31 8.6.3 平面与平面垂直 第1课时 平面与平面垂直的判定 课后达标 检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间几何中的二面角与面面垂直，通过长方体、三棱锥等几何体实例导入，衔接线面垂直、线线垂直等前置知识，搭建从线面关系到面面关系的学习支架，帮助学生系统掌握判定定理及应用。 其亮点在于以具体几何体为载体，通过基础达标到素养拓展的分层题目，培养学生的几何直观与空间观念（数学眼光），强化逻辑推理与定理应用（数学思维），提升用数学语言表达几何关系的能力（数学语言）。例如第3题通过线线垂直推理线面垂直进而证面面垂直，学生能提升空间推理能力，教师可借助多样题型优化教学效果。

8.6.3 第1课时 课后达标 检测 1 1.如图，在长方体中， ， 为的中点，则二面角 的大小为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 选B.在长方体中， 平面 ， ， 平面，所以，，所以 即为二面角的平面角.又，所以 ，所以 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 2.已知直线 平面 ,则过与 垂直的平面( ) C A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.不存在 【解析】 选C.由面面垂直的判定定理知，凡过的平面都垂直于平面 ,这 样的平面有无数个. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 3.如图，在三棱锥中，， ，且 是锐角三角形，那么必有( ) C A.平面 平面 B.平面 平面 C.平面 平面 D.平面 平面 【解析】 选C.因为， ， ，， 平面，所以 平面，因为 平面，所以平面 平面，故C正确；由 为锐角三角 形知A错误；易知B，D错误.故选C. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 4.已知锐二面角 , ,点到 的距离为 ,点 到的距离为,则二面角的 的大小为( ) D A. B. C. D. 【解析】 选D.如图所示，过作 ,垂足为 ，则 .作,垂足为，则.连接.因为 , ， 所以.又,所以 平面，所以 ，所以二面 角 的平面角为.在中， , 所以 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 5.把正方形沿对角线折成直二面角,则折叠后的 是( ) A A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角（非等边）三角形 D.钝角三角形 【解析】 选A.如图1，设正方形 的 边长为1，与相交于点 ，则折成直 二面角后如图2， ， , 则 是等边三角形. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 6.（多选）（2024·四川自贡月考）如图， 垂直于以 为直径的圆所在的平面，为圆上异于， 的任意一 点，，垂足为，点是 上一点，则下列判断 正确的是( ) ABD A. 平面 B. C. D.平面 平面 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 【解析】 选.对于A，由垂直于以 为直径的圆所在的平面， 底面圆，得.又由圆的性质可知，且 , , 平面，所以 平面，A正确；对于B，因为 平面,所以，又，且，， 平面 ，所以 平面.又 平面，所以 ，B正确； 对于C,由B可知 平面，与相交，因而与平面 不垂 直，所以不成立，C错误；对于D，由B可知， 平面 ， 又 平面，所以平面 平面 ，D正确. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 7.正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的大小为___. 解析：如图，由正六棱柱的几何特征可知， , ，则 为正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的平面角， 所以 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 8.已知在中， ，为平面 外一点，且 ，则平面与平面 的位置关系是______. 垂直 解析：因为，所以在 所在平面上的射影必落在 的外心上，又的外心为的中点，设为，则 平面 ，又 平面，所以平面 平面 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 9.如图所示，在四棱锥中， 底面 ，且底面各边都相等，，是 上的一动点，当点 满足________________________ 时，平面 平面 .（只要填写一个你认为正 确的条件即可） （答案不唯一） 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 解析：由题知底面为菱形，则.因为 平面 ， 平面，所以，又，， 平面 ，所以 平面，又 平面，所以 .若假设 ，又,， 平面，所以 平面 ，又 平面，所以平面 平面 ，假设成立.故答 案可以为.（注：其他满足题意的答案均可，如 ， 等.） 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 10.如图，在四面体中，是正三角形， 是直角三角形， ,.证明：平面 平面 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 证明：由题意得，从而 . 又 为直角三角形， 所以 , 取的中点，连接, , 则在中，, , 又是正三角形，故 , 所以为二面角 的平面角. 在中，,又 , 所以 ,故 ， 所以平面 平面 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 11.（多选）在四棱锥中，已知 底面，且底面 为矩形，则下列结论中正确的是( ) ABD A.平面 平面 B.平面 平面 C.平面 平面 D.平面 平面 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 【解析】 选.已知 底面，可得， ，又底 面为矩形，所以，，而 ， ,， 平面，， 平面 ， 所以 平面， 平面,又 平面， 平面 ， 所以平面 平面，平面 平面 ，所以A,D正确； 又，所以 平面，又 平面，所以平面 平面，所以B正确；因为平面 平面 ，显然C选项不正确.故 选 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 12.如图，在三棱锥中，已知 平面， ， ，则二面角 的正弦值为_ __. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析：如图，取的中点，连接， .因为 ，所以.因为 平面 ，所以 ，又,， 平面 ，所以 平面，因为 平面，所以 ， 所以为二面角 的平面角.因为 ，所以 ，所以在 中， ，即二面角 的正弦值是 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 13.已知在正四棱锥中，底面边长为2，二面角 为 ，则该四棱锥的高的值为___. 1 解析：如图所示，取的中点，连接,交于点 ， 则底面中心为，连接,,.因为四棱锥 为正四棱锥，所以，在中， ， 因为底面为正方形，所以，即，所以 是二 面角的平面角，即 ， 又在中，，所以 ，即该四棱锥的高为1. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 14.（2024·河北唐山期末）如图，在直角梯形 中，，，， 为 的中点.以为折痕把折起，使点到达点 的位置，且 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 （1）求证： 平面 ； 证明：在直角梯形中，且，又为 的中点，所 以，所以四边形为平行四边形，又，所以 ， 即 . 连接（图略），易知，，又 ， 所以，所以 ， 又，， 平面 ， 所以 平面 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 （2）求二面角 的大小. 解：由（1）知 平面，又 平面，所以 ， 又由（1）知，，， 平面 ， 所以 平面，又 平面 ， 所以，则即为二面角 的平面角. 在中，，所以 ， 所以二面角的大小为 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 15.（多选）（2024·河南周口月考）如图，在棱长为1 的正方体中，已知， 是线段 上的两个动点，且 ，则( ) ABC A. 的面积为定值 B. C.点到直线 的距离为定值 D.平面与平面所成的角为 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 【解析】 选.对于A，因为在中，高为点B到的距离，即 的长度，为定值1，底边为的长度，为定值，所以 的面积为 ，是定值，故A正确； 对于B，因为在上，，，所以 ，即 ，故B正确； 对于C，点A到直线的距离等于点A到 的距离，为定值，故C正确； 对于D，在该正方体中， 平面，又 平面 ，所 以平面 平面，即平面 平面，故平面 与 平面所成的角为 ，故D错误． 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 16.如图，在四棱锥中，底面为正方形， 底面 ，，为线段的中点，若为线段上的动点不含 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 （1）平面与平面 是否垂直？若是，请证明；若不是，请说明理由； 解：垂直.证明如下：因为 底面， 平面 ，所以 ，又因为底面为正方形，所以 ，又 ，， 平面，所以 平面 . 因为 平面，所以 . 因为，为线段的中点，所以，因为 ， ， 平面 ， 所以 平面.因为 平面，所以平面 平面 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 （2）线段上是否存在点，使二面角 的平面角的大小为 ？ 解：存在.由（1）可知， 平面,所以二面角 的平面角 为 . 若 ，由（1）可知 平面，又 平面 ,所以 , 则 ， 故线段上存在点，使二面角的平面角的大小为 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 $