29 8.6.2 直线与平面垂直 第2课时 直线与平面垂直的性质 课后达标 检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间点线面位置关系，核心涵盖线面垂直的性质与判定、空间距离计算等知识点。通过基础达标题（如线面垂直性质辨析）到能力提升题（如长方体中距离计算）再到素养拓展题（如折叠问题），构建递进式学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以具体几何体（三棱锥、长方体等）为载体，通过折叠、距离计算等问题，培养学生用数学眼光观察空间形式、用数学思维进行逻辑推理。例如第10题通过线面垂直性质证明线线平行，第15题折叠问题发展空间观念，助力学生提升空间想象与论证能力，也为教师提供分层训练素材，提升教学效率。

8.6.2 第2课时 课后达标 检测 1 1.已知两条直线,和平面 ，且 ,则下列说法错误的是( ) A A.若,则 B.若 ,则 C.若 ，则 D.若,则 【解析】 选A.若,则 或 ,A错误；由线面垂直的性质定理可 知B正确；若 ，则,C正确；若， ,则 ，D正确. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 2.已知，若直线,,直线,,则, 的位置关 系是( ) C A.相交但不垂直 B.异面 C.平行 D.相交且垂直 【解析】 选C.依题意知 平面, 平面，所以 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 3.在空间中，到圆周上各点距离相等的点的集合表示的图形是( ) B A.一个点 B.一条直线 C.一个平面 D.一个球面 【解析】 选B.过圆的圆心作此圆所在平面的垂线，则垂线上的点到圆周 上各点的距离相等，所以到圆周上各点距离相等的点的集合表示的图形是 一条直线.故选B. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 4.在三棱锥中， 平面，垂足为，且 ， 则点一定是 的( ) B A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 【解析】 选B.如图所示，分别连接，， ，因为 平面，可得，， ， 又因为 ，利用勾股定理，可得 ，所以点一定是 的外心.故选B. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 5.如图，在梯形中，，， 平面，且,则 到平面 的距离为( ) C A. B. C. D. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 【解析】 选C.因为, 平面， 平面 ， 所以平面 . 过点A作于点 （图略）. 因为 平面， 平面,所以 ， 又，，， 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面，所以 , 又,， 平面 ， 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 所以 平面 ， 即的长为到平面 的距离. 在等腰直角三角形中， ， 所以,故到平面的距离为 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.（多选）如图，四边形是矩形，沿对角线 将 折起到，且在平面上的射影 恰好 在 上，则下列结论正确的是( ) BCD A. B. C. D. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 【解析】 选.因为四边形是矩形，且在平面上的射影 恰 好在上，所以 平面，又 平面，所以 ， 又，且,， 平面，所以 平面 .因为， 平面，所以， .显然，由矩 形，易知，故B，C，D正确.假设,因为 平 面， 平面，所以.又，, 平面，所以 平面，因为 平面，所以 ， 显然不成立，所以假设不成立，故A错误. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 7.如图，已知 平面, 平面,且, ,则 ___. 6 解析：因为 平面, 平面,所以 .因为 ,所以四边形是平行四边形，所以 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 8.如图，在三棱锥中， 平面，是侧面 上的一点， 过点作平面的垂线，其中，则与平面 的位置关系 是______. 平行 解析：因为 平面， 平面，所以.又 平 面， 平面，所以平面 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 9.（2024·天津市河东区期末）如图，在四棱锥中， 底面 ，底面是直角梯形，, , ， ，点为棱的中点，则点到直线 的距离为_ __. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 解析：因为 平面， 平面，所以 . 因为四边形是直角梯形， ， ， ，，连接 （图略）， 所以， ， 所以，即 . 因为，， 平面 ， 所以 平面，又 平面 ， 所以，即点到直线的距离是 . 因为是的中点，所以点到直线的距离等于点到直线 的距离的 一半，即为 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 10.如图， 平面， 平面，,分别为, 上的点， 且.求证： . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 证明：因为 平面， 平面 ， 平面,, 平面 ， 所以,, . 又,, 平面 , 所以 平面 . 因为, , PC, 平面 ， 所以 平面，所以 , 所以 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 11.在长方体中，，分别为棱， 的中点， ，则到平面 的距离为( ) C A.4 B. C.2 D. 【解析】 选C.如图，连接，易知 ，因为 平面， 平面，所以 平面，所以到平面的距离为点 到平 面的距离.又点到平面的距离为 ，所以 到平面 的距离为2.故选C. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.（多选）如图，正方体的棱长为3，线段 上有 两个动点，，且 ，则( ) ACD A. B.异面直线, 所成角为定值 C.点到平面的距离为定值 D.三棱锥 的体积为定值 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 【解析】 选.如图，连接交于点 ，由 ，，，, 平 面，可得 平面，因为 平面 ，所以，故A正确；连接, ，当 与重合时，，异面直线,所成角是；当与 重 合时，，异面直线，所成角是，显然 与 不相等，故异面直线, 所成的角不是定值，故B错误；点A到 平面 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 的距离是，即点A到平面 的距离是 ，为定值，故C正确；为三棱锥 的 高，又，故三棱锥 的体 积为 ，为定值，故D正确. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，在长方体中， ， ，则直线与平面 的距离为_ ___. 解析：因为为长方体，所以 平 面，如图，过点作于点 ，易知 ，，， 平面 ，所以 平面，所以直线与平面 的距离 为.在 中，由等面积法可得 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 14.如图，已知为圆柱底面圆的直径，为的中点，点 为圆柱 底面圆上一点， 平面，，过点作，交 于点 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 （1）求证： ； 证明：因为为圆柱底面圆的直径，所以，因为 平 面， 平面，所以，又因为， ， 平面，所以 平面 . 因为 平面，所以 ， 又因为，且，， 平面，所以 平 面.因为 平面，所以 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 （2）若点到平面的距离为1，求圆柱 的表面积. 解：连接（图略），因为为的中点，所以 . 因为 平面， 平面，则 ，又因为 ,, 平面 ， 所以 平面，所以点到平面的距离为 ,所以 . 所以圆柱的表面积为 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 15.（多选）如图，等边三角形的边长为1，边上的高为，沿 把折起来，得到 ，则( ) ABC A.在折起的过程中始终有 平面 B.三棱锥的体积的最大值为 C.当 时，点到的距离为 D.当 时，点到平面的距离为 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 【解析】 选.因为，，且,, 平面，所以 平面，故A正确；当时， 的 面积最大，此时三棱锥 的体积也最大，最大值为 ，故B正确；当 时， 是等边三 角形，设的中点为，连接（图略），则，即 为点A到 的距离，，故C正确；当 时， ，，且，, 平面，故 平面，则就是点C到平面的距离，则 ，故D不正确. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 16.如图，直角梯形与梯形全等，其中 ， ，且 平面，是 的中点. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 （1）求证：平面平面 ； 证明：因为，，是的中点，所以四边形 为平 行四边形， 所以 , 又因为 平面, 平面 , 所以平面 . 因为直角梯形与梯形 全等， 所以，又因为 , 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 所以四边形 为平行四边形， 所以 , 又因为 平面, 平面 , 所以平面 . 因为,, 平面 , 所以平面平面 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）求平面与平面 间的距离. 解：由（1）得，平面与平面间的距离等于点到平面 的距离， 设为 , 因为 平面,, 平面 , 所以, , 所以 ， 连接,（图略），由 , 得，解得 , 所以平面与平面间的距离为 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 $