精品解析：江苏徐州市2025—2026学年 第一学期期末抽测九年级数学试题

2025~2026学年度第一学期期末抽测 九年级数学试题 （本卷共4页，满分为140分，考试时间为90分钟；答案全部涂、写在答题卡上） 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得点数为奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 若2x＝5y，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 关于二次函数图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 7. 小明参加基础知识、建模能力、思维能力三项测试，其成绩（百分制）依次为85分、90分、92分，对基础知识、建模能力、思维能力分别赋权2，3，5，计算小明的平均成绩，所得结果为（ ） A. 85 B. 89 C. 90 D. 92 8. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，为格点三角形，，与格线分别交于点，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 1 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 方程x2﹣2x=0的解为_____________ 10. 两地的实际距离是，图上距离为，这幅地图的比例尺为___________． 11. 将函数的图象向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________． 12. 如图，若自动扶梯的长度，倾斜角为，则提升高度为___________． 13. 如图，四边形内接于，若，则为___________． 14. 二次函数的图象经过点和，其表达式为___________． 15. 如图，点，是线段的黄金分割点，若，则线段的长为___________． 16. 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图所示，这枚古钱币的直径为______． 三、解答题（本大题有9小题，共84分） 17. （1）计算； （2）解方程． 18. 甲、乙两人5次射击的成绩（环数）如下： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 （1）填表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 ________ 8 0.4 乙 ________ 9 ________ 3.2 （2）根据这5次成绩推荐1人参加射击比赛，应该推荐谁？为什么？ （3）若乙第6次射击命中8环，则乙6次成绩的方差较前5次成绩的方差___________．（填“变大”、“变小”或“不变”） 19. 云龙山共有三个主要入口，分别是北门、西门和东门．甲、乙两人分别从中选择一个入口登山，且选择各入口的机会相等． （1）甲从北门登山的概率为___________； （2）用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择同一入口登山的概率． 20. 如图，将长、宽的矩形花坛（阴影部分）向外扩建相同的距离，若扩建后的矩形花坛的面积为，求扩建后矩形花坛的长度与宽度． 21. 如图，是的直径，是的弦，是的切线，为切点，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 22. 某商店以每本40元的价格购进一批“汉风徐州”拓片纪念册，由试销知，每天的销量（本）是每本售价（元）的一次函数，且满足下表： 售价（元） 50 60 65 销量（本） 100 80 70 （1）求关于的函数表达式； （2）每本售价多少元才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？（毛利润=售价-进价） 23. 如图，为测量观景台距离地面的高度，小明在地面处测得的仰角为，他在平地上沿正对观景台的方向前进至处，测得的仰角为．若测角仪的高度忽略不计，，求观景台距离地面的高度（精确到）． （参考数据：，） 24. 用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图1中，作的内接正三角形； （2）在图2中，作的内接正三角形，使的一边经过内的点． 25. 已知：如图，的角平分线、交于点，过点的直线分别与交于点，且，连接．求证： （1）； （2）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末抽测 九年级数学试题 （本卷共4页，满分为140分，考试时间为90分钟；答案全部涂、写在答题卡上） 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形是中心对称图形，符合题意； C．该图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得点数为奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据概率公式计算概率，先确定抛掷骰子的总情况数，再找出点数为奇数的情况数，代入概率公式即可求解． 【详解】∵抛掷一枚质地均匀的骰子，总共有6种等可能的结果，所得点数为奇数的结果有3种（点数1、3、5） ∴所得点数为奇数的概率为 故选D 3. 若2x＝5y，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两内项之积等于两外项之积计算，然后对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、由可得，2y=5x, 故本选项符合题意; B、由可得，2x=5y, 故本选项不符合题意; C、由可得，5(x+y)=7x,即2x=5y, 故本选项不符合题意; D、由可得，2(x-y)=3y, 即2x=5y, 故本选项不符合题意; 故选A. 【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积的性质，熟记性质是解题的关键． 4. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式． 当一元二次方程有两个不相等实数根时，其判别式，据此列不等式求解k的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴判别式（其中，，）， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：B． 5. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理， 在直角中，根据勾股定理可以求出的长，再根据三角函数的定义就可以求出函数值． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：B． 6. 关于二次函数图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，需根据的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标，再计算与轴交点坐标来逐一验证选项． 【详解】∵二次函数解析式为，可变形为∴，开口向下，故A选项错误． ∵对称轴为直线，故B选项错误． ∵当时，，即与轴交点为，故C选项错误． ∵顶点坐标为，故D选项正确． 故选D． 【点睛】掌握二次函数的性质（决定开口方向，顶点坐标为，对称轴为直线）是解题关键． 7. 小明参加基础知识、建模能力、思维能力三项测试，其成绩（百分制）依次为85分、90分、92分，对基础知识、建模能力、思维能力分别赋权2，3，5，计算小明的平均成绩，所得结果为（ ） A. 85 B. 89 C. 90 D. 92 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，需根据加权平均数的计算公式，将各项成绩与对应权重相乘后求和，再除以权重总和得到结果。 【详解】∵加权平均数计算公式为 ∴小明的平均成绩为（分） 故选C 8. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，为格点三角形，，与格线分别交于点，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先求出，再证明，得出，同理得，则，故把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： 则 结合网格特征，得出， ∴， ∴， ∴， 结合网格特征，得出， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∴图中阴影部分的面积， 故选：C． 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 方程x2﹣2x=0的解为_____________ 【答案】x1=0，x2=2 【解析】 【分析】把方程的左边分解因式得x（x-2）=0，得到x=0或 x-2=0，求出方程的解即可． 【详解】解：x2-2x=0， x（x-2）=0， x=0或 x-2=0， 故答案为：x1=0 ，x2=2． 【点睛】本题主要考查对解一元二次方程-因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 10. 两地的实际距离是，图上距离为，这幅地图的比例尺为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例尺定义． 根据比例尺的定义，比例尺等于图上距离与实际距离的比值，需统一单位后再计算． 【详解】解：实际距离为，转换为厘米：；图上距离为； 比例尺图上距离 : 实际距离． 故答案为 11. 将函数的图象向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了函数图象的平移． 根据函数图象平移的规律，向上平移时，在函数表达式后加上平移单位． 【详解】解：将函数 的图象向上平移 1 个单位长度，依据“上加下减”的平移规律，所得图象对应的函数表达式为 ． 故答案为： 12. 如图，若自动扶梯的长度，倾斜角为，则提升高度为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了30度的直角三角形的性质，根据30度所对的直角边是斜边的一半，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵，倾斜角为， ∴， 故答案为：8 13. 如图，四边形内接于，若，则为___________． 【答案】128 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出的度数，再根据圆周角定理得到答案． 【详解】解：四边形内接于，， ， ， 故选：A． 14. 二次函数的图象经过点和，其表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，将点 A 和点 B 的坐标代入二次函数解析式，建立关于 a 和 b 的方程组，通过求解方程组得到参数值 【详解】∵ 二次函数 的图象经过点 和， ∴ 将点 代入得 ，即 ， 将点 代入得 ，即 ， 化简方程 ① 得 ③， 化简方程 ② 得 ④， 用方程④减去方程③得 ，即 ，解得 ， 将 代入方程③得 ，即 ，解得 ， ∴ 二次函数表达式为 ． 故答案为 ． 15. 如图，点，是线段的黄金分割点，若，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割点的定义，线段的比例，掌握线段的比例关系是解题的关键． 根据黄金分割点，且，进行列式计算，即可求解． 【详解】解：∵点，是线段的黄金分割点，且， ∴， ． ∴ 故答案为： 16. 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图所示，这枚古钱币的直径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，取圆心，过点作垂直正方形的边长于点，连接，可得，即得，再利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取圆心，过点作垂直于正方形的边长于点，连接， 则， ∴， ∴， ∴这枚古钱币的直径为， 故答案为：． 三、解答题（本大题有9小题，共84分） 17. （1）计算； （2）解方程． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算零次幂，化简特殊角三角函数值，根据二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）根据配方法解方程，即可作答． 【详解】解：（1） （2）∵， ∴， ∴， ∴， ． ． 18. 甲、乙两人5次射击的成绩（环数）如下： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 （1）填表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 ________ 8 0.4 乙 ________ 9 ________ 3.2 （2）根据这5次成绩推荐1人参加射击比赛，应该推荐谁？为什么？ （3）若乙第6次射击命中8环，则乙6次成绩的方差较前5次成绩的方差___________．（填“变大”、“变小”或“不变”） 【答案】（1）8，8，9 （2）甲，见解析 （3）变小 【解析】 【分析】本题考查了众数、平均数和中位数的定义，以及根据方差作决策，理解题意，熟练掌握运用各个数据的求法是解题关键． （1）根据众数、平均数和中位数的定义，即可解题； （2）根据方差越小数据越稳定，即可解题； （3）根据方差的求解公式求出变化后的方差，再与之前的方差进行比较，即可解题． 【小问1详解】 解：由题可得：乙的平均数为：， 故乙的平均数故为8； 甲的数据中环数为8出现的次数最多， 故甲的众数为8， 将乙的数据从小到大排序为：5，7，9，9，10， 故乙的中位数为9； 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 8 0.4 乙 8 9 9 3.2 【小问2详解】 解：推荐甲更合适，理由如下： 由（1）可得：甲、乙平均数都为8， 而甲的方差为0.4，乙的方差为3.2， 表示甲更稳定， ∴推荐甲更合适； 【小问3详解】 解：若乙第6次射击，命中8环，则乙的平均数依旧为8， 则乙第6次射击后的方差： ， 故答案为：变小． 19. 云龙山共有三个主要入口，分别是北门、西门和东门．甲、乙两人分别从中选择一个入口登山，且选择各入口的机会相等． （1）甲从北门登山的概率为___________； （2）用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择同一入口登山的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，画树状图求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据云龙山共有三个主要入口，分别是北门、西门和东门，甲从中选择一个入口登山，且选择各入口的机会相等，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，先将北门、西门、东门分别记作A，B，C，画树状图，共有9种等可能的结果，甲、乙两人选择同一入口登山的情况有3种，再列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵云龙山共有三个主要入口，分别是北门、西门和东门，甲从中选择一个入口登山，且选择各入口的机会相等， ∴甲从北门登山的概率为： 【小问2详解】 解：将北门、西门、东门分别记作A，B，C，画树状图如下： ∴共有9种等可能的结果，甲、乙两人选择同一入口登山的情况有3种． 甲、乙两人选择同一入口登山的概率． 20. 如图，将长、宽的矩形花坛（阴影部分）向外扩建相同的距离，若扩建后的矩形花坛的面积为，求扩建后矩形花坛的长度与宽度． 【答案】扩建后的矩形花坛长，宽 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据将长、宽的矩形花坛（阴影部分）向外扩建相同的距离，若扩建后的矩形花坛的面积为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设矩形花坛向外扩建． 由题意，得． 解得（舍） 则 答：扩建后的矩形花坛长，宽． 21. 如图，是的直径，是的弦，是的切线，为切点，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定与性质，勾股定理以及圆周角定理和扇形的面积公式，解题关键在于利用切线性质证明三角形全等． （1）连接，由圆周角定理可得，由是的切线且为切点，则，结合四边形内角和，，可得与相切． （2）连接，先证，，利用四边形的面积减去扇形的面积计算图中阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：相切． 连接，如图 ， ． 是的切线且为切点， ． ， 在四边形中， ． 故． 与相切． 【小问2详解】 解：如图2，连接． ，是的切线， ． 在和中 ． ，． 在中， ， ． ． ． ． ． 22. 某商店以每本40元的价格购进一批“汉风徐州”拓片纪念册，由试销知，每天的销量（本）是每本售价（元）的一次函数，且满足下表： 售价（元） 50 60 65 销量（本） 100 80 70 （1）求关于的函数表达式； （2）每本售价多少元才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？（毛利润=售价-进价） 【答案】（1） （2）当时，毛利润取得最大值1792元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设关于的函数表达式为，再把数值代入计算，即可作答． （2）理解题意，结合总毛利润等于单件毛利润乘上数量，列式整理，再运用二次函数的性质进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，设关于的函数表达式为， 由题意，得 解得， ． 【小问2详解】 解：设每天的毛利润为W元， 由题意，得． ， ， 当时，W随x的增大而增大. 当时，毛利润取得最大值1792元． 23. 如图，为测量观景台距离地面的高度，小明在地面处测得的仰角为，他在平地上沿正对观景台的方向前进至处，测得的仰角为．若测角仪的高度忽略不计，，求观景台距离地面的高度（精确到）． （参考数据：，） 【答案】观景台距离地面的高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，设，分别在中，在中，利用角的正切值，表示出，，再根据，求出x的值即可． 【详解】解：设． 在中，由，得． 在中，由，得． ， ． ． 答：观景台距离地面的高度为． 24. 用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图1中，作的内接正三角形； （2）在图2中，作的内接正三角形，使的一边经过内的点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，特殊角的三角函数值，圆周角定理，等边三角形的判定，垂径定理，直径所对的圆周角为直角，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）作任意半径，再作线段的垂直平分线交于两点，交于点，则，推出，同理推出，即， 延长，交于点，连接，结合圆周角定理有，利用垂直平分线以及垂径定理推出，即可得到三角形为的内接正三角形； （2）作任意半径，再作线段的垂直平分线，交于点，以为圆心，为半径画圆，连接，作线段的垂直平分线，交于点，以为圆心，为半径画圆，交之前所作圆于点，作直线，交于点，由直径所对的圆周角为直角，推出，连接，有，由（1）同理推出三角形为的内接正三角形，且的一边经过内的点． 【小问1详解】 解：所作的内接正三角形如图所示： 【小问2详解】 解：所作的内接正三角形如图所示： 25. 已知：如图，的角平分线、交于点，过点的直线分别与交于点，且，连接．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）过点，，，垂足分别为，．根据角平分线的性质，得出，从而推出是的平分线，再利用等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理，可得，再结合三角形外角的性质可得，再得出，可推出，则，利用三角形三线合一的性质，可得，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：如图，过点，，，垂足分别为，． 是的两条角平分线， ， ， 是的平分线， ， ， ． 【小问2详解】 证明：是的两条角平分线， ，． 在中，． 在中，， ． 是的外角， ． ． 是的外角， ． ． ． 在中，． ， ． ． ． ． ． 又， ． ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质定义，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $