22 强化课 平面向量数量积的应用（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦平面向量数量积的应用，涵盖计算、模、夹角、垂直关系判定及与三角函数结合等题型，通过例题从定义出发，搭建从基础到综合应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于采用基底法、坐标法等多种解题方法，结合矩形、正方形等图形问题，培养学生数学思维与运算能力，用规范数学语言表达问题。如例1多法对比，跟踪训练巩固，助力学生提升解题能力，也为教师提供系统教学资源。

第六章 平面向量及其应用 强化课 平面向量数量积的应用 1 题型一 平面向量数量积的计算 例1（1）如图，在中， ，为 的中 点，，，，则 ( ) C A. B. C.13 D.15 2 【解析】 方法一（基底法）：因为 ，为 的中点， ，，所以 ， 所以 ， 又，所以 ， 所以 . 3 方法二（坐标法）：建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，，， . 在 中， ， 又，所以，即 ， 则 ， ， 4 同理， ， 所以， ， ， ， 则 . （2）如图所示，正方形的边长为1，，分别在 轴的正半轴、轴的正半轴（含原点）上滑动，则 的最大值是___. 2 6 解析：如图，取的中点，的中点，连接 ， ，，则 .因为 ，当且仅当，， 三点共线时取等号， 所以 的最大值为2. 平面向量数量积的运算方法 （1）当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 <m></m>（<m></m> 为非零向量<m></m>,<m></m>的夹角）. （2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若<m></m>, <m></m>,则<m></m>. （3）选择合适的基底，转化为基底去解决问题. （4）利用数量积的几何意义（投影向量）求解. 8 ［跟踪训练1］ （1）在矩形中，，，若点， 分 别是，的中点，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 选B.以点A为坐标原点，，所在直线分别为轴、 轴建立 如图所示的平面直角坐标系， 9 则，，， ， ，，， ， 所以 .故选B. 10 （2）（2024·北京东城区期末）在矩形中，， ，点 为边的中点，点为边上的动点，则 的取值范围是______. 解析：以为坐标原点，，的方向分别为轴、 轴的正方向，建立 如图所示的平面直角坐标系，则， . 11 设 ， 所以， ， 所以.因为，所以 ， 即的取值范围是 . 12 题型二 平面向量数量积的应用 角度1 求向量的模 例2 在平行四边形中，点是边的中点，点在边 上，满足 .若，，且，则 ___. 1 13 解析：以 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系. 设，则由题意可得，，，， ， . 14 所以， ， ， ， 因为，所以 ， 即 ， 所以，解得或（舍去），所以 . 15 求向量的模的方法 （1）公式法：利用<m></m>及<m></m>,把向量模 的运算化为数量积运算； （2）几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形 法则或三角形法则作出向量，然后求解. 16 角度2 求夹角 例3 已知矩形的边长满足，点满足 ， 则 的值为_____. 解析：以点为坐标原点，，所在直线分别为轴、 轴建立如图所 示的平面直角坐标系，设 ， 17 则，，， ， ，，则点， ， 所以，，， ， 因此 ， ， . . 18 求平面向量的夹角的方法 （1）定义法：由向量数量积的定义知，<m></m>,其中两个向量的夹角 <m></m> 的范围为<m></m>，求解时应求出三个量：<m></m>,<m></m>,<m></m>或者找出这三个量 之间的关系； （2）坐标法：若<m></m>,<m></m>,则<m></m> . 19 角度3 垂直关系的判定 例4 在中，，点 . （1）若，且，，三点能构成直角三角形，求点 的坐标； 【解】设点，则， ， . 因为，所以，所以 . 因为,所以 . 当 时，，所以 . 又因为，所以或 . 所以点的坐标为或 . 20 当 时，，所以 . 又因为，所以 . 所以点的坐标为，或 . 综上所述，点的坐标为或或，或 . （2）轴上是否存在点，，满足？若存在，求出点， 的 坐标；若不存在，请说明理由. 【解】 存在.依题意可设点， ， 则， . 因为，，所以 , ，② 联立①②解得或所以点，的坐标分别为， 或， . 22 求两向量垂直的方法 （1）定义法：<m></m>（其中<m></m>,<m></m>）. （2）坐标法：若<m></m>，<m></m>，则<m></m>. 23 ［跟踪训练2］ （1）已知单位向量，满足 ，若向量 ，则， ( ) A A. B. C. D. 24 【解析】 选A.因为， 是单位向量， 所以 ， 又因为， ， 所以 ， ， 所以， ，因为两个向量夹角的范围为 ， 所以， . 25 （2）（多选）是边长为2的等边三角形，已知向量， 满足 ， ，则( ) AC A. B. C. D. 26 【解析】 选.由题意可知， ， 则 ，故选项A正确； ，故选 项B错误； ，则 ，故选项C正确； ，即 ， 故选项D错误. 27 题型三 数量积与三角函数 例5 已知向量，,，函数 .求： （1） 的值； 【解】 , 所以 . 28 （2）函数在 上的值域. 【解】 由（1）知,因为 ,所以 , 当，即时，有最小值 ； 当，即时， 有最大值1. 所以函数在上的值域为 . 29 向量坐标中含有三角函数时，先运用向量的相关知识，得到三角函数式， 然后利用三角函数的相关知识求解. 30 ［跟踪训练3］ （1） （多选）（2024·湖北武汉联考）已知向量 ， ，则下列说法正确的是 ( ) AB A.若，则 B.若，则 的值为 C.的取值范围为 D.存在 ，使得 31 【解析】 选.对于A，若，则 ，所以 ， 故A正确； 对于B，若，则，所以 ， 因为 ，所以 的值为 ，故B正确； 对于C，，因为 ， 所以，，所以的取值范围为 ， 故C错误； 32 对于D， ， 所以 ， ， 若 ，则 ，得，解得 ， 因为 ，所以 ，解得，因为 ， 所以无解，故D错误.故选 . （2）已知向量，， . 且与的模相等，求 的值.（其中 为非零实数） 解：依题意， . 因为 , 所以 ， 即 ， 34 即 , 整理得 . 因为 ，则 ， ， 所以 ， 所以 . 35 $