8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

该高中数学课件聚焦圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积，通过“每天喝8杯水”的纸杯问题导入，衔接多面体表面积体积旧知，引导学生动手画侧面展开图、类比推导公式，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以生活情境激发探究欲，用补形法推导圆台侧面积、割圆术类比球体积体现数学思维，通过纸杯体积计算解决喝水问题落实数学应用。结合数学眼光、思维与语言，学生能发展空间观念和创新意识，教师可高效开展情境化、探究式教学。

水是生命之源，我们常说“每天要喝8杯水”，但如果杯子形状不同，水量也会变化。今天我们用数学知识计算一下，如果使用这种纸杯喝水，每天至少需要喝多少杯才能达到健康饮水量？(成年人每日饮水量大约1500-2500毫升) 圆台的体积 创设情境 引出课题 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球 表面积和体积 人教A版 必修二 第八章 立体几何初步 单击此处添加副标题 单击此处添加标题 温故旧知 知识衔接 空间几何体 多面体 旋转体 结构特征 直观图 斜二测画法 柱体、锥体、台体 球 表面积 体积 现实世界中的物体 抽 象 多面体 棱柱 棱台 棱锥 几何体 表面积 体积   S表=S侧+S底 围成它们的各个面的面积之和     上底面扩大   上底面缩小   温故旧知 知识衔接 立体图形平面化 变化 与联系 问题1：你能画出圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图吗？类比棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算方法，尝试写出圆柱、圆锥、圆台的表面积，完成下表： 动手实践 探究发现 圆柱 圆锥 圆台 底面半径r，母线长l 底面半径r，母线长l 上、下底面半径r'，r，母线长l 底面积：S底= ； 侧面积：S侧= ； 表面积：S表= ； 2πr2 2πrl 2πr（r+l） 底面积：S底= ； 侧面积：S侧= ； 表面积：S表= ； πr2 πrl πr（r+l） 底面积：S上底= ；S下底= ； 侧面积：S侧= ； 表面积：S表= ； πr' 2 πr2 2πr 动手实践 请大家利用手中的纸杯，将它抽象为圆台，先去掉纸杯的底面， 将纸杯沿着一条母线剪开，你发现了什么？ 动手实践 探究发现 扇环 探究发现 建构新知 问题2：圆台的侧面积如何计算？ 表面积：S表＝π(r'2＋r2＋r'l+rl) 扇形的面积公式： S扇= lr= αr2 （l是扇形弧长,r是半径） 方法：补形法 转化为 圆锥 由相似可知， 所以， S侧=S大锥侧－S小锥侧 =πr（l+l'）－πr'l' =πrl+πl'（r－r' ） =πrl+π（r－r' ） =πrl+πr'l 设小圆锥的母线长为l'， 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ 思考 探究发现 建构新知 圆柱 圆台 r=r' 上底扩大 r' =0 上底缩小 上底面与下 底面全等 上底面缩小 为一个点 圆锥 变化 与联系 问题3：以前学习过圆柱、圆锥的体积，圆柱、圆锥的体积是什么？ r l O O' h O S l r h (r是底面半径，h是高，l是高) 探究发现 建构新知 问题4：圆台是由圆锥截成的，如何利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积？ 探究发现 建构新知 S A' A r O' O r' l h h' (r′、r分别是上、下底面半径，h是圆台的高) 转化为 圆锥 设h'是小圆锥的高 10 圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ 思考 探究发现 建构新知 圆柱 r l O O' r O' O r' l 圆台 O S l r 圆锥 r=r' 上底扩大 r' =0 上底缩小 上底面与 下底面全等 上底面缩小 为一个点 11 结合棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系？ 思考 柱体 锥体 台体 S=S' S' =0 探究发现 建构新知 12 事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积是 O 探究发现 建构新知 球的表面积公式 设球的半径为R，它的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数. 小学,我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何得到圆的面积公式的? 思考 　我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后重新拼接起来，圆近似的看成是边长分别是πR和R的矩形。 割圆术 探究发现 建构新知 14 割圆术 探究发现 建构新知 割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”。 这是世界上最早的“极限”思想。 化曲为直 类比这种方法，你能用圆面积公式推导过程中应用的思想方法，尝试推导出球的体积公式? 思考 •分割 将球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，将整个球体分割成n个“小锥体”． •近似替代．当n越大时，每个小网格就越小，每个“小锥体”的底面就越平，就越近似于棱锥，棱锥的高近似于球半径R．设O-ABCD是其中一个“小锥体”，则它的体积是 探究发现 建构新知 16 •近似求和 这n个“小锥体”的体积之和是球的体积，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积4πR2．因此球的体积： 探究发现 建构新知 17 探究发现 建构新知 球的体积公式 在推导球的体积公式过程中经历了“分割、求近似值、再由近似和转化为球体的体积”体现了一种极限思想方法。 类比 例1 已知圆台纸杯的上底直径为8cm，下底直径为5cm，高为8cm,求这个圆台纸杯的体积. 解:由题知，设圆台的上底的半径为r，下底的半径为r'，高为h，则r =4，r' =2.5，h=8, r O' O r' h ∵ ∴ 若π≈3.14，则纸杯体积是270.04cm3，此时，按照 人体每日饮水量大约1500毫升，1500÷270.04≈6, 每日至少需要喝6杯。运动后需额外补充。 应用实践 巩固提升 若π≈3.14，每日至少喝多少杯？ 19 解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R， 　　　　高为2R，则： 变式：求球与圆柱的表面积之比. 你有什么发现呢？ 例2 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比. 应用实践 巩固提升 20 圆柱容球定理 在圆柱容球中（此时圆柱的底面直径和高都等于球的直径），球的体积恰好是圆柱体积的2/3 ，球的表面积也是圆柱表面积的2/3 。  应用实践 巩固提升 圆柱、圆锥、圆台、球表面积 柱体、锥体、台体公式关系 圆柱、圆锥、圆台、球体积 思想与方法 知识 数形结合 运动变化 特殊到一般 类比、极限 回顾本节课的学习，在推导圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积时蕴含了哪些数学思想与方法？ 应用 数学家的精神——积极探索，勇攀高峰 课堂小结 反思升华 转化与化归 基础巩固 拓展提升 1.请思考正方体与球有哪些位置关系？ 教材P119 练习1、2、3题 P120 习题8.3 5题 2.实践作业：测量家中一个圆柱形/圆台形容器的尺寸，计算其容积，与标注容量对比，分析误差原因。 作业布置 应用迁移 谢 谢 聆 听 Lavf58.20.100 Lavf58.20.100 Lavf58.20.100 Lavf58.20.100 $