范围？（结果保留小数点后一位）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴直线与x轴交于点D，点E为点C关于x轴的对称点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线下方且在对称轴左侧的抛物线上的一动点，过点P作平行于y轴，交于点Q，过点Q作，交抛物线对称轴于点F．点M为抛物线对称轴上的动点，点N为y轴上的动点，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及取得最小值时点N的坐标； （3）将抛物线沿射线平移，平移后的新抛物线与x轴两交点间的距离为3，点G是线段上的动点，线段关于的对称线段为，线段所在直线交新抛物线于点K．若直线与直线所成夹角等于，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，在等腰三角形中，，点E在直线上，点D是平面内一点，连接. （1）如图1，若，点E在线段上，，连接，将绕点A逆时针旋转至，连接，点D为中点，连接，求出此时的面积； （2）如图2，若，点D在外部，点E，点F分别是，的中点，连接，将绕点F顺时针旋转至，连接，，，试猜想线段和的数量关系，并证明； （3）如图3，若，若点D是平面内一动点，连接，将沿翻折得，当B，D，Q三点共线时，在线段上取一点N，使，点E是直线上的动点，将绕点E顺时针旋转至，连接，当取最小值时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $