11 培优3 与球相关的“切”“接”问题（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦立体几何中球与几何体的“切”“接”问题，从正方体、长方体的“切”“接”入手，逐步延伸到三棱锥、旋转体，通过补形、轴截面分析构建知识支架，帮助学生衔接前后知识点。 其亮点在于以数学眼光抽象空间关系，用数学思维推理几何量关系，如将三棱锥补成长方体求外接球、用体积分割法求内切球半径。既培养学生空间观念与运算能力，又为教师提供系统题型与方法，助力教学效率提升。

第八章 立体几何初步 培优3 与球相关的“切”“接”问题 1 空间几何体与球有关的“切”“接”问题是立体几何中的重点，也是难点. 所谓几何体的外接球，是指几何体的各顶点（或旋转体的顶点、底面圆周） 都在一个球面上，此球称为该几何体的外接球；内切球是指与几何体内各 面（平面、曲面）都相切的球.求解此类问题的关键是作出合适的截面圆， 确定球心，再由球的半径、截面圆的半径 及各几何量之间建立关系. 2 类型一 球与长方体的“切”“接” （1）球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于 球的直径. （2）球外接于正方体（长方体），正方体（长方体）的顶点均在球面上， 正方体（长方体）的体对角线长等于球的直径. （3）有些三棱锥（如三条侧棱两两垂直、四个面均为直角三角形、对棱 两两相等）的外接球问题可转化为长方体的外接球问题. 3 典例1（1） 设球的内接长方体的长、宽、高分别为， ，3，则球 的表面积为( ) B A. B. C. D. 【解析】 设球的半径为 .由题意，长方体的体对角线长等于其外接球的 直径，即，所以 ，所以球的表面 积为 . 4 （2）（2024·广东东莞期末）正方体的内切球、与各棱相切的球、外接 球的体积之比为( ) C A. B. C. D. 【解析】 设正方体的棱长为,则正方体的内切球的直径为,半径为 ;与正 方体各棱相切的球直径为,半径为;正方体的外接球直径为 ,半径 为 ,故正方体的内切球、与各棱相切的球、外接球的体积之比为： . 5 （3）若四面体中，，， 两两互相垂直，且 ，则该四面体的外接球 的表面积为_____；若四面体 为正四面体，且各棱长均为2，则该四面体的外接球 的表面积 为____. 6 解析：当，， 两两互相垂直， 且 时，将四面体 补成正方体 ， 如图1所示，则正方体 的体对角线长为 ，故四面体 的外接球的半径 ，所以球 的表面积 . 7 当四面体为正四面体时，将正四面体 补成正方体 ，如图2所示，因为，所以 ， 所以正方体 的体对角线长为 ，所以正四面体 的外接球的半 径，所以球 的表面积为 . 类型二 几何体的外接球 解决外接球问题常利用球的截面性质“球心与截面圆圆心 的连线 垂直于截面圆”. （1）求圆锥的外接球半径 . 解题时，关键是画出轴截面（如图1，图2），建立圆锥的高 ，底面圆的 半径,外接球的半径三者之间的关系，即 . 注：求棱锥的外接球半径的方法与求圆锥的外接球半径类似. 9 （2）求圆柱的外接球半径 . 解题时，关键是画出轴截面（如图3），找到圆柱的底面圆半径、高 及 其外接球的半径三者之间的关系，即 . 注：求棱柱的外接球半径的方法与求圆柱的外接球半径类似. 10 （3）圆台的外接球：设,, 分别 为圆台的上、下底面的半径和高， 为外接球的半径. 11 典例2（1） 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 ,顶点在一个球 面上，则该球的表面积为( ) B A. B. C. D. 【解析】 如图所示，设， 分别为上、下底面的中心，连 接，则球心为的中点，连接并延长交 于D点， 连接 . 因为,, , 所以 , 故该球的表面积 . 12 （2）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 圆柱的轴截面 如图所示，记圆柱上、 下底面圆的圆心分别为，，连接，取 的 中点为，连接，则点为外接球球心， 为外接球 半径.因为圆柱的母线 长度为2，底面半径 ,所以外接球半径 ，所以外接球的体积 . 13 （3）在三棱锥中， ， ，点 到底面的距离为.若三棱锥的外接球的表面积为 ，则 的长为( ) A A. B. C.1 D.2 14 【解析】 取棱的中点为，连接， ，如图所 示.因为 ，所以 ，所以为三棱锥 的外 接球的球心.过点作 平面于 ，由球的几 何性质可知为底面三角形 的外心.设三棱锥 的外接球半径为，则由题意得 ， 所以，即.因为点到底面 的距离为 ，且为棱的中点，所以 ，所以 .在中，由正弦定理，可知 ,所 以 . 15 类型三 几何体的内切球 常见内切球问题的求解策略： （1）多面体的内切球，可用体积分割法（等积法）求内切球的半径. （2） 圆锥的内切球：圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三 角形的内切圆的半径即为内切球的半径，设圆锥底面半径为 ,高为, . （3）内切球到切点的距离相等且为半径，也可作过球心的截面求半径. 16 典例3（1）一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这 个球的体积为 ，那么这个正三棱柱的体积是( ) D A. B. C. D. 【解析】 设正三棱柱的底面边长为,则球的半径 ,正三 棱柱的高为.又.所以 . 所以 . 17 （2）如图，已知在四棱锥中，底面 是正 方形，，，两两相互垂直， ， ，则此四棱锥外接球与内切球的表面积之比为 ( ) B A. B. C. D. 18 【解析】 如图，可将四棱锥 放入长方体中，设 外接球的半径为，则 ，故 ，所以外接球的表面积为 .设内切球 的半径为,由长方体的性质可知，，， 均为直 角三角形，且 , 19 ,则 ， 解得,所以内切球的表面积为 ,故外接球与内切球的表面 积之比为 . （3）已知圆台的内切球与圆台侧面相切的切点位于圆台高的 处，若圆 台的上底面半径为 ，则球的体积为_____. 解析：圆台的上底面半径为，由于圆台的内切球 与圆台侧面相切的切 点位于圆台高的 处，根据切线长定理可知：圆台的下底面半径为 ，母线长为 ，所以圆台的高为 ，即球的直径为6，半径为3，所以球的体积 为 . 21 【尝试训练】 1.在直三棱柱中，，， ，若此三棱 柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为( ) A A.624 B.576 C.672 D.720 22 【解析】 选A.方法一：由题意，得该直三棱柱底面的外接圆半径, 所以 ，所以直三棱柱的表面积为 . 23 方法二：在直三棱柱中，，， ，所 以.构造长方体 ，如图所示，则长 方体的外接球就是直三棱柱 的外接球. 因为直三棱柱外接球的半径为13，所以 , 所以,所以直三棱柱 的表面积为 . 24 2.（2024·河南安阳模拟）如图，在三棱锥 中，，， ， 则三棱锥 外接球的体积为( ) C A. B. C. D. 【解析】 选C.如图，将三棱锥 放到长、宽、高分别为 1，，的长方体中，则三棱锥 的外接球，即长方 体的外接球，其半径 ,所以三 棱锥的外接球的体积 . 25 3.若圆台的上、下底面半径分别为, ，则其内切球的表面积为( ) C A. B. C. D. 【解析】 选C.如图，， ，又 且，所以 ，所以 ，所以球的表面积为 . 26 4.如图，菱形十二面体是由12个全等的菱形构成的，其有2 4条棱，14个顶点，它每个面的两条对角线长度之比均为 .已知一个菱形十二面体的棱长为 ，体积为16，则 该菱形十二面体的内切球的体积为( ) C A. B. C. D. 27 【解析】 选C.根据菱形十二面体的性质，可将菱形十二面体分割为十二 个四棱锥，这十二个四棱锥共顶点，顶点为菱形十二面体的内切球的球心. 设菱形十二面体的体积为，每个面的面积为，内切球半径为 ,则 .因为每个面的两条对角线长度之比为,且棱长为 ， 所以两对角线长分别为2，，所以 ,则 ,则,所以内切球的体积为 . 28 $