30 8.6.3 平面与平面垂直 第1课时 平面与平面垂直的判定（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦“平面与平面垂直的判定”，涵盖二面角定义、面面垂直定义及判定定理，通过“开门”生活实例导入，结合定义解析、例题推演、跟踪训练，搭建从直观感知到逻辑推理的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过“一作二证三求”步骤发展数学思维，用符号与图形语言强化数学表达。例1求二面角余弦值等实例，助学生掌握垂直转化思想，教师可借助清晰流程与多样化例题提升教学效率。

第八章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.3　平面与平面垂直 第1课时 平面与平面垂直的判定 1 1 2 新知学习 探究 课堂巩固 自测 2 学习目标 1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中 平面与平面的垂直关系. 2.了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定 义. 3.归纳并应用平面与平面垂直的判定定理. 3 PART 01 第一部分 新知学习 探究 4 如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”.在门开大的过程中， 会给人两个平面“夹角”变大的感觉. 思考 把门开大一些“夹角”变大，是指哪个角变大？ 提示：是门和门框所在墙的夹角，可以用题图中的 进行刻画. 返回目录 新知学习 探究 5 一 二面角 1.定义：从一条直线出发的①____________所组成的图形叫做二面角.这条 直线叫做二面角的②____，这两个半平面叫做二面角的③____. 两个半平面 棱 面 2.画法： 3.记法：二面角 或二面角 或二面角 . 返回目录 新知学习 探究 6 4.二面角的平面角 文字 在二面角 的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱的射线和，则射线和 构成的④ _______叫做二面角的平面角 图示 __________________________________________ 返回目录 新知学习 探究 7 符号 , ,,,, 是二面 角的平面角 范围 ⑤___ ⑥______ 规定 二面角的大小可以用它的⑦________来度量，二面角的平面角是多 少度，就说这个二面角是多少度.平面角是⑧______的二面角叫做直 二面角 平面角 直角 续表 返回目录 新知学习 探究 8 例1 如图，已知三棱锥 的各棱长均为2，求二 面角 的余弦值. 【解】 如图，取的中点，连接， ，则 ，.由二面角定义知 为二面角 的平面角.因为， ， 所以，即二面角 的余弦值为 . 返回目录 新知学习 探究 9 解决二面角问题的策略 （1）清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据 需要选择特殊点作平面角的顶点. （2）求二面角大小的步骤 简称为“一作、二证、三求”. 返回目录 新知学习 探究 10 ［跟踪训练1］ 如图，已知四边形是正方形， 平面 . （1）二面角 的平面角的大小为_____； 解析：因为 平面，， 平面 ， 所以，， ， 所以为二面角 的平面角. 又由题意知 ， 所以二面角的平面角的大小为 . 返回目录 新知学习 探究 11 （2）二面角 的平面角的大小为_____. 解析：因为 平面，， 平面 ， 所以，， ， 所以为二面角 的平面角. 又四边形 为正方形， 所以 ， 故二面角的平面角的大小是 . 返回目录 新知学习 探究 12 二 平面与平面垂直 角度1 定义法证明面面垂直 定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ①__________，就说这两个平面互相垂直 画法 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的 一组边画成垂直.如图 _____________________________________________________________________________________ 记法 直二面角 返回目录 新知学习 探究 13 例2 如图，已知 ， ，又 ， 求证：平面 平面 . 返回目录 新知学习 探究 14 【证明】 因为 ， ， 所以和 都是等边三角形， 则有，令其值为 , 则和为共底边 的等腰三角形， 取的中点，连接，，则， ， 所以为二面角 的平面角. 在中，因为 , 所以, . 返回目录 新知学习 探究 15 在中， , 因为 ， 所以 . 即二面角 为直二面角. 故平面 平面 . 返回目录 新知学习 探究 利用定义证明面面垂直的方法 要证面面垂直，只要证明二面角的平面角为直角,其步骤是： （1）找出两相交平面的平面角； （2）证明这个平面角是直角； （3）根据定义判定这两个相交平面互相垂直. 返回目录 新知学习 探究 17 角度2 判定定理法证明面面垂直 两平面垂直的判定定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果一个平面过另一个平面的 ②______，那么这两个平面垂直 _____________________________________ ， 垂线 返回目录 新知学习 探究 18 例3 （对接教材例8）如图，在三棱锥中，， ， .设，，分别为棱，，的中点，且 .求证：平面 平面 . 返回目录 新知学习 探究 19 【证明】 由，，分别为棱，的中点，得 ， 所以 . 因为，，分别为棱，，的中点，所以 ， ， 又，所以 ， 所以 . 又，， 平面 ， 所以 平面，又 平面，所以平面 平面 . 返回目录 新知学习 探究 20 利用判定定理证明面面垂直的方法 要证面面垂直,只要证线面垂直，即在其中一个平面内寻找一条直线与 另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法,其基本步骤是： 返回目录 新知学习 探究 ［跟踪训练2］ （1） （2024·山西太原期末）如图所示，在三棱锥 中，若，，是 的中点，则下列说法中正确 的是( ) C A.平面 平面 B.平面 平面 C.平面 平面，且平面 平面 D.平面 平面，且平面 平面 返回目录 新知学习 探究 22 【解析】 选C.因为，，是 的中点，所以 ，,又因为，， 平面 ，所以 平面.又因为 平面， 平面 ，所以平面 平面，平面 平面 ，C正确.故选C. 返回目录 新知学习 探究 23 （2）如图所示，在四棱锥中，底面 为平行 四边形， ，，为 的中点， 平面，，为 的中点.求证： ①平面 ； 证明：连接，，在平行四边形中，为 ， 的中点， 因为为的中点，所以 ， 又因为 平面， 平面 ， 所以平面 . 返回目录 新知学习 探究 24 ②平面 平面 . 证明： 因为 ，且 ， 所以 ，即 ， 因为 平面， 平面，所以 ， 因为，， 平面 ， 所以 平面 ， 又因为 平面，所以平面 平面 . 返回目录 新知学习 探究 25 PART 02 第二部分 课堂巩固 自测 26 1.（教材PT改编）对于直线,和平面 , ，下列条件一定能得到 的是( ) D A., , B., , C., , D., , 【解析】 选D., , ,则平面 , 也可能相交且不垂直， A错误；, , ,则平面 , 也可能相交或平行，B错误； , , ,则 ,C错误；, ,则 ,又 , 则 ,D正确. 返回目录 课堂巩固 自测 27 2.已知二面角 为 ，异面直线，分别垂直于平面 ， ， 则与 所成的角为( ) B A. B. C. D. 【解析】 选B.因为二面角 为 ，异面直线， 分别垂直于平 面 ， ，空间中两直线夹角的范围为，，则与所成的角为 . 故选B. 返回目录 课堂巩固 自测 28 3.如图，在正方体中，，交于点 ，给出 ，，，其中能作为二面角 的平面 角的是_________. 返回目录 课堂巩固 自测 29 解析：连接 （图略）， 由正方体的性质知， ， ，， 平面 ， 所以 平面 . 因为， 平面 ， 所以， ， 所以是二面角 的平面角. 返回目录 课堂巩固 自测 30 4.（教材PT改编）如图，在直三棱柱 中， ，为棱上任意一点.求证：平面 平面 . 证明：因为三棱柱 为直三棱柱， 所以 . 又因为，， 平面 ，且 ，所以 平面.又因为 平面 ，所以平面 平面 . 返回目录 课堂巩固 自测 31 1.已学习：（1）二面角的定义；（2）平面与平面垂直的概念与判定定理. 2.须贯通：掌握面面垂直的判定方法;掌握垂直关系的转化思想. 3.应注意：应用面面垂直的判定定理的条件:线垂直于面且线在面内. 返回目录 课堂巩固 自测 32 $