重庆市南开中学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学 试题 （数学(六)）

重庆市南开中学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（数学（六）） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数是（ ） A B. C. D. 2. 下列博物馆中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全国年轻人喜欢的奶茶品牌 B. 调查重庆市民对长寿湖元旦烟花的燃放效果是否满意 C. 调查某市中学生课外阅读情况 D. 调查“长征十二号”火箭各部分零件合格情况 4. 在分式中，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小鸟①与小鸟②位似，点是它们的位似中心，其中，则小鸟①与小鸟②的面积的比为（ ） A B. C. D. 6. 骄骄按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有6颗爱心，第②个图有10颗爱心，第③个图有15颗爱心，…，则第⑧个图中爱心的颗数是（ ） A. 55 B. 45 C. 36 D. 28 7. 如图，将边长均为的正方形和正六边形拼在一起，以公共顶点为圆心，边长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在一幅长、宽年画四周外围都镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂画，如果要求年画的面积占整个挂画面积的，则金色纸边的宽度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，连接，，为上两点，连接，，延长至点，使得，连接，，若，，则的值是（ ）． A. B. C. D. 10. 已知整式M：，其中，为正整数，，，，均为自然数，下列说法中正确的有（ ） ①若，则； ②当时，若不等式有且只有1个正整数解，则满足条件的整式M唯一； ③若，，则满足条件的三次三项式共有30个． A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接搷在答题卡中对应的线上． 11. 在四张完全相同且不透明的纸片正面分别写上2026年春晚吉祥物的名字“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”，将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，刚好抽到“骥骥”的概率是__________． 12. 为正整数，若，则__________． 13. 如图，小驰用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为__________． 14. 若实数x，y满足，则的值为__________． 15. 如图，是的直径，是上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，并延长交于点，过作交于点，垂足为点，连接，并延长交的切线于点，若，，则的半径__________，__________． 16. 若一个四位数，满足，且加上4得到的四位数满足千位与百位数字之和等于个位与十位数字之差的5倍，称为“有品数”，则__________；将“有品数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新数，记，存在整数满足，使为整数，且各数位上的数字满足也为整数，则满足条件的的最大值与最小值的差为__________． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得__________， 解不等式②得__________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为__________， 所以，原不等式组整数解为__________． 18. 学习了平行四边形后，小骐对另一类四边形进行了研究：在四边形ABCD中，，小骐发现．请根据他的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）小骐过点作（如图）．请你利用尺规作图，过点作，交BC于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：． 证明：， ①____ （同位角相等，两直线平行）． ∵②______， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． ∴③_____ ， ． 在Rt和Rt中， ． ． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 泡泡玛特公司为了更好把握消费者心理，对旗下大热IP：“星星人”和“拉布布”开展了受欢迎程度的调查．该公司随机采访20名顾客，让他们分别给“拉布布”和“星星人”打分（百分制），分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息： “星星人”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “拉布布”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “星星人”和“拉布布”得分统计表 平均数 中位数 众数 星星人 92 93 a 拉布布 92 b 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为消费者更喜欢“星星人”还是“拉布布”？请说明理由（一条理由即可）； （3）据调查，对“拉布布”打分不低于95分的顾客中有的人会购买“拉布布”，若本周末泡泡玛特某门店人流量会达到1000人，货源充足的情况下会有多少人购买“拉布布”？ 21. 列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟． （1）求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； （2）因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的4倍，50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 22. 如图，在矩形中，，连接．点为中点，连接．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动．同时，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿运动．当点到达点时，P、Q两点同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒的面积为的面积为的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出的图像，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. “渝超”足球联赛赛季正如火如荼进行中．如图，A，B，C，D在同一平面内．在某次进攻回合中，球员乙在处发任意球，球员甲、丙、丁分别位于处、处、处接球．已知位于的北偏东方向，且位于的北偏东方向40米处，位于的北偏西方向上，位于的正东方向，且位于的南偏东方向上．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）当丙在处接到乙传球后立即沿方向跑动，同时甲从处沿方向朝球员丁跑动．在甲与丁相遇前某时刻，丙将球传给了甲，此时甲与丙刚好相距30米，若甲速度为丙速度的3倍，请问此时球员丙离开处多少米（结果保留小数点后一位）？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别交轴于A，B两点在的左侧），交轴于点，连接AC，其中． （1）求抛物线的表达式； （2）点是线段下方抛物线上的一动点，连接交线段于点，过点作直线交拋物线于点，点是轴上的动点，连接．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中当取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点向右平移一个单位长度得到点，点为拋物线上的一动点并在拋物线的对称轴右侧，过点作直线交抛物线于点．连接PA，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，在延长线上取一点，在上取一点，连接． （1）如图1，若，过作于，在上取点，使得，连接，若，求的度数； （2）如图2，过点作于点，在上取一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长，在延长线上取点，连接，使得，若，，，求证：； （3）如图3，若，，点恰为的中点，将绕点逆时针旋转至，连接、，与交于点，点，分别是边，上的动点，且，当取得最大值时，请直接写出的最小值． 重庆市南开中学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（数学（六）） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】D 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接搷在答题卡中对应的线上． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】3 【13题答案】 【答案】##度 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】 ①. ②. 【16题答案】 【答案】 ①. 10 ②. 1811 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 【17题答案】 【答案】，，数轴表示见解析，，、、0． 【18题答案】 【答案】（1）见详解 （2）见详解 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 【19题答案】 【答案】， 【20题答案】 【答案】（1），，； （2）消费者更喜欢“拉布布”，理由见详解 （3）300 【21题答案】 【答案】（1）制作一对“花扣”需要80分钟，则制作一对“一字扣”需15分钟 （2）升级后制作一对“一字扣”需20分钟 【22题答案】 【答案】（1），． （2）函数图像见解析，的性质：当时，随 x 增大而增大；当 时，随 x 增大而减小（不唯一合理即可）． （3） 【23题答案】 【答案】（1）米 （2）球员丙离开处米 【24题答案】 【答案】（1） （2）， （3） 【25题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $