精品解析：河北邢台市任泽区2025-2026学年度第一学期期末质量检测九年级数学试卷（C）

2025－2026学年度第一学期质量检测（C） 九年级数学 考试范围：21－29章 说明：1.本试卷6页，满分120分 2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效 一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意． 故选：C． 2. 用配方法解一元二次方程，则方程可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将常数项移到等号的右边，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方程左边配成一个完全平方式即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故选B 【点睛】本题考查配方法，熟练掌握配方法的步骤是解题关键． 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. “打开电视机，正在播放新闻联播”是不可能事件 B. “明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间要下雨 C. “水能载舟，亦能覆舟”是必然事件 D. 小明的数学测试成绩前几次都在90分以上，这次也一定在90分以上 【答案】C 【解析】 【分析】概率是反映事件发生大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生． 【详解】解：A. “打开电视机，正在播放新闻联播”是随机事件，故本选项错误； B. “明天下雨的概率为80%”，是说明明天下雨的可能性大，故本选项错误； C.“水能载舟，亦能覆舟”是必然事件，本选项正确； D.小明的数学测试成绩前几次都在90分以上，这次数学成绩测试不一定在90分以上，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查概率的意义，解决本题的关键是正确理解概率的意义，本题属于基础题型． 4. 把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象平移的规律：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：， ∴平移后的抛物线解析式为， ∴把抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为， ∴原抛物线的解析式为， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 5. 如图，由6个小正方体搭建而成的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的概念，俯视图是从物体的上面向下看到的，因此可知其像是一个十字架. 【详解】解：根据三视图的概念，俯视图是 故选C． 【点睛】考点：三视图. 6. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求锐角的正切值，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：A． 7. 如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（ ） A. 圆形铁片的半径是4cm B. 四边形AOBC为正方形 C. 弧AB的长度为4πcm D. 扇形OAB的面积是4πcm2 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得：BC，AC分别是⊙O的切线，B，A为切点， ∴OA⊥CA，OB⊥BC， 又∵∠C=90°，OA=OB， ∴四边形AOBC是正方形， ∴OA=AC=4，故A，B正确； ∴的长度为：=2π，故C错误； S扇形OAB==4π，故D正确． 故选C． 【点睛】本题考查切线的性质；正方形的判定与性质；弧长的计算；扇形面积的计算． 8. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有n个．随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀．经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】依题意有：， 解得：n=3． 故选：B． 9. 如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后根据旋转的性质得出，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：在等腰中，， ∴， ∵绕点C逆时针旋转得到，点A的对应点D落在上， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 10. 对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A. 图象经过点（2，﹣1） B. 图象位于第二、四象限 C. 当 x＜0 时，y随 x的增大而减小 D. 当 x＞0 时，y 随 x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质即可直接作出判断． 【详解】A、把x=2代入得，y=1，则（2，﹣1）不在图象上，选项错误； B、图象位于第一、三象限，选项错误； C、当x＜0时，y随x的增大而减小，选项正确； D、当x＞0时，y随x的增大而减小，选项错误． 故选：C． 11. 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为米，点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米，则的半径长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的的值即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点，设的半径长为， ∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径长为米． 故选：D． 12. 抛物线（是常数），，顶点坐标为.给出下列结论：①若点与点在该抛物线上，当时，则；②关于的一元二次方程无实数解，那么（ ） A. ①正确，②正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①错误，②错误 【答案】A 【解析】 【分析】①根据二次函数的增减性进行判断便可； ②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m，再把m代入一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误． 【详解】解：①∵顶点坐标为, ∴点（n，y1）关于抛物线的对称轴x=的对称点为（1-n，y1）， ∴点（1-n，y1）与在该抛物线的对称轴的右侧图像上, ∵a＞0， ∴当x＞时，y随x的增大而增大， ∴y1＜y2，故此小题结论正确； ②把 代入y=ax2+bx+c中，得, ∴一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0中， △=b2-4ac+4am-4a ∴一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0无实数解，故此小题正确； 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第①小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负． 二、填空题（本题共计3题，每题4分，共计12分） 13. 方程的根为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 14. 已知是锐角，且，则为______°. 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：已知是锐角，且，，则的度数是， 故答案为：60． 15. 由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为______，周长为______． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】本题主要考查正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，连接，证明正三角形，得连接得是等边三角形，求出面积即可得解 【详解】解：连接，如图， ∵六边形是正六边形， ∴ ∴， ∵ ∴在上， 同理可得，在上， ∴三点共线， ∴ ∴ 又 ∴ ∴正三角形， ∴ ∴小正六边形的周长为； 连接则 ∴是等边三角形， ∴ 过点作于点P， ∴ ∴ ∴， ∴小正六边形的面积为， 故答案为：；6 三、解答题（本题共计7题，共计72分） 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）请你给赋一个值，并求此时方程的根． 【答案】（1）见解析；（2）当时，，． 【解析】 【分析】（1）进行判别式的值得到，利用非负数的性质得，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根； （2）令时，则方程化为，然后利用因式分解法解方程． 【详解】（1）证明：依题意，得． ∵， ∴方程总有两个实数根； （2）解：当时， 解方程． 解得，． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 17. 为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A,B,C三类分别装袋,投放，其中A类指废电池,过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料,废纸等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类． (1)直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率； (2)求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率． 【答案】（1）（2）． 【解析】 【分析】（1）根据总共三种，A只有一种可直接求概率； （2）列出其树状图，然后求出能出现的所有可能，及符合条件的可能，根据概率公式求解即可． 【详解】解： (1)甲投放的垃圾恰好是A类的概率是． (2)列出树状图如图所示： 由图可知，共有18种等可能结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的结果有12种． 所以， (乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类)． 即，乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率是． 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（a，b为常数，且）与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点、． （1）求反比例函数与一次函数的解析式． （2）连接OA、OB，求△AOB的面积． （3）直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）， （2）1.5 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题． （1）将A的坐标代入反比例函数求出m的值，然后将B的坐标代入反比例函数求出n的值，然后将A、B两点的坐标代入一次函数解析式中即可求出答案． （2）求出直线与y轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求出答案． （3）根据图象即可求出x的取值范围． 【小问1详解】 将代入， ∴， ∴反比例函数的解析式为： ， 将代入， ∴， ∴， 将和代入， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 令代入， ∴， ∴， 【小问3详解】 由图象可知：当y1＜y2时，，或 19. 中，，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，，它们交于点． （1）求证：． （2）当，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）由题意可以推得△AEB≌△AFC，从而得到EB=CF； （2）由α=120°可以得到∠ACF的值，由AB=AC=1及 ∠BAC=45°可以得到∠ACB的值，最后由∠ACB-∠ACF即可得到∠FCB 的度数． 【详解】（1）证明：∵绕点按顺时针方向旋转角得到， ∴，，， ∴， ，即， 在和中，， ∴，∴； （2）解：∵，∴， 而，∴， ∵，，∴， ∴. 【点睛】本题考查旋转的综合运用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质是解题关键． 20. 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F． （1）试说明DF是⊙O的切线； （2）若AC=3AE，求tanC． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，根据等边对等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，得出∠ODB=∠C，证得OD∥AC，证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线； （2）连接BE，AB是直径，∠AEB=90°，根据勾股定理得出BE=2AE，CE=4AE，然后在Rt△BEC中，即可求得tanC的值． 【详解】（1）连接OD， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴DF是⊙O的切线； （2）连接BE， ∵AB是直径， ∴∠AEB=90°， ∵AB=AC，AC=3AE， ∴AB=3AE，CE=4AE， ∴BE=， 在RT△BEC中，tanC=． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理的应用以及三角函数的应用等，是一道综合题，难度中等． 21. 如图，一个盛了水的长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边点A处向水面上的点O入射，折射后照到水槽底部的点D，已知，测得，，水槽高，，若A，O，B三点在同一条直线上（直线为法线，为入射光线，为折射光线），请依据相关材料回答以下问题： （1）求的长. （2）求点B，D之间的距离（结果精确到）.（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）的长约为 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，等腰直角三角形的判定与性质，理解题意是关键； （1）证明，，利用，结合三角函数求解即可； （2）证明，可得，再进一步解答即可； 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴. 22. 如图，抛物线 经过点，与轴相交于，两点， （1）抛物线的函数表达式； （2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标； （3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式. 【答案】（1）；（2）点坐标为点的坐标为；（3）直线的函数表达式为或. 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法确定函数关系式即可求解； （2）设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，. 由翻折得，求出CH’的长，可得，求出DH的长，则可得D的坐标； （3）由题意可知为等边三角形，分两种讨论①当点在轴上方时，点在轴上方，连接，，证出，可得垂直平分，点在直线上，可求出直线的函数表达式；②当点在轴下方时，点在轴下方，同理可求出另一条直线解析式. 【详解】（1）由题意，得 解得 抛物线的函数表达式为. （2）抛物线与轴的交点为， ，抛物线的对称轴为直线. 设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，. 上翻折得. 在中，由勾股定理，得.’ 点的坐标为，. . 由翻折得. 在中，. 点的坐标为. （3）取（2）中的点，，连接. ，. 为等边三角形， 分类讨论如下： ①当点在轴上方时，点在轴上方. 连接， ，为等边三角形， ，，. ， . , 点在抛物线的对称轴上， ， ， 又， 垂直平分. 由翻折可知垂直平分. 点在直线上， 设直线的函数表达式为， 则解得 直线的函数表达式为. ②当点在轴下方时，点在轴下方. ，为等边三角形， ，，. . . . ， . . 设与轴相交于点. 在中，. 点的坐标为， 设直线的函数表达式为， 则解得 直线的函数表达式为. 综上所述，直线的函数表达式为或. 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、三角函数、等边三角形的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期质量检测（C） 九年级数学 考试范围：21－29章 说明：1.本试卷6页，满分120分 2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效 一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，则方程可化为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. “打开电视机，正在播放新闻联播”是不可能事件 B. “明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间要下雨 C. “水能载舟，亦能覆舟”是必然事件 D. 小明的数学测试成绩前几次都在90分以上，这次也一定在90分以上 4. 把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 5. 如图，由6个小正方体搭建而成的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（ ） A. 圆形铁片的半径是4cm B. 四边形AOBC为正方形 C. 弧AB的长度为4πcm D. 扇形OAB的面积是4πcm2 8. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有n个．随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀．经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A. 图象经过点（2，﹣1） B. 图象位于第二、四象限 C. 当 x＜0 时，y随 x的增大而减小 D. 当 x＞0 时，y 随 x的增大而增大 11. 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为米，点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米，则的半径长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 12. 抛物线（是常数），，顶点坐标为.给出下列结论：①若点与点在该抛物线上，当时，则；②关于的一元二次方程无实数解，那么（ ） A. ①正确，②正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①错误，②错误 二、填空题（本题共计3题，每题4分，共计12分） 13. 方程的根为__________ 14. 已知是锐角，且，则为______°. 15. 由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为______，周长为______． 三、解答题（本题共计7题，共计72分） 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）请你给赋一个值，并求此时方程的根． 17. 为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A,B,C三类分别装袋,投放，其中A类指废电池,过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料,废纸等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类． (1)直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率； (2)求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（a，b为常数，且）与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点、． （1）求反比例函数与一次函数的解析式． （2）连接OA、OB，求△AOB的面积． （3）直接写出当时，自变量x的取值范围． 19. 中，，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，，它们交于点． （1）求证：． （2）当，求的度数． 20. 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F． （1）试说明DF是⊙O的切线； （2）若AC=3AE，求tanC． 21. 如图，一个盛了水的长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边点A处向水面上的点O入射，折射后照到水槽底部的点D，已知，测得，，水槽高，，若A，O，B三点在同一条直线上（直线为法线，为入射光线，为折射光线），请依据相关材料回答以下问题： （1）求的长. （2）求点B，D之间的距离（结果精确到）.（参考数据：，，） 22. 如图，抛物线 经过点，与轴相交于，两点， （1）抛物线的函数表达式； （2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标； （3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $