32 6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦余弦定理、正弦定理的实际应用，通过故宫角楼高度测量问题导入，引导学生将不可直接测量的距离、高度、角度等实际问题转化为解三角形问题，衔接已学定理知识，搭建从理论到实践的学习支架。 其亮点在于以真实情境为载体，通过即时练辨析基线、仰角等术语，例题（如海岛距离、飞机俯角测量）和跟踪训练培养数学思维，课堂小结强调转化与化归思想。体现用数学眼光观察现实、用数学思维解决问题，帮助学生提升应用能力，为教师提供系统的分层教学资源。

第六章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例 6.4.3　余弦定理、正弦定理 1 1 2 新知学习 探究 课堂巩固 自测 2 学习目标 1.理解测量中有关名词、术语的确切含义. 2.能将实际问题转化为解三角形 问题. 3.能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题. 3 PART 01 第一部分 新知学习 探究 4 在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如图所示故 宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量. 思考 假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出 角楼的高度吗？ 新知学习 探究 返回目录 5 提示：问题转化为求不可到达的两点， 之间的距离 （如图），可选定可到达位置，用米尺测量 ， 用测量角度的工具测得 ， , , , ,先在中求出 ， 再在中求出，最后在中求 即可. 新知学习 探究 返回目录 6 一 实际问题中有关名词、术语 1.基线的概念与选取原则 （1）基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线. （2）选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适 的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 新知学习 探究 返回目录 7 2.测量中相关角的概念 （1）仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角， 目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方 时叫俯角，如图所示. （2）方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平 角，如点的方位角为 （如图1所示）. （3）方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角， 如北偏西<m></m> ，南偏东<m></m> （此时也称为东南方向，如图2所示）. 新知学习 探究 返回目录 8 【即时练】 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）在测量中，选取的基线越短，测量的精确度越高.( ) × （2）仰角与俯角都是目标视线与铅垂线所成的角.( ) × （3）方位角的范围是 .( ) × （4）“视角”就是“仰角”.( ) × 新知学习 探究 返回目录 9 2.若在的北偏东方向上，则在 的( ) C A.东偏北方向上 B.东偏北 方向上 C.南偏西方向上 D.西偏南 方向上 【解析】 选C.如图所示，可知在的南偏西 方向上，故选C. 新知学习 探究 返回目录 10 3.从处望处的仰角为 ,从处望处的俯角为 ，则 , 的关系为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 选B.根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示.由图知 .故选B. 新知学习 探究 返回目录 11 分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，画图时， 要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角. 新知学习 探究 返回目录 12 二 测量距离问题 例1（1） （2024·河南郑州期中）海面上有相距的， 两个小 岛，从岛望岛和岛成 的视角，从岛望岛和岛成 的视角， 则， 间的距离为( ) D A. B. C. D. 【解析】 如图，由题意得 , , ,则 ， 所以,所以 , 即B,C间的距离为 .故选D. 新知学习 探究 返回目录 13 （2）（对接教材例9）如图，为了测量， 两点间的距离，选取同一平面 上的，两点，测出四边形各边的长度单位： ， ，，，且，，，四点共圆，则 的长为___ . 7 新知学习 探究 返回目录 14 解析：因为，，，四点共圆，圆内接四边形的对角和为 ，所以 ，所以由余弦定理可得 ,① ,② 联立①②，解得 . 新知学习 探究 返回目录 15 测量距离问题的基本类型及方案 类型 ， 两点间不 可达或不可视 ， 两点间可 视，但有一点不 可达 ， 两点都不可达 图形 _________________________________ _______________________________ ______________________________ 新知学习 探究 返回目录 16 方法 先测角 ， ， ，再用余 弦定理求 以点 不可达为 例，先测角 ， ， ，再用 正弦定理求 测得，, , ,, ,在 中用正弦定理求 ； 在 中用正弦定理求 ；在 中用余弦定理 求 续表 新知学习 探究 返回目录 17 ［跟踪训练1］ 一个骑行爱好者从地出发向西骑行了到达 地，然 后再由地向北偏西 骑行到达地，再从地向南偏西 骑 行了到达地，则地到 地的直线距离是( ) B A. B. C. D. 新知学习 探究 返回目录 18 【解析】 选B.如图，在中， ， ，，依题意， ,在 中，由余弦定理得， ,由正弦定理得， ,在 中， , 新知学习 探究 返回目录 19 由余弦定理得, , 所以A地到D地的直线距离是 .故选B. 新知学习 探究 返回目录 三 测量高度问题 例2 （1） 如图，飞机的航线和山顶在同一个铅 垂平面内，已知飞机的高度为海拔 ,速 度为 ，飞行员先看到山顶的俯角为 ，经过后又看到山顶的俯角为 ， 则山顶的海拔高度为( ) C A. B. C. D. 新知学习 探究 返回目录 21 【解析】 如图，过点C作 于点D.由题意知 ， ,则 ， . 在 中，由正弦定理， 得 . 在 中， ,所 以山顶的海拔高度为 .故选C. 新知学习 探究 返回目录 22 （2）（对接教材例10）如图所示，在地面上共线的三点 ，，处测得一建筑物的仰角分别为 , , , 且 ，则建筑物的高度为( ) D A. B. C. D. 新知学习 探究 返回目录 23 【解析】 设建筑物的高度为.由题图知，, , .在和 中，由余弦定理的推论得, ,① .② 因为 , 所以 .③ 由①②③，解得或 （舍去）.即建筑物的高度为 . 新知学习 探究 返回目录 24 测量高度问题的基本类型及方案 类型 图形 方法 底部可达 ____________________________________ 测得,, 新知学习 探究 返回目录 25 类型 图形 方法 底部 不可 达 点 与 ， 共 线 _____________________________________ 测得及与 的度数.先由正弦定 理求出或，再解直角三角形得 的 值 点 与 ， 不 共线 ____________________________________ 测得及，， 的度数.在 中，由正弦定理求得 ，再解直角 三角形得 的值 续表 新知学习 探究 返回目录 26 ［跟踪训练2］ 在 高的山顶上，测得山下塔顶与塔底的 俯角分别为 和 ，则塔高为( ) C A. B. C. D. 【解析】 选C.如图,从塔顶向山体引一条垂线,垂足为 .则 , ,因为 ,所以 ，所以 ,所以塔 高 ,故选C. 新知学习 探究 返回目录 27 四 测量角度问题 例3 （对接教材例11）某货船在一海域航行中遭遇突发情况， 发出求救信号，如图，某海军护航舰在 处获悉后，立即测 出该货船在方位角为 ，距离为的 处，并测得 货船正沿方位角为 的方向，以 的速度向前行驶，该海军 护航舰立即以 的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货 船所需的时间. 新知学习 探究 返回目录 28 【解】 设所需时间为，在 中，根据余弦定理，有 ，可得 ， 整理得，解得或 （舍去）. 故护航舰靠近货船需 . 此时，，又，所以 ，所以护航 舰航行的方位角为 . 新知学习 探究 返回目录 29 测量角度问题的解题思路 新知学习 探究 返回目录 30 ［跟踪训练3］ 某校学生参加课外实践活动“测量一土坡 的倾斜程度”，在坡脚处测得 ,沿土坡向坡 顶前进后到达处，测得 .已知旗杆 D A. B. C. D. 【解析】 选D.在中， ,由正弦定理得 ,在中， ,故 ,易知 ,所以 . ，,土坡对于地平面的坡度为 ，则 ( ) 新知学习 探究 返回目录 31 PART 02 第二部分 课堂巩固 自测 32 1.从地面上观察一处建在山顶上的建筑物，测得其视角为 ，同时测得建 筑物顶部仰角为 ，则山顶的仰角为( ) C A. B. C. D. 【解析】 选C.如图可知，山顶的仰角为 .故选C. 课堂巩固 自测 返回目录 33 2.如图，某研究小组为测量某楼房的高度，在地面 处 测得房顶的仰角为 ，在距离处的地面 处测得 房顶的仰角为 ，并测得 ，则该楼房的 高度为( ) B A. B. C. D. 【解析】 选B.根据题意可知，, 均为直角三角形， , ,设,则, ,在 中，由余弦定理的推论得,解得 或（舍去）,所以楼房的高度为 . 课堂巩固 自测 返回目录 34 3.（教材PT 改编）如图，已知现存某斜 塔塔身高为，塔身向北偏东 方向倾斜.为寻找适当观察视角，某游客在 地面处测得斜塔塔尖的仰角为 ，向 B A. B. C. D. 斜塔方向前行至点，测得仰角为 （若，，三点共线，， ， ，四点共面），则 间距离约为 ( ) 课堂巩固 自测 返回目录 35 【解析】 选B.由题意可得 , , ,,在 中，根据正弦定理可得, ,解得.在 中，因为 ,所以根据正弦定理可得 , 又因为 , 故 . 课堂巩固 自测 返回目录 36 4.（教材PT改编）甲船在点发现乙船在北偏东 的 处，乙船以每 小时的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 ，问 甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解：如图所示，设经过两船在 点相遇， 则在中，， ， .由 ， 得 . 因为 ，所以 ， 所以 ，所以甲船应沿着北偏东 的方向前进，才能最快与乙船相遇. 课堂巩固 自测 返回目录 37 1.已学习：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案. 2.须贯通：求解不可到达的距离、高度、角度等实际问题时，策略就是把 实际问题转化为解三角形问题，体现了转化与化归和数形结合的思想方法. 3.应注意：测量中有关术语的含义，如方位角、方向角. 课堂巩固 自测 返回目录 38 $