21 培优1 平面向量中的最值与范围问题（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦平面向量中的最值与范围问题，涵盖线性运算、数量积、模、夹角四大类型，通过热点难点导入，结合向量线性运算、基本定理等知识，搭建“建立目标函数求最值”的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以分类典例为载体，运用坐标法、基本不等式等方法，培养学生数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（运算推理）、数学语言（模型表达）。如典例1将向量平行转化为方程求mn最大值，典例2建坐标系用坐标运算，助力学生掌握转化方法，教师可依托系统题型提升教学效率。

第六章 平面向量及其应用 培优1 平面向量中的最值与范围问题 1 平面向量中的最值、范围问题是热点问题，也是难点问题，此类问题 综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变 量的最值、范围，比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等， 解题思路是建立目标函数解析式，转化为求函数的最值. 2 类型一 向量线性运算中的最值（范围） 往往综合运用向量的线性运算、平面向量基本定理以及共线的充要条 件等，把所求问题转化为函数问题或条件不等式问题，从而借助函数的性 质或基本不等式求最值与范围. 3 典例1（1） 已知向量，, ,且 ，则 的最大值为( ) B A.1 B.2 C. D.4 【解析】 由题意得， ， ， 因为，故 ， 即 ， 所以 , 当且仅当， 时等号成立. 综上所述， 的最大值为2.故选B. 4 （2）（2024·辽宁本溪月考）在等腰梯形中，已知 ， ，， ，点在线段 上，且 ，当点为线段的中点时， __； 当点在线段上运动时， 的最大值为__. 5 解析：如图，连接 . 因为， ， ， 所以 ， 故 . 6 当点为线段 的中点时， ， 又 ， 所以，， ； 当点在线段 上运动时， ， 由，，三点共线可知，，即 ，所以 ， 又，即，所以 ，所以 ，即的最大值为 . 类型二 向量数量积的最值与范围 求解向量数量积的最值（范围）问题时，往往先进行数量积的有关运 算，将数量积用某一个变量或两个变量表示，建立关系式，然后利用函数、 不等式、方程等有关知识求解；在一些和几何图形与关的问题中，也可利 用图形、几何知识求解. 9 典例2（1） （2024·湖南永州月考）已知是边长为 的等边三角 形，为平面内一点，则 的最小值是( ) B A. B. C. D. 【解析】 以 的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ， 10 ，，， . 设，则，，， ， ，，所以 ， 所以.所以当， 时， 取得最小值 . 11 （2）已知是边长为2的正六边形 内的一点（不包括边界），则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 12 【解析】 设 ，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，所以 ，由题 意可得点C的横坐标为3，点的横坐标为，所以 ，所以 . 13 类型三 向量模的最值（范围） 求向量模的最值（范围）一般要利用公式 转化为函数或基本 不等式求解，或利用向量三角不等式 求解. 14 典例3（1） 已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若非零向量 满 足，则 的最大值是( ) C A.1 B.2 C. D. 【解析】 由题意得，，由 ，得 ，设与的夹角为 ， ,即 ，当，即与同向时， 取最大值，最大值 是 .故选C. 15 （2）设,，则 的最大值与最小值分别为_____. 20,4 解析：因为,，所以，当且仅当 与 同向时取等号，，当且仅当与 反向时取等号， 所以 的最大值与最小值分别为20，4. 16 类型四 向量夹角的最值（范围） 若两向量的夹角为 ，先求出 的范围，再根据余弦函数 在的单调性求出夹角 的范围. 17 典例4 已知向量,满足,,且,则, 夹角 的最小值为( ) C A. B. C. D. 18 【解析】 因为,所以 , 即,, , 又因为 , 所以, , 所以, , 所以,夹角的最小值为 .故选C. 19 【尝试训练】 1.已知点和,为坐标原点，则 的最小值为 ( ) D A. B.5 C.3 D. 【解析】 选D.由题意可得, , 则 , 结合二次函数的性质可得， 当时， .故选D. 20 2.（2024·四川内江期中）已知向量，满足， ，且 ，为任意向量，则 的最小值为( ) B A. B. C. D. 21 【解析】 选B.设向量，的夹角为 .由， ，且 ，得.又，所以 .在平面 直角坐标系中，取，，满足， ，且 .设，则， ， 所以，所以当时， 取得最小值，为 . 22 3.（2024·广东江门期中）设向量,，则 , 的最小值为_ ___. 解析：, ， 令 ， 则 ， 所以, ， 当，即,时，,取得最小值，且最小值为 ． 23 4.如图所示，，，是圆上的三点，的延长线与 的 延长线交于圆外一点.若，则 的取 值范围是________. 解析：由点是圆外一点，可设 ，则 .又因为，， 三点 共线，令 ，则 ，所以 ， ，则 . 24 $