专题11分式题型突破讲义（3）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练+寒假预习讲义)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题11分式题型突破讲义（3） 基础 过关题 1.分式方程的定义 2.分式方程的解法 3.依据分式方程解的情况求值 能力 提升题 4.分式方程无解问题 5.分式方程的行程问题 6.分式方程的工程问题 7.分式方程的经济问题 拓展 拔高题 8.列分式方程解决问题 9.分式方程的和差倍分问题 10.分式方程的其他实际问题 1. 分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程； 注:区分整式方程（分母仅含常数）与分式方程的关键——分母是否含未知数 2. 分式方程的解法（核心：化分式为整式） 基本思路：去分母，将分式方程转化为已学的一元一次方程求解，步骤为 “一化、二解、三验、四答”。 (1)化整：方程两边同乘所有分母的最简公分母，消去分母得整式方程；注：最简公分母找法 —— 系数取最小公倍数，字母取所有因式的最高次幂。 (2)求解：解转化后的整式方程（一元一次方程），求出未知数的值； (3)检验（必做步骤，不可省略）：把整式方程的解代入最简公分母，若公分母≠0，是原分式方程的解；若公分母 = 0，是增根，原分式方程无解； (4)作答：写出原分式方程的解（或说明无解）。 3. 增根的概念与成因 增根定义：解分式方程时，去分母后得到的整式方程的解，使原分式方程的分母为 0，这个解叫做原分式方程的增根； 增根成因：去分母时方程两边同乘了含有未知数的整式（最简公分母），若该整式为 0，相当于方程两边同乘 0，改变了方程的解的范围，产生增根。 4. 分式方程的应用 解题步骤（与一元一次方程应用一致，新增检验环节）： (1)审：审清题意，找出已知量、未知量和等量关系； (2)设：设未知数（直接设或间接设），带单位； (3)列：根据等量关系列出分式方程； (4)解：解这个分式方程； (5)验：双重检验——①检验是否为分式方程的解（公分母≠0）；②检验解是否符合实际问题的意义； (6)答：写出答案，带单位。 常见题型：行程问题（路程 = 速度 × 时间）、工程问题（工作总量 = 工作效率 × 工作时间）、销售问题、比例分配问题等，核心是根据量的关系列分式方程。 5. 易错核心提醒 (1)解分式方程必须检验，仅解整式方程不检验会遗漏增根； (2)去分母时，方程两边的每一项都要乘最简公分母，包括不含分母的常数项（易漏乘）； (3)含括号的分式方程，去分母后注意去括号的符号变化； (4)实际应用中，检验解的实际意义是关键（如速度、人数不能为负）。 【题型1.分式方程的定义】 1．在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是分式方程； B、它不是分式方程； C、它是分式方程； D、它不是分式方程． 故选：C 2．下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 【答案】④⑤⑥⑦⑨ 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】①是整式方程，故①不符合题意； ②是整式方程，故②不符合题意； ③是整式方程，故③不符合题意； ④是分式方程，故④符合题意； ⑤是分式方程，故⑤符合题意； ⑥是分式方程，故⑥符合题意； ⑦是分式方程，故⑦符合题意； ⑧是整式方程，故⑧不符合题意； ⑨是分式方程，故⑨符合题意； 故答案为：④⑤⑥⑦⑨． 【点睛】本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键． 3．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【详解】解：去分母，得， 解得， ∵方程的解是负数， ∴，且， ∴，且． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题关键是要掌握分式方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解． 【题型2.分式方程的解法】 4．关于x的分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的求解，按照求解步骤并验证解是解决本题的关键 ． 先将分式方程去分母变成整式方程，按照整式方程的求法求出未知的值，再验证即可 ． 【详解】解：分式方程为， 去分母：， 去括号：， 移项合并同类项：， 检验：当时，， 所以原方程的解为 ． 故答案为： ． 5．解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解分式方程；先确定分式的最简公分母为，并注意，然后等式两边同时乘以去分母． 【详解】解：原方程化为：， 两边同乘：， 即． 故选：B． 6．若，如．按照上述运算法则，若，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解分式方程，根据新定义运算得出，进而解方程，并检验，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 7．方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，通过观察分母关系，将方程化简为整式方程求解，并验证分母不为零，即可得到答案． 【详解】解：， 原方程可化简为：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 则是原方程的解． 故选：C． 解答题 8．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解． （2）解：， 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解． 【题型3.依据分式方程解的情况求值】 9．已知分式方程的解为，则a的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了分式方程解的意义，将代入分式方程即可得出答案． 【详解】解：∵分式方程的解为， ∴， 解得：， 故答案为：7． 10．若关于x的分式方程有增根，则实数a的值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根，分式方程的增根是使分母为零的解．原方程分母为和，故增根可能为或，将方程转化为整式方程后，解出的表达式，再代入可能的增根求解的值． 【详解】解： 去分母得，， 整理得，， 解得，， ∵关于x的分式方程有增根， ∴或， 当增根为，则，解得； 当增根为，则，方程无解，舍去； ∴综上所述，实数a的值为 故选：B． 11．已知关于的分式方程． （1）当 时，该方程的解等于4； （2）当该方程的解是正数时，则的取值范围是 ． 【答案】 0 且 【分析】本题考查了分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解法和分式方程有解的条件． （1）将代入分式方程，通过解方程求出的值． （2）先解分式方程，再根据方程的解是正数且分母不为0，求出的取值范围． 【详解】解：（1）将代入分式方程，得到， 解得； （2）方程两边同乘去分母得， 解得， 因为方程的解是正数， 所以，解得， 又因为分母不能为0，即，所以，解得， 综上，的取值范围是且． 故答案为：0；且． 12．若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解． 【详解】解：∵方程的分母， ∴两边同乘，得， 化简得， 移项得， 当，即时，方程无解， ∴， 当时，， 又∵分母不为零，需且， 检验：恒成立， 检验：，解得，即， ∴且， 故选：A． 解答题 13．已知分式方程． (1)当取何值时，方程的解为正数？ (2)当取何值时，方程无解？ 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查分式方程：将分式方程去分母整理为，然后： （1）方程的解为正数，则解为正数且不为增根4，据此列出不等式组求解即可； （2）分为0和不为0两种情况讨论即可． 【详解】（1）去分母得： 整理得：． ∵方程的根为正数， ∴且， 解得：且； （2）分式方程化为：， ∵方程无解， ∴方程有增根或等式不成立， ①当方程有增根时，即， 即， ∴， ②当时，等式不能成立， ∴， 综上所述，a的值为． 【题型4.分式方程无解问题】 14．如果关于x的方程无解，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式方程的知识，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．解分式方程，根据其无解，得出，即可得到答案． 【详解】方程去分母，得：， ∴， ∵关于x的方程无解， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2． 15．若关于的方程的增根是，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，先根据解分式方程的方法，得出，再根据分式方程的增根是，由此可得，即可求出a的值． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得，即， ∵分式方程的增根是， ∴， 解得：． 故选：A． 16．已知关于的方程 （1）若，则方程的解是 ． （2）若方程无解，则a的值是 ． 【答案】 1或2 【分析】本题考查解分式方程，分式方程无解的情况，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）利用去分母将原方程化为，整理得，将代入解得x的值后进行检验即可； （2）由（1）所得结果可得，然后根据题意分类讨论即可． 【详解】解：（1）原方程去分母得：， 整理得， 若， 则， 解得：， 经检验，是该方程的解， 故答案为：； （2）由（1）得， 则， 当，即时， 无解， 那么原方程无解，符合题意， 当，即时， 若原方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 综上，a的值为1或2， 故答案为：1或2． 17．若关于 的分式方程 无解，则 的值为（    ） A．0 B．3 C．1 或 D．0 或 1 或 【答案】C 【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可． 【详解】解：， 分式方程两边同乘以得： ， ， 要使原分式方程无解，则有以下两种情况： 当时，即，整式方程无解，原分式方程无解． 当时，则， 令最简公分母为0，即 解得 ∴当，即时，原分式方程产生增根，无解． 综上所述可得：或时，原分式方程无解． 故选：C． 解答题 18．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值． 【答案】(1) (2)a的值为3 【分析】本题考查了分式方程的增根和分式方程的解，理解分式方程有增根和解的含义是解题的关键． （1）把代入方程计算，即可求出a的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到或，代入整式方程计算即可求出a的值． 【详解】（1）解：分式方程的根是， ， 解得； （2）去分母得， 整理得， 分式方程有增根， 或， 当时，，此时不存在a的值； 当时，，解得， 综上，a的值为3． 【题型5.分式方程的行程问题】 19．中国高铁目前是世界高铁的领跑者，无论里程和速度都是世界最高的．郑州、北京两地相距约，乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍，设特快列车的平均行驶速度为，则下面所列方程中正确（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设特快列车的平均行驶速度为，则高铁列车的平均行驶速度是，根据“郑州、北京两地相距约，乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用”，即可求解． 【详解】解：设特快列车的平均行驶速度为，则高铁列车的平均行驶速度是，根据题意得： ． 故选：A 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 20．《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天，可列分式方程 ． 【答案】 【分析】本题考查列分式方程，设规定的时间为x天，根据“慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍”列方程即可． 【详解】解：设规定的时间为x天，列方程为：， 故答案为：． 解答题 21．深秋的上海佘山清美如画，小沪和小申都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去佘山爬山赏景，挑战西佘山主峰．小沪沿北线步道上山，小申沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小沪比小申每小时少走，结果小沪和小申到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时． 【答案】小沪走完步道全程用了小时，小申走完步道全程用了小时 【分析】设小沪走完步道全程用了小时，则小申走完步道全程用了小时，由此列式求解即可本题主要考查分式的运用，理解数量关系，掌握分式解实际问题的方法是解题的关键． 【详解】解：设小沪走完步道全程用了小时，则小申走完步道全程用了小时， 可列方程：， 化简得：， ， 解得：， 检验：时，且 ∴原分式方程的解为， ∴， 答：小沪走完步道全程用了小时，小申走完步道全程用了小时． 【题型6.分式方程的工程问题】 22．某河道绿化工程由甲、乙两工程队合作完成．已知甲工程队每天完成米，共完成了米，用时天：乙工程队每天完成米，共完成了米，用时天．若，则 ．（用含，的最简分式表示） 【答案】 【分析】先表示出，再根据即可用含的式子表示出s．本题主要考查了列代数式（分式），能根据题意用含的式子表示出s是解题的关键． 【详解】∵甲工程队每天完成a米，共完成了s米，用时天， ∴； 同理可得，． ∵， ∴， 整理得，． 故答案为：． 23．为解决供水问题需铺设一条长2400米的管道，实际施工时……．设实际每天铺设管道米，可得方程．根据此情景，题中用“……”表示的缺失条件为（   ）． A．每天比原计划少铺设20米，结果延期6天完成 B．每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成 C．每天比原计划少铺设6米，结果延期20天完成 D．每天比原计划多铺设6米，结果提前20天完成 【答案】B 【分析】本题考查分式方程解应用题，根据方程的结构，分析原计划与实际施工的关系，原计划每天铺设米，实际每天铺设米，因此实际每天比原计划多铺设20米，从而确定缺失条件，即可得到答案，看懂分式方程，读懂题意是解决问题的关键． 【详解】解：方程中，分母和分别表示原计划与实际每天铺设的管道长度，原计划时间为，实际时间为，方程左边为原计划时间减去实际时间等于6，说明实际比原计划提前6天完成， 综上所述，缺失条件为“每天比原计划多铺设米，结果提前天完成”， 故选：B． 解答题 24．习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，区委区政府积极响应对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务． (1)求原计划每天铺设路面多少米？ (2)若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？ 【答案】(1)原计划每天铺设路面80米 (2)完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元 【分析】此题考查了分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键． （1）设原计划每天铺设路面x米，根据共用13天完成道路改造任务列方程并解方程即可； （2）分别计算出提高工作效率前和提高工作效率后的天数，根据每天支付给工人的工资计算即可． 【详解】（1）解：设原计划每天铺设路面x米， 由题意可得，， 解得：， 经检验：是方程的解， 答：原计划每天铺设路面80米； （2）由（1）得， （天），（天）， ∴总费用为：， 答：完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元． 【题型7.分式方程的经济问题】 25．某商品利润是32元，利润率为，则此商品的进价是 ． 【答案】200 【分析】该题考查了分式方程，根据利润率的定义，利润率利润进价，已知利润为32元，利润率为，可通过公式变形求进价． 【详解】解：设进价为元， 由利润率公式得， 即． 解得：． 故答案为：200． 26．某同学第一次到奶茶店花15元买奶茶，第二次再去买时，恰好该奶茶店搞优惠酬宾活动，同样奶茶每杯比原来便宜1元，结果该同学比上次少花了1元，却比上次多买了2杯奶茶．若设他第一次买了x杯奶茶，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的实际应用；根据题目中的等量关系列出对应的方程是解题关键． 根据题意，第一次购买x杯奶茶花费15元，单价为元/杯；第二次购买时，单价降低1元，即元/杯，购买数量增加2杯，即杯，总花费减少1元，即14元，据此列方程并变形，与选项对比． 【详解】∵ 第二次单价为元/杯，数量为杯，总花费为元， ∴ 方程为， 变形得， 即． 故选：B． 解答题 27．为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代，经测算，升级1条甲类生产线比升级1条乙类生产线需多投入5万元，用120万元升级甲类生产线的条数和用100万元升级乙类生产线的条数相同，求升级1条甲类、乙类生产线各需投入的资金． 【答案】升级1条甲类生产线需投入30万元，升级1条乙类生产线需投入25万元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 设升级1条乙类生产线需投入万元，则升级1条甲类生产线需投入万元，根据用120万元升级甲类生产线的条数和用100万元升级乙类生产线的条数相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设升级1条乙类生产线需投入万元，则升级1条甲类生产线需投入万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （万元）． 答：升级1条甲类生产线需投入30万元，升级1条乙类生产线需投入25万元． 【题型8.列分式方程解决问题】 28．劳动教育是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．某校积极响应，开设校园农场．七年级学生共收获农产品，八年级学生共收获农产品，已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，七年级学生人数是八年级学生人数的1.5倍．求七、八年级各有多少名学生．若设八年级有x名学生，则可列分式方程为 ． 【答案】 【分析】根据题设，得出七年级有1.5x名学生，再表示出每个年级人均收获农产品的数量，根据八年级比七年级人均多建立方程． 【详解】解：若设八年级有x名学生，则七年级有1.5x名学生， 八年级人均收获农产品为， 七年级人均收获农产品为， 已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品， 则有． 故答案为：． 【点睛】此题考查了列分式方程，解题的关键是理清题目中的数量关系． 29．A、B两地相距180千米，甲车和乙车的平均速度之比为，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设甲车平均速度为千米/小时，则乙车平均速度为千米/小时，根据两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟列出方程即可． 【详解】解：设甲车平均速度为千米/小时，则乙车平均速度为千米/小时， 根据题意得，． 故选：B． 解答题 30．据报道：阿尔法狗(AlphaGo)是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠军的人工智能程序（其主要工作原理是“深度学习”），堪称人工智能发展的一个重要里程碑，也让全世界的目光聚焦在人工智能这个热门科技领域．目前人工智能应用非常广泛，其中，机器人的需求日益增大，请根据以下情境解决问题： 某工厂采用A型、B型两种机器人代替人力搬运危险产品．A型机器人比B型机器人每小时多搬运10kg产品，A型机器人搬运800kg所用时间与B型机器人搬运600kg产品所用时间相等．问B型机器人每小时搬运多少kg产品？ 根据以上信息，解答下列问题． (1)小佳同学设B型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为　 　； 小惠同学设A型机器人搬运800kg所用时间为y小时，可列方程为　 　； (2)请你选择（1）中两位同学的其中一种解题思路或自己另想一种思路，写出完整的解答过程，解决问题． 【答案】(1)， (2)B型机器人每小时搬运30kg产品 【分析】（1）小佳同学的解法根据时间相等建立等量关系，小惠同学的解法根据搬运的速度相差10千克建立等量关系； （2）从（1）中任选一种或另做解法解答出答案即可． 【详解】（1）解：小佳同学设B型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为：； 小惠同学设A型机器人搬运800kg所用时间为y小时，可列方程为：； 故答案为：， （2）设B型机器人每小时搬运xkg产品，根据题意可得： ，解得：x＝30， 经检验得：x＝30是原方程的解，且符合题意. 答：B型机器人每小时搬运30kg产品． 【点睛】本题考查分式方程的建立和求解，找到等量关系是本题关键． 【题型9.分式方程的和差倍分问题】 31．不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的一些白乒乓球和12个黄乒乓球，若随机从袋子中摸出一个乒乓球是黄色的概率为，则袋子中总共有 个白乒乓球． 【答案】6 【分析】设袋子中有m个白色乒乓球，根据黄色的概率为，列方程求解即可． 【详解】解：设袋子中有m个白色乒乓球，由题意得， ， 解得m=6， 经检验，m=6是原方程的解， ∴袋子中总共有6个白乒乓球． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 32．为了估计池塘里有多少条鱼，先从湖里捕捞条鱼做上标记，然后放回池塘去，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕捞条鱼，发现有2条有标记，那么你估计池塘里有多少条鱼（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，样本估计总体，解题关键是列出分式方程求解． 根据标记鱼的比例在样本中的比例等于在总体中的比例建立分式方程求解． 【详解】解：设池塘中鱼的总数为条， 可得方程：， 解得：， 因此，池塘中鱼的总数估计为条， 故选：C． 解答题 33．随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少． (1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 【答案】(1)甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食 (2)甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键． （1）设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克，根据甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少建立方程求解即可； （2）设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食，根据甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克， 由题意得 解得， ， 答：甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食； （2）解：设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食． 【题型10.分式方程的其他实际问题】 34．在电路的探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻满足；如图②，在并联电路中，总电阻满足．如图③，已知，，总电阻为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，根据题中串并联电路的电阻公式正确列出方程是解题的关键． 由题意得，解方程即可求出的值．切记，勿忘检验． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ， 故答案为：． 35．我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云缕、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文．问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有尺，则可得方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意，绫布和罗布总长丈（即尺），设绫布有尺，则罗布有尺，绫布和罗布分别出售均收入文，因此每尺绫布价格为文，每尺罗布价格为文，根据“每尺绫布和罗布共值120文”的条件，即可列方程． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布有尺， 根据题意可得： 故选：B． 解答题 36．某景区计划用160万元资金采购若干机器狗和无人机运送货物．已知购进2只机器狗和3台无人机需54万元，购进4只机器狗和1台无人机需58万元． (1)求机器狗和无人机的采购单价． (2)满载情况下，每只机器狗比每台无人机单次多载，运送货物所需的机器狗数量恰好与运送货物所需的无人机数量相同，求机器狗和无人机的单次最高载货量． (3)若两种设备均要采购且资金恰好全部用完，请根据上述信息列出所有的采购方案．并通过计算说明哪种方案的单次载货总量最高． 【答案】(1)机器狗的采购单价为12万元，无人机的采购单价为10万元 (2)机器狗的单次最高载货量为，无人机的单次最高载货量为 (3)共有两种采购方案：方案一，购买5只机器狗，10台无人机；方案二、购买10只机器狗，4台无人机；方案二的单次载货总量最高 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用，正确理解题意列出方程和方程组是解题的关键． （1）设机器狗的采购单价为x万元，无人机的采购单价为y万元，根据购进2只机器狗和3台无人机需54万元，购进4只机器狗和1台无人机需58万元建立方程组求解即可； （2）设机器狗的单次最高载货量为，则无人机的单次最高载货量为，根据运送货物所需的机器狗数量恰好与运送货物所需的无人机数量相同建立方程求解即可； （3）设购买a只机器狗，购买b台无人机，根据总费用为160万元建立方程，求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：设机器狗的采购单价为x万元，无人机的采购单价为y万元， 由题意得，， 解得， 答：机器狗的采购单价为12万元，无人机的采购单价为10万元； （2）解：设机器狗的单次最高载货量为，则无人机的单次最高载货量为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：机器狗的单次最高载货量为，无人机的单次最高载货量为； （3）解：设购买a只机器狗，购买b台无人机， 由题意得，， ∴， ∵a、b都是正整数， ∴当时，， 当时，， ∴共有两种采购方案：方案一，购买5只机器狗，10台无人机；方案二、购买10只机器狗，4台无人机； 方案一的单次最高载货量为， 方案二的单次最高载货量为， ∵， ∴方案二的单次载货总量最高， 答：共有两种采购方案：方案一，购买5只机器狗，10台无人机；方案二、购买10只机器狗，4台无人机；方案二的单次载货总量最高． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题11分式题型突破讲义(3) 01 题型梳理 基础 1.分式方程的定义 2.分式方程的解法 过关题 3.依据分式方程解的情况求值 能力 4.分式方程无解问题 5.分式方程的行程问题 提升题 6.分式方程的工程问题 7.分式方程的经济问题 拓展 8.列分式方程解决问题 9.分式方程的和差倍分问题 拔高题 10.分式方程的其他实际问题 02 重点内容 1. 分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程； 注：区分整式方程（分母仅含常数）与分式方程的关键一一分母是否含未知数 2.分式方程的解法（核心：化分式为整式） 基本思路：去分母，将分式方程转化为已学的一元一次方程求解，步骤为“ 化、二解、三验、四答”。 )化整：方程两边同乘所有分母的最简公分母，消去分母得整式方程；注：最 简公分母找法— 系数取最小公倍数，字母取所有因式的最高次幂。 2)求解：解转化后的整式方程（一元一次方程），求出未知数的值： (3)检验（必做步骤，不可省略）：把整式方程的解代入最简公分母，若公分母 0,是原分式方程的解；若公分母=0，是增根，原分式方程无解； (④作答：写出原分式方程的解（或说明无解）。 3. 增根的概念与成因 增根定义：解分式方程时，去分母后得到的整式方程的解，使原分式方程的分 母为0，这个解叫做原分式方程的增根； 试卷第1页，共3页 增根成因：去分母时方程两边同乘了含有未知数的整式（最简公分母），若该 整式为0，相当于方程两边同乘0，改变了方程的解的范围，产生增根。 4. 分式方程的应用 解题步骤（与一元一次方程应用一致，新增检验环节）： ①审：审清题意，找出已知量、未知量和等量关系 ②)设：设未知数（直接设或间接设），带单位： (3)列： 根据等量关系列出分式方程： (④)解： 解这个分式方程； (⑤验：双重检验 ①检验是否为分式方程的解（公分母≠0）；②检验解是否 符合实际问题的意义： ⑥答：写出答案，带单位。 常见题型：行程问题（路程-速度×时间）、工程问题（工作总量=工作 效率×工作时间)、销售问题、比例分配问题等，核心是根据量的关系列分 式方程。 5. 易错核心提醒 (1)解分式方程必须检验，仅解整式方程不检验会遗漏增根： (2)去分母时，方程两边的每一项都要乘最简公分母，包括不含分母的常数项（易 漏乘)； (3)含括号的分式方程，去分母后注意去括号的符号变化： (4)实际应用中，检验解的实际意义是关键（如速度、人数不能为负）。 基础过关题 【题型1.分式方程的定义】 1,在下列方程中，分式方程是() A.41=2 B.xH=2 3-2 3 C. 3 3 x+ D.2 2.下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 (只填序号) ①ar+b-5:②2K+b)+2=+5, ④，2x=2⑤1+1=2-3 2 4 ③m++2=m-x. a 2x-1x ©a+b-a+b,@上1=b:⑧-b=2++b,⑨-n++m=2. x a a x b x a x+m x-n 试卷第1页，共3页 3.关于的方程4-1 =1的解是负数，则a的取值范围是() x+1 A.a<2 B.a>1 C.a>1,且a≠2D.a<2,且a≠1 【题型2.分式方程的解法】 4.关于x的分式方程3=2的解为。 x-1 x 5.解分式方程1,2=】-时，去分母正确的是() x-21 2-x A.1-2x-2)=1+x B.1-2x-2=-1+x C.1-2x-2=-1-x D.-1+2(2-x=1+x 6.若a※b=ab-b,如3※2=3×2-2=4. 按照上述运算法则，若1※2.1 -2+2-2,则 x的值为 7.方程，x 5 =1的解为() 2x-33-2x A.x=1 B.x=-1 C.x=-2 D.x=2 解答题 8.解方程： (1) 1=2 2xx+3 2)3 3 +1= x-2 Γ2-x 【题型3.依据分式方程解的情况求值】 9.已知分式方程5，+1=+5的解为x=3,则a的值为 x+2x+2 10.若关于x的分式方程+a-1=3有增根，则实数a的值为() x-1 A.-2 B.-1 C.0 D.1 1.已知关于x的分式方程+3，x+1 -330. （1)当a=时，该方程的解等于4； (2)当该方程的解是正数时，则a的取值范围是 卫若关于x的分式方程，车2》4有解，则长搭满足的条件是() A.k本-1且k≠一4 .3 B.k1且k≠-】 试卷第1页，共3页 C.k1且k*3 3 4 D.k≠-1且k≠ 解答题 1B.已知分式方程42+ x-4 (1)当a取何值时，方程的解为正数？ (2)当a取何值时，方程无解？ 能力提升题 【题型4.分式方程无解问题】 4如果关于x的方程。”大二0无解，则m的雁是一 15.若关于的方程上+2=a的增根是x=-1,则4的值为《） x'x+1 x2+x A.-2 B.-3 C.2 D.3 2 *1 16.已知关于x的方程x= (1)若a=3,则方程的解是」 (2)若方程无解，则a的值是」 17.若关于x的分式方程x +3a -33-x =2a无解，则a的值为() A.0 B.3 C.1或 D.0或1或 解答题 18.已知关于x的分式方程x+0-6=1. x+3 x (1)若分式方程的根是x=2,求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值 【题型5.分式方程的行程问题】 19.中国高铁目前是世界高铁的领跑者，无论里程和速度都是世界最高的.郑州、北京两地 相距约700km,乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用3.6h,己知高铁列车的平均行 驶速度是特快列车的2.8倍，设特快列车的平均行驶速度为xk/h,则下面所列方程中正确 () A. 700_700=3.6 B. 700_700=3.6 x2.8x 2.8xx 试卷第1页，共3页 C. 700×2.8_700=3.6 D. 700=3.6-700 2.8x 20.《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里.慢马较限期多一 日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍.问限期几何？原题译成白话文：现在有驿 使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快 马的速度是慢马的2倍.问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天，可列分式方程 解答题 21.深秋的上海佘山清美如画，小沪和小申都是登山爱好者.金秋十月，两人相约去佘山爬 山赏景，挑战西佘山主峰.小沪沿北线步道上山，小申沿南线步道上山，北线步道长度为 1500m,南线步道长度为2950m,两人分别从各自步道起点同时出发，小沪比小申每小时 少走200m,结果小沪和小申到达各自步道终点所用的时间之比是3：5，求两人走完各自步 道全程分别用了多少小时. 【题型6.分式方程的工程问题】 22.某河道绿化工程由甲、乙两工程队合作完成.已知甲工程队每天完成Q米，共完成了s米， 用时天：乙工程队每天完成b米，共完成了2s米，用时m2天.若m1+m2=30,则 S= ,(用含a,b的最简分式表示) 23.为解决供水问题需铺设一条长2400米的管道，实际施工时...·设实际每天铺设管道 x米，可得方程2402400=6.根据此情景，题中用…”表示的缺失条件为(. x-20x A.每天比原计划少铺设20米，结果延期6天完成 B.每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成 C.每天比原计划少铺设6米，结果延期20天完成 D.每天比原计划多铺设6米，结果提前20天完成 解答题 24.习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，区委区政府积极 响应对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面.铺设400 米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用13天完 成道路改造任务， (1)求原计划每天铺设路面多少米？ 试卷第1页，共3页 (2)若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长 了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？ 【题型7.分式方程的经济问题】 25.某商品利润是32元，利润率为16%，则此商品的进价是 26.某同学第一次到奶茶店花15元买奶茶，第二次再去买时，恰好该奶茶店搞优惠酬宾活 动，同样奶茶每杯比原来便宜1元，结果该同学比上次少花了1元，却比上次多买了2杯奶 茶.若设他第一次买了x杯奶茶，根据题意可列方程为() A.15=15-1B.15-1=15-C.152=151-1D.15-=15-}+2 xx+2 x+2 x+2 x x x-1 解答题 27.为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代， 经测算，升级1条甲类生产线比升级1条乙类生产线需多投入5万元，用120万元升级甲类 生产线的条数和用100万元升级乙类生产线的条数相同，求升级1条甲类、乙类生产线各需 投入的资金. 拓展拔高题 【题型8.列分式方程解决问题】 28.劳动教育是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动，某校 积极响应，开设校园农场.七年级学生共收获农产品1800kg,八年级学生共收获农产品 1440kg,己知八年级学生比七年级学生人均多收获1kg农产品，七年级学生人数是八年级学 生人数的1.5倍.求七、八年级各有多少名学生.若设八年级有x名学生，则可列分式方程 为一 29.A、B两地相距180千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A地出发到 B地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为4x千米小时， 则所列方程是() A.180.180=30 1801801 B. 4x 5x 4x5x2 C.180_1801 5x4x=2 D. 180,180=30 4x 5x 解答题 30.据报道：阿尔法狗(AlphaGo)是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠 试卷第1页，共3页 军的人工智能程序（其主要工作原理是“深度学习”），堪称人工智能发展的一个重要里程碑， 也让全世界的目光聚焦在人工智能这个热门科技领域.目前人工智能应用非常广泛，其中， 机器人的需求日益增大，请根据以下情境解决问题： 某工厂采用A型、B型两种机器人代替人力搬运危险产品.A型机器人比B型机器人每小时 多搬运10kg产品，A型机器人搬运800g所用时间与B型机器人搬运600kg产品所用时间 相等.问B型机器人每小时搬运多少g产品？ 根据以上信息，解答下列问题 (1)小佳同学设B型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为： 小惠同学设A型机器人搬运800kg所用时间为y小时，可列方程为一： (2)请你选择(1)中两位同学的其中一种解题思路或自己另想一种思路，写出完整的解答过 程，解决问题. 【题型9.分式方程的和差倍分问题】 31.不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的一些白乒乓球和12个黄乒乓球，若随机从袋 子中摸出一个乒乓球是黄色的概率为了，则袋子中总共有—个白乒乓球， 32.为了估计池塘里有多少条鱼，先从湖里捕捞100条鱼做上标记，然后放回池塘去，经过 一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕捞50条鱼，发现有2条有标记， 那么你估计池塘里有多少条鱼() A.1500条 B.2000条 C.2500条 D.3000条 解答题 33.随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及.物流园某仓库运用甲、乙两种机器人 搬运粮食共1900kg,甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少 200kg ()甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (②)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的1.2倍，结果甲种机器人完成搬运任务的 时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 【题型10.分式方程的其他实际问题】 34.在电路的探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足 RR+及：如网2，在并联电路中，总电阻R满足日+定如图@，已知风=12。 试卷第1页，共3页 R=42,总电阻为122，则R2=2 图① 图② 图③ 35.我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六 文，只云缕、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布 和罗布长共3丈(1丈=10尺)，已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，每尺绫布和每 尺罗布一共需要120文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为 () 896896 A. =120 B. 896+896=120 30-xx x30-x C. 896,896 =120 896896 D. =120 x30+x 30+x30-x 解答题 36.某景区计划用160万元资金采购若干机器狗和无人机运送货物.已知购进2只机器狗和 3台无人机需54万元，购进4只机器狗和1台无人机需58万元. (1)求机器狗和无人机的采购单价. (2)满载情况下，每只机器狗比每台无人机单次多载25kg,运送400kg货物所需的机器狗数 量恰好与运送150kg货物所需的无人机数量相同，求机器狗和无人机的单次最高载货量， (③)若两种设备均要采购且资金恰好全部用完，请根据上述信息列出所有的采购方案，并通 过计算说明哪种方案的单次载货总量最高 试卷第1页，共3页