37 强化课 平行与垂直的综合应用 课后达标 检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦立体几何核心内容，涵盖空间线线、线面、面面位置关系，以及翻折、轨迹等问题，通过基础题到综合题的过渡，搭建从平面几何到空间几何的思维支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以2024年模拟题为例，通过翻折问题（如第5题）培养空间观念，借助证明题（如第15题）发展推理能力，用规范步骤强化数学表达。学生能提升几何直观与逻辑思维，教师可精准检测教学效果，优化教学策略。

第八章 强化课 课后达标 检测 1 一、选择题 1.已知三条直线，，满足且，则与 ( ) B A.平行 B.垂直 C.共面 D.异面 【解析】 选B.若且，根据空间直线垂直的定义，可得 ， 不平行，有可能共面，也有可能异面.故选B. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 2.已知平面 , , ,,,.则“,, 两两垂直”是 “ , , 两两垂直”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3 【解析】 选C.当 , , 两两垂直时，在 内作 ， 在 内作 ， 则 , ，所以 ， 因为 , ，所以 ， 因为 ,，所以 ， 因为 ，所以 ， 因为, ，所以, ， 同理可证得，所以,, 两两垂直，必要性成立； 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4 当,,两两垂直时，因为,, ， 所以, ,, ,, ， 因为，所以与 是相交直线， 又,，, ，所以 ， 因为 , ，所以 , ， 同理可证得 ，所以 , , 两两垂直，充分性成立，所以“,, 两 两垂直”是“ , , 两两垂直”的充要条件. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5 3.（2024·浙江金华期末）已知 , , 表示三个不同的平面,,, 表示三 条不同直线，则使“ ”成立的一个充分条件是( ) D A. , , ,且 , , B. , , ,且 C.,, D., , , 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6 【解析】 选D.对于A.由 , , ,得,不能推出 ,故A 错误；对于B，当 , , 时，有可能出现，， 与 相交或异面的情况,所以不一定推得,故B错误；对于C，当平面 , , 为正方体中有同一个顶点的三个面时，,, 交于一点，所以不一定 推得,故C错误；对于D，因为 ,，所以 ，又 , ,所以 ,又 ,,所以,同理 ,所以 ，则充分性成立，故D正确. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7 4.如图，在四棱柱 中，平面 平面，且，则四边形 的形状是( ) A A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【解析】 选A.因为，所以A，，， 四点共面.因为平面 平面，平面 平面 ，平面 平面，所以，所以四边形 为平行 四边形.故选A. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8 5.在边长为2的正方形中，与交于点，将正方形 沿对角 线折成 的二面角，则 的面积为( ) B A. B. C. D.2 【解析】 选B.如图，由正方形性质得 ，， ， 所以 ，所以 的面积为 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9 6.已知在正三棱柱中，为棱上一点，若平面 平面时，,则 ( ) B A. B.1 C. D.2 【解析】 选B.如图，分别取，的中点为 ，D，连 接，，，所以由正三棱柱的性质易知当为 的中点时，四边形为平行四边形，则 ，易 证 平面，所以 平面 ，又因为 平面，所以平面 平面 ，即当 时，两平面垂直. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10 7.如图，在长方体中， ，在平面 中作以棱为直径的半圆，且点在半圆上（不含点， ），连 接，，， ，则下列说法错误的是( ) D A.平面 平面 B.平面 平面 C.平面 D.四棱锥的体积的最大值为 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11 【解析】 选D.由题意知， 平面， 平面 ，所以平 面 平面，故A正确；线段是半圆的直径，所以 ， 因为 平面， 平面，所以 ，又 ，, 平面，所以 平面，因为 平 面，所以平面 平面，故B正确；因为， 平面， 平面，所以平面 ，故C正确；易知当 为的中点时，四棱锥 的体积最大，最大值为 ，故D错误.故选D. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12 8.（多选）已知 ， 是两个不同的平面， 是一条直线，则下列命题中 正确的是( ) BC A.若 ， ，则 B.若 ， ，则 C.若 ， ，则 D.若 ， ，则 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13 【解析】 选.对于A，若 ， ，则 或 ，故A不正确；对于B，若 ， ，则 ，故B正确；对于C，如图，若 ， ，过 的平面 与 相交，设交线为，因为 ， ，，则，因为 ，则 ，因为 ，故 ，故C正确；对于D，若 ， ，则与 不一定垂直，故 D不正确.故选 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14 9.（多选）如图，是圆柱的一条母线，为圆柱底面圆的直径，， 分别为， 的中点，则下列说法正确的是( ) ABC A.平面 B. C.平面 平面 D.平面 平面 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15 【解析】 选.因为，分别为，的中点，则，又 平面， 平面，所以平面，A正确；由 是圆 柱的一条母线可知 平面，又 平面，则 ， 因为为圆柱底面圆的直径，所以，， ， 平面，则 平面，又 平面 ，则 ，又，则，B正确；由B项知 平面 ， 又，则 平面，又 平面，故平面 平 面，C正确；平面与平面 二面角的大小与圆柱的高和底面 半径有关,不一定垂直，D错误. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16 10.（多选）（2024·福建厦门模拟）如图，在正方体 中，，分别为， 的中点， 则下列说法中正确的是( ) ABD A.平面 B. C.直线与平面所成的角为 D.异面直线与所成的角为 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17 【解析】 选.对于A，在正方体 中，取棱,的中点,，连接,,，由， 分别为，的中点，则 , ， 因此四边形为平行四边形，则，而 平面 ， 平面，则平面 ，A正确； 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 对于B，由 平面， 平面，得 ，则 ，B正确； 对于C，显然 平面，则是与平面 所成的角，又 , ， 则 ，又，则直线与平面所成的角为 ， C错误； 对于D，，，则是异面直线与 所成的角， 显然 ，D正确.故选 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 二、填空题 11.如图，在直三棱柱中，为 的中 点，点在侧面上运动，当点 满足条件_____ _________________________时，平面 . （填一个满足题意的条件即可） 是的中点（答案不唯一） 解析：取的中点，连接（图略）.因为为 的中点，所以 .因为 平面， 平面，所以平面 . 所以当点是的中点时，平面 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 20 12.（2024·湖南长沙模拟）已知正方体的棱长为2, 是棱的中点，空间中的动点满足，且，则动点 的 轨迹长度为_ ____. 解析：如图，分别取,的中点,，连接,,，因为 平面， 平面，所以 ， 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 21 在,中，,, ， 所以，所以 ， 又 ，所以 ，所以 ， 又，, 平面，所以 平面 ， 由，得点在平面 内， 由，得点在以为球心，半径为1的球面上，因此动点 的轨迹 为平面与球的球面的交线，即在平面 内的圆， 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 22 连接，设点到平面的距离为，平面截球 所得截面圆的 半径为 ， 则由 ， 得 ， 且，所以，则 ， 因此动点的轨迹长度为 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 23 13.已知二面角 的平面角是 ，在平面 内， 于点 ，，在平面 内，于点，，，是棱 上 的一个动点，则 的最小值是_____. 解析：将二面角 展开，如图所示，当,, 在一条直线上时， 有最小值，最小值为对角线的长,因为 , ,所以 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 24 14.如图，已知在矩形中，，，点 是边上的动点（不包含点），将沿 折起至 的位置，使得平面 平面，过 作 ，垂足为，则 的取值范围为______． 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 25 解析：设， .如图，因为平面 平面，， 平面 ，平面 平面，所以 平面 .如图， 连接，因为 平面，所以，则在 中， ．①又在中， ， 所以 ，②所以由①②可得 ，即.若 ，则 在翻折过程中点在平面内的射影始终在矩形 内，故平 面与平面不可能垂直，故，所以，故 的 取值范围是 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 26 三、解答题 15.（2024·山东烟台期末）如图所示，在四棱锥 中，底面是边长为的正方形，， 分 别为，的中点，侧面 底面 ，且 .求证： （1）平面 ； 证明：连接（图略），则是的中点，又为的中点，故在 中，，又 平面， 平面，所以平面 ． 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 27 （2）平面 平面 . 证明： 因为平面 平面，平面 平面 ， ， 平面，所以 平面，因为 平面 ，所以 ． 又，所以 ，即 ． 又，， 平面，所以 平面 ． 又 平面，所以平面 平面 ． 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 28 16.如图1，在梯形 中， ，， ， ， ，将 沿边翻折至 ，使得 ，如图2，过点作一平面与垂直，分别交，于点 ， ． 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 29 （1）求证： 平面 ； 证明：在题图1中， 因为，， ， ， ，所 以， . 在题图2中，因为，， ， 所以,所以 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 30 因为，且，， 平面，所以 平 面 ， 又因为 平面，所以 . 因为 平面，且 平面，所以 ， 又因为，且， 平面，所以 平面 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 31 （2）求点到平面 的距离. 解：过点作，垂足为 ，如图所示. 由（1）知 平面 ， 而 平面，所以 ， 又，， 平面 ， 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 32 所以 平面，则垂线段的长度即为点到平面 的距离. 在中，，， ，所以 ， 所以 ， 由已知得，则易得 . 由（1）知 ， 所以，所以 ， 即点到平面的距离为 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 33 17.如图所示，四棱锥的底面 是正方形，每条侧棱的长都 是底面边长的倍，为侧棱 上的点． 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 34 （1）求证： ； 证明：如图，连接，交于点，连接 ，则点 是正方形 的中心． 因为，所以 . 又，， 平面， ， 所以 平面 . 又 平面，所以 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 35 （2）若 平面，则侧棱上是否存在一点，使得 平面 ?若存在，求 的值；若不存在，试说明理由． 解：在上取点，使得，过作，交于点 ，连接 ，， ． 由 平面， 平面，得 ． 设正方形的边长为，则， ，所以 ． 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 36 由，得 ,则 . 因为是的中点，是的中点，所以.又 平面 ， 平面，故平面．又， 平面 ， 平面，所以平面 ． 又，， 平面，所以平面平面 . 又 平面，所以平面 ． ,又 ，所以 . 综上，存在满足题意的点，且 ． 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $