09 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积，通过圆柱侧面展开图的探究导入，衔接几何体结构知识，为复杂几何体计算奠定基础，构建从平面到立体的学习支架。 其亮点在于以展开图、轴截面转化立体问题，结合例题推理（如用相似三角形求圆台高）和补体法等技巧，培养数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）与语言（模型应用）。实例丰富如球的截面计算，助力学生空间观念形成，也为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

第八章 立体几何初步 8.3 简单几何体的表面积与体积 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 1 1 2 新知学习 探究 课堂巩固 自测 2 学习目标 1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式. 2.能用表面积和 体积公式解决简单的实际问题. 3 PART 01 第一部分 新知学习 探究 4 沿圆柱侧面的一条母线，将圆柱的侧面展开，得到圆柱的侧面展开图. 圆柱的侧面积即为其侧面展开图的面积. 思考 圆柱的侧面展开图是什么图形，圆柱的侧面积公式是什么？ 提示：矩形；圆柱的侧面积是底面半径、是母线长 . 新知学习 探究 返回目录 5 一 圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱 __________________________________ 底面积： ① _____ 侧面积： 表面积： ②___________ 圆锥 _____________________________________ 底面积： ③_____ 侧面积： 表面积： ④__________ 新知学习 探究 返回目录 6 圆台 _______________________________________ 上底面面积： ⑤_____ 下底面面积： ⑥_____ 侧面积： ⑦__________ 表面积： ⑧____________________ ［提醒］ 侧面积公式间的关系 <m></m>. 续表 新知学习 探究 返回目录 7 例1（1） 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，过 的平面截该圆锥 所得截面为一个面积为 的等边三角形，则与该圆锥同底等高的圆柱的 表面积为( ) D A. B. C. D. 【解析】 由题意，设所截得的等边三角形的边长为,可得 ,解 得 ， 则圆锥的高,底面圆的半径 , 所以与该圆锥同底等高的圆柱的表面积 . 新知学习 探究 返回目录 8 （2）若圆台的上、下底面半径分别为2，6，且侧面面积等于两底面面积 之和，则圆台的母线长为___，表面积为_____. 5 解析：设圆台的母线长为 ， 则由题意得 , 所以 ,所以 ， 所以该圆台的母线长为5. 圆台的表面积为 . 新知学习 探究 返回目录 9 圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面 展开图,借助平面几何知识,求得所需几何要素,代入公式求解即可,基本步骤 如下： （1）得到空间几何体的展开图; （2）依次求出各个平面图形的面积; （3）将各平面图形的面积相加. 新知学习 探究 返回目录 10 ［跟踪训练1］（1）（多选）如图，四边形 是圆柱 的轴截面，是圆柱的一条母线，已知 ， ， ，则下列说法正确的是( ) BC A.圆柱的侧面积为 B.圆柱的侧面积为 C.圆柱的表面积为 D.圆柱的表面积为 【解析】 选.因为，，所以 ， 即圆柱的底面半径,又因为 ，所以圆柱的侧面积是 ，圆柱的表面积是 .故选 . 新知学习 探究 返回目录 11 （2）若圆锥的侧面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥 的底面半径是___. 1 解析：设圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为，则 ，解得 ，又 ，解得 ，所以圆锥的底面半径为1. 新知学习 探究 返回目录 12 二 圆柱、圆锥、圆台的体积 ①______是底面半径,是高 , ②_______是底面半径,是高 , ③___________________,分别是上、下底面半径,是高 . 新知学习 探究 返回目录 13 例2 （1） 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 ，则圆 锥的体积是( ) A A. B. C. D. 新知学习 探究 返回目录 14 【解析】 作圆锥的轴截面，如图所示， 由题意知，在中， ， . 设圆锥的高为，底面半径为 ， 则, . 由 ， 得 , 所以，则 . 故圆锥的体积 . 新知学习 探究 返回目录 15 （2）已知一圆台上底面的半径为2，下底面的半径为3，截得此圆台的圆 锥的高为6，则此圆台的体积为____ . 解析：作出圆台的轴截面，如图， 设圆台的高为，则，解得 ,所以圆台的体积 . 新知学习 探究 返回目录 16 圆柱、圆锥、圆台体积的求法 （1）直接法：根据几何体的结构特征，确定底面积和高，代入体积公式 直接求出. （2）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. （3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，先求再减. 新知学习 探究 返回目录 17 ［跟踪训练2］ （1）如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得 的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( ) D A. B. C. D. 【解析】 选D.用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一 个圆柱，如图，则圆柱的体积为 ，故所求几 何体的体积为 . 新知学习 探究 返回目录 18 （2）（2024· 新课标Ⅰ卷）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相 等，且它们的高均为 ，则圆锥的体积为( ) B A. B. C. D. 【解析】 选B.设圆柱和圆锥的底面半径均为，因为它们的高均为 ，且 侧面积相等，所以，得 ，所以圆锥的体 积 .故选B． 新知学习 探究 返回目录 19 三 球的表面积和体积 表面积： ①______. 体积： ②______. 新知学习 探究 返回目录 20 例3 （1） 一平面截一球得到直径为 的圆面，球心到这个平面的距 离是 ，则该球的体积是( ) B A. B. C. D. 【解析】 设球心为，截面圆心为，连接 ，如图所示， 在中，， ，所以球的半 径 ，所以球的体积 .故选B. 新知学习 探究 返回目录 21 （2）（对接教材例4）若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径 与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为( ) C A. B. C. D. 新知学习 探究 返回目录 22 【解析】 设圆锥的底面半径为,高为，母线长为,球的半径为 ， 则由题意得解得 所以 , 所以 , , 所以 . 故圆锥侧面积与球的表面积之比为 . 新知学习 探究 返回目录 （1）球的表面积和体积的求解关键 因为球的表面积和体积都与球的半径有关，所以在解答这类问题时，设法 求出球的半径是解题的关键. （2）球的截面问题的解题技巧 ①有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的 问题. ②解题时要注意借助球半径<m></m>，截面圆半径<m></m>，球心到截面的距离<m></m>构成的 直角三角形，即<m></m>. 新知学习 探究 返回目录 24 ［跟踪训练3］ 若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为 ,则球的表面积为( ) C A. B. C. D. 【解析】 选C.设球的半径为，则截面圆的半径为 ，所以截面圆 的面积为 ，所以 ，所以球的表 面积 .故选C. 新知学习 探究 返回目录 25 PART 02 第二部分 课堂巩固 自测 26 1.（教材P练习T改编）已知球的体积是 ，则此球的表面积是( ) B A. B. C. D. 【解析】 选B.设球的半径为，所以，所以 ，所以 . 课堂巩固 自测 返回目录 27 2.（教材P练习T改编）若圆锥的底面半径为1，高为 ，则圆锥的表 面积为( ) C A. B. C. D. 【解析】 选C.设圆锥的母线长为，则 ，所以圆锥的表面 积为 . 课堂巩固 自测 返回目录 28 3.已知圆台的体积为 ，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为 ( ) A A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】 选A.设圆台的高为 ，由题意知 ， 故 . 课堂巩固 自测 返回目录 29 4.（多选）圆柱的侧面展开图是长，宽 的矩形，则这个圆柱的 体积可能是( ) AB A. B. C. D. 【解析】 选.当圆柱的高为 时，体积 ；当圆柱的高为 时，体积 . 课堂巩固 自测 返回目录 30 5.已知一个平面截一个球得到面积为 的圆面，球心到这个圆面的距离 等于球半径的一半，则该球的体积等于____. 解析：由平面截一个球得到面积为 的圆面可得，截面圆的半径为 ，设球的半径为，球心到这个圆面的距离为 ，所以由勾股 定理可得，即，所以 ，所以球的体积为 . 课堂巩固 自测 返回目录 31 1.已学习：圆柱、圆锥、圆台以及球的表面积与体积. 2.须贯通：解决旋转体的表面积，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图， 借助平面几何知识，求得所需要的几何要素；求旋转体体积的关键是寻求 底面积与高，一般是在由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程求 解；公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件. 3.应注意：（1）解决旋转体的表面积，密切关注轴截面及侧面展开图； （2）球心位置的确定要准确. 课堂巩固 自测 返回目录 32 $