30 6.4.3 第3课时 用余弦、正弦定理解三角形（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦正弦、余弦定理的综合应用，涵盖三角形面积计算、多边形问题等核心内容。通过回顾旧知（已学定理适用条件），以“用边和角的正弦表示面积”设问引导探究，搭建从定理应用到面积公式推导的学习支架。 其亮点在于采用多条件选做例题（如例1三条件任选）和高考真题（2024新课标Ⅰ卷），结合数学思维（推理与转化）和数学语言（符号表达与模型构建），通过解题技法总结和分层训练，帮助学生提升逻辑推理与综合应用能力，也为教师提供系统教学案例与结构化知识梳理工具。

第六章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用 第3课时 用余弦、正弦定理解三角形 6.4.3　余弦定理、正弦定理 1 1 2 新知学习 探究 课堂巩固 自测 2 学习目标 1.利用正弦、余弦定理研究三角形中边与角的关系. 2.掌握三角形的面积公 式，能熟练求出三角形的面积. 3.掌握正弦、余弦定理的综合应用. 3 PART 01 第一部分 新知学习 探究 4 我们前两节课学习了余弦定理和正弦定理，利用这两个定理可以求解 下列条件下的三角形问题： （1）已知两边和夹角； （2）已知三边； （3）已知两角和一边； （4）已知两边和其中一边的对角. 思考 你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗？ 提示： . 新知学习 探究 返回目录 5 一 三角形面积的计算 （1）,,分别表示,,上的高 . （2） . （3）为内切圆的半径 . （4）其中 . 新知学习 探究 返回目录 6 例1 在, , 这三个条件中任选一个，补充到下面的 问题中并作答. 在中，内角，，的对边分别为,, ，且____. （1）求角 的大小； 新知学习 探究 返回目录 7 【解】选条件①. 因为 , 所以 . 因为 ,所以 , 所以 , 即,因为 , 所以 , 则, . 新知学习 探究 返回目录 8 选条件②. 因为 , 所以 , 所以 . 因为 ,所以 , 所以,即 . 又 ,所以 . 新知学习 探究 返回目录 选条件③. 因为 , 所以 , 即 . 因为 ,所以,所以,即 . 又 ,所以 . 新知学习 探究 返回目录 （2）若,，求 的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解】 因为, ,所以 . 由 , 可得 , 所以 , 则的面积 . 新知学习 探究 返回目录 11 求三角形面积的解题思路 在应用三角形面积公式<m></m>求解时， 一般是已知哪个角就使用哪一个相应的公式. 新知学习 探究 返回目录 12 ［跟踪训练1］ （1）在中，已知,且的面积为 , 则 ( ) D A. B. C. 或 D. 或 【解析】 选D.由面积公式 ,解 得,所以 或 .故选D. 新知学习 探究 返回目录 13 （2）在中，,,分别是角，，的对边，若, , ，则 的面积为_____. 解析：依题意,由正弦定理得 , ,,所以 ,所以 ,所以 的面积为 . 新知学习 探究 返回目录 14 二 多边形中的计算问题 例2 如图，在平面四边形中，, , , .求： 新知学习 探究 返回目录 15 （1） ; 【解】在中，由余弦定理得 ,即 ,所以 （负值已舍去）. 由正弦定理可得 , 即 . 新知学习 探究 返回目录 16 （2） 的长. 【解】 在 中，由正弦定理得 , 所以 . 在 中，由正弦定理得 , 新知学习 探究 返回目录 17 所以 . 因为, , 所以 , 所以 , 所以,所以 . 新知学习 探究 返回目录 18 多边形中计算问题的解题思路 （1）正确挖掘图形中的几何条件，简化运算是解题要点，还要善于应用 正弦定理、余弦定理.只需通过解三角形，一般问题便能很快解决. （2）解决此类问题的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件. 新知学习 探究 返回目录 19 ［跟踪训练2］ 如图，在圆内接四边形中， ， ， ，的面积为 .求： 新知学习 探究 返回目录 20 （1） ； 解：因为的面积为 ， 所以 . 又因为 ，，所以 . 由余弦定理得， ， 所以 . 新知学习 探究 返回目录 21 （2） . 解：因为四边形为圆内接四边形，且 ，所以 . 又，由正弦定理可得 ，故 . 因为，所以 ， 所以 . 新知学习 探究 返回目录 22 三 正弦定理、余弦定理的综合问题 例3 （2024·新课标Ⅰ卷）记的内角，，的对边分别为， ， ，已知， . （1）求 ； 【解】由余弦定理得 , 又 ,所以 . 所以,所以 , 又 ，所以 . 新知学习 探究 返回目录 23 （2）若的面积为，求 ． 【解】 由（1）得 ， . 由正弦定理,得,所以 . 所以的面积,得 . 新知学习 探究 返回目录 24 利用正弦定理、余弦定理求解综合问题 （1）三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积 公式、三角恒等变换等知识联系在一起，解答此类题目，首先要正确应用 所学知识“翻译”题目条件，寻找三角形中的边角关系. （2）抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正 确选择定理是解决此类题目的关键. 新知学习 探究 返回目录 25 ［跟踪训练3］ （多选）（2024·浙江金华期中）在中，内角 ， ，的对边分别是,,，且满足 ，则( ) ACD A. B.若,则周长的最大值为 C.若为的中点，且，则的面积的最大值为 D.若角的平分线与边的相交于点，且，则 的最小 值为9 新知学习 探究 返回目录 26 【解析】 选.由 及正弦定理可得 ,又，所以 ,所以 ,则,因为,所以 ,故A正 确； 若，则的外接圆直径 ,所以 ，由,,得， ,所以 ，所以周长的最大值为9，故B错误；若D为 的中点， 且 ， 新知学习 探究 返回目录 27 则 , 则,所以 ,当且仅当 时，等号成立，所以 ，故C 正确; 由题意得 , 即，即 ,即 , 所以 ,当且仅当 时，等号成立，故D正确.故选 . 新知学习 探究 返回目录 PART 02 第二部分 课堂巩固 自测 29 1.（教材改编）在中，若，， ， 则 ( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 选A.由余弦定理，得 ，即 ，化简得 ，解得 或 （舍去）.故选A. 课堂巩固 自测 返回目录 30 2.（2024·河南南阳期中）已知,,分别表示中内角，， 所对 的边长，若 ,,,则 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】 选A.因为 ，, ,所以 ,所以 .由余弦定理可知 ,所以, ,所以由正弦 定理得 .故选A. 课堂巩固 自测 返回目录 31 3.（多选）在中，，，，则 的面积可 以是( ) AD A. B.1 C. D. 课堂巩固 自测 返回目录 32 【解析】 选.因为，， ，由余弦定理，得 ， 所以 ， 所以或 . 当时， ， 当时， . 综上，或 . 课堂巩固 自测 返回目录 33 4.（教材PT改编）已知的内角，，的对边分别为，， ， 且 . （1）求 ； 解：根据正弦定理及 ， 得 . 因为，所以，所以，因为 ，所以 . 课堂巩固 自测 返回目录 34 （2）若，求 面积的最大值. 解：由（1）知，又，由余弦定理得 ， 即，所以 , 即，当且仅当 时取等号. 所以 . 所以面积的最大值为 . 课堂巩固 自测 返回目录 35 1.已学习：三角形的面积公式及正弦、余弦定理的综合应用. 2.须贯通：结合条件能顺利选择三角形的面积公式、正确选择正弦或余弦 定理结合三角恒等变换实现边与角的互化，应用转化与化归、数形结合的 思想方法. 3.应注意：利用正弦定理进行边和角的相互转化的等价性. 课堂巩固 自测 返回目录 36 $