2026年山东省青岛市自主招生考试数学专题：图形的相似

2025-2026学年山东省青岛市自主招生考试数学专题：图形的相似 一、单选题 1．、、、是成比例线段，其中，，，则线段的长可能为（　　） A． B． C． D． 2．如图，AB∥CD，AD，BC相交于点O．若AB＝1，CD＝2，BO∶CO＝（　　） A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1 3．如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，DE∥BC交AC于E，AD：DB=1：2，则△ADE与△ABC的面积之比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：9 4．如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（　　） A．4：9 B．2：3 C． ： D．16：81 5．如图，BC∥ED，下列说法不正确的是（　　） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．B与D、C与E是对应位似点 D．AE：AD是相似比 6．下列多边形一定相似的是（　　） A．两个矩形 B．两个五边形 C．两个正方形 D．两个等腰三角形 7．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O在坐标原点，顶点A，B的坐标分别为（－2，－1），（－1.5，0）．△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为（4.5，0），则点C的坐标为（　　） A．（6，3） B．（－6，－3） C．（4，2） D．（－4，－2） 8．如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（　　） A．= B．= C．= D．= 9．如图，已知是的中线，交AC于点F，E是线段上一点，且，的延长线交于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在等边△ABC的AC，BC边上各任取一点P，Q，且AP=CQ，AQ，BP相交于点O．下列三个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP·AQ．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 11．如图，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=5，DC=11，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 12．如图，一斜坡长，高为，将重物从坡底A推到坡上高度是的M出处停下，则斜坡的长度为　 　米． 13．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝10．则AP＝　 　(结果保留根号)． 14．在中，，，点为边上一点，，，点在直线上，，则　 　． 15．小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为　 　cm． 16．在△ABC中，E是AB上一点，AE＝2，BE＝3，AC＝4，在AC上取一点D，使△ADE与△ABC相似，则AD的长为　 　． 三、解答题 17．在A市建设规划图上，城区南北长为240cm，A市城区南北的实际长为18km，试写出该规划图的比例尺. 18．如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长． 19．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝8，BC＝24，CD＝18，AD＝6，求AE、BE的长. 20．在△ABC中，AB=18cm，AC=15cm，点D是AB边上一点，且AD=6cm，点E是AC上一点，当AE为何值时，△ABC与△ADE相似？ 21． 如图，在△ABC 和△ACG 中，D，E，F 分别是AB，AC，AG 上的点，DE∥BC，EF∥ （1） 求 EC 的长. （2）求证：AD·AG=AF·AB. 22． 如图， 在 Rt 中， 是斜边 上的高． （1） 证明： ； （2） 若 ， 求 的长． 23．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度． 24．某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，，，， ∴， ∴， 故答案为：D． 【分析】四条线段a、b、c、d满足，则称这四条线段成比例，进而根据比例的性质“两内项之积等于两外项之积”可得ad=bc，最后代值计算可求出d的长. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵ AB∥CD， ∴△AOB∽△DOC， ∴. 故答案为：A. 【分析】由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可得△AOB∽△DOC，进而根据相似三角形对应边成比例即可得出结论. 3．【答案】D 【解析】解答：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ = ， ∵AD：DB=1：2， ∴ = = ， ∴△ADE与△ABC的面积之比为： ． 故选：D． 分析：首先利用相似三角形的判定与性质得出 = = ，进而利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出答案即可． 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵两个相似多边形面积的比为4：9， ∴两个相似多边形周长的比等于2：3， ∴这两个相似多边形周长的比是2：3． 故答案为：B． 【分析】根据相似多边形的面积比等于周长比的平方，可得出正确选项。 5．【答案】D 【解析】【解答】解：A、∵BC∥ED， ∴△ADE∽△ABC， ∵△ADE与△ABC对应点的连线相交于一点，对应边平行或在同一条直线上， ∴△ADE与△ABC是位似图形，本选项说法正确，不符合题意； B、点A是两个三角形的位似中心，本选项说法正确，不符合题意； C、B与D、C与E是对应位似点，本选项说法正确，不符合题意； D、AE：AD不是相似比，AE：AC是相似比，本选项说法错误，符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△ADE∽△ABC；进而根据两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，据此判断. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：要判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等． 矩形、五边形、等腰三角形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定相等，故不一定相似，A、B、D不符合题意； 而两个正方形，对应角都是90°，对应边的比也都相等，故一定相似，C符合题意． 故答案为：C． 【分析】根据相似图形的判定逐项判断即可。 7．【答案】A 【解析】【解答】顶点A，B的坐标分别为（－2，－1），（－1.5，0）．△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为（4.5，0） A点的对应点C的坐标为，即 故答案为：A． 【分析】根据题意先求出 A点的对应点C的坐标为 A点的对应点C的坐标为，再求解即可。 8．【答案】C 【解析】【分析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案． 【解答】∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形DEFB是平行四边形， ∴DE=BF，BD=EF； ∵DE∥BC， ∴==，==， ∵EF∥AB， ∴=，=， ∴＝， 故选C． 【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．找准对应关系，避免错选其他答案． 9．【答案】C 【解析】【解答】解：， AE：DE=1：2， 如图所示：取BF的中点H，连接DH， 是的中线， 点D是BC的中点， DH是的中位线， ，且DH∥CF， DH∥CF， ∠HDE=∠FAE，∠DHE=∠AFE， ， ， ，即CF=4AF， . 故答案为：C. 【分析】由，得出AE：DE=1：2，取BF的中点H，连接DH，可得DH是的中位线，进而可证，再利用相似三角形的性质得到，进而得到CF=4AF，据此即可得到的值 . 10．【答案】D 【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形 ∴∠C=∠BAP=60° AC=AB 在△APB和△CQA中 AP=CQ ∠BAP=∠C AB=AC ∴△APB≌△CQA（SAS） ∴∠CAQ=∠ABP，AQ=PB ∵∠AOP=∠ABP+∠BAQ=∠CAQ+∠BAQ=∠BAC=60° ∵∠AOP=∠C，∠PAO=∠CAQ ∴△PAO∽△QAC ∴AP：AQ=OP：CQ ∵AP=CQ ∴ AP2=OP·AQ ，故③正确； 同理可证：△BOQ∽△BCP ∴OB：BC=BQ：BP ∵PC=2AP，AQ=BP 设AP=x=CQ，则CP=BQ=2x，AC=BC=3x ∴OBAQ=3x2x=6x2 ∵AP：AQ=OP：CQ ∴OPAQ=APCQ=x2 ∴ ∴，即OB=6OP，故①正确； ∵OB：BC=BQ：BP ∴OB：8=BQ：7 ∵CP=BQ ∴7OB=8CP 不能求出PC的长 故正确序号为： ①②③ 故答案为：D 【分析】利用等边三角形的性质，可证得∠C=∠BAP=60°，AC=AB，利用SAS可证△APB≌△CQA，利用全等三角形的性质，可得出∠CAQ=∠ABP，AQ=PB，就可求出∠AOP=∠BOQ=60°，再利用相似三角形的判定证明△PAO∽△QAC，可证得AP：AQ=OP：CQ，将比例式转化为等积式，可对③作出判断；再由△BOQ∽△BCP，可得出OBAQ=6x2，由③的结论APCQ=x2，就可求出OB与 OP的数量关系，可对①作出判断；由题意可知已知BC、BP的长，不能求出PC的长。 综上所述，可得出答案。 11．【答案】C 【解析】【解答】解：如图， 1）当∠AP1B=90°，∵∠AP1D+∠BP1C=∠BP1C+∠CBP1， ∴∠AP1D=∠BP1C， ∵∠ADP1=∠BCP1，∴△P1AD∽△P1BC， ∴，即， 解得P1C=10或1，有两个点. 2）延长BA、CB交于一点P3，∵∠P3为公共角，∠AP1D=∠BP1C， ∴△P1AD∽△P1BC， 综上符合条件的P有三点. 故答案为：C. 【分析】分两种情况讨论，1）当∠APB等于90°时，根据相似三角形对应边成比例求得这时P有两种情况；2）延长BA和CD交于一点P，显然PAD和PBC相似. 12．【答案】15 【解析】【解答】解：作于D， ∴， ∴， ， ， ， 故答案为：15． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.作于D，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，代入数据进行计算可求出的值． 13．【答案】 【解析】【解答】 解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段， ∴， ∴ 故答案为：. 【分析】根据黄金分割的定义，得出，即可求出AP的长. 14．【答案】3或18 【解析】【解答】解：如图，点在上时， 在，，， ， ，， ， ∽， ， ，， ， ， ， ∽， ， ， ， ，即， ，即， ， ， ； 如图，点在的延长线上， ，， ∽， ， ，， ，即， ，， ， ， ， ∽， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， 作， ， ，， ， ， ， ， ， ， 综上，或18， 故答案为：3或18． 【分析】分类讨论：①点E在AC上时，②点E在AC的延长线上，再分别画出图象并利用相似三角形的判定方法和性质求解即可。 15．【答案】 【解析】【解答】如图所示，建立直角坐标系， 过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36， ∴Rt△APM中，MP=8，故DQ=8=OG， ∴BQ=12-8=4，由BQ∥CG可得，△ABQ∽△ACG， ∴ ，即 ， ∴CG=12，OC=12+8=20， ∴C（20，0）， 又∵水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24）， ∴可设抛物线为 ，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得： ，解得： ， ∴抛物线为 ， 又∵点E的纵坐标为10.2， ∴令y=10.2，则 ，解得x1= ，x2= （舍去），∴点E的横坐标为 ，又∵ON=30，∴EH=30-（ ）= ． 故答案为： ． 【分析】可建立一个如图所示的平面直角坐标系（以O为原点），根据题中所给数据可以依次表示出点B，D，根据“A距离BD为12cm”结合勾股定理可得到A的坐标，结合根据“A，B，C三点都在同一条直线上”可得到C点的坐标，根据“D，B，C”均在抛物线上，则可采用待定系数法假设二次函数后，将三个坐标分别代入即可得到抛物线解析式。由于E点的纵坐标固定，所以将E的纵坐标代入后即可得到点E的完整坐标，从而可得到最后答案。 16．【答案】 或 【解析】【解答】解：∵AE=2，BE=3，AC=4， ∴AB=AE+BE=5， ①当△ADE∽△ACB时， ∴， ∴， ∴AD=； ②当△ADE∽△ABC时， ∴， ∴， ∴AD=； 综上所述：AD长为或. 故答案为：或. 【分析】根据题意分情况讨论：当△ADE∽△ACB时，②当△ADE∽△ABC时，根据相似三角形的性质得出等式，分别代入数值即可求得AD值. 17．【答案】解：∵18km=1800000cm， ∴规划图采用的比例尺是： ， 答：该规划图的比例尺1：7500. 【解析】【分析】根据比例尺=图上距离：时间距离，进行解答即可. 18．【答案】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴ 线段CD的长为5． 【解析】【分析】根据题意得，根据相似性质得，代入数据得，进一步得的值. 19．【答案】解：∵△ADE∽△ABC， ∴， ∵DE=8，BC=24，CD=18，AD=6， ∴AC=AD+CD=24， ∴AE=8，AB=18， ∴BE=AB-AE=10. 【解析】【分析】根据相似三角形的对应边成比例列出比例式，求出AE长，然后根据线段间的和差关系求BE长即可. 20．【答案】解：∵△ABC与△ADE相似 ∴△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED ①当△ABC∽△ADE时： 则 即 ∴AE=5cm ②当△ABC∽△AED时： 则 即 ∴AE= ∴当AE=5cm或时△ABC与△ADE相似． 【解析】【分析】题中没有指明具体的对应边，故应该分两种情况进行分析，分别是△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED． 此题主要考查学生对相似三角形的判定及性质的理解及运用． 21．【答案】（1）解：∵ DE∥BC， 解得AC=9. ∴EC=AC-AE=9-3=6. （2）证明：∵ DE∥BC，EF∥CG， ∴AD·AG=AF·AB. 【解析】【分析】(1) 由 可得， 又知AE=3，可求出AC，进一步分析求解EC； (2)根据题意，由平行线分线段成比例定理的推论可得 由此便可得到等积式. 22．【答案】（1）证明：∵ AD是斜边BC上的高， ∴ ∠ADB=90°， ∴ ∠ADB=∠BAC=90°， ∵ ∠B=∠B， ∴ △ABD∽△CBA； （2）解：∵ △ABD∽△CBA， ∴， ∴. 【解析】【分析】（1）根据两角分别相等的两个三角形是相似三角形，即可证明； （2）根据相似三角形的对应边成比例，即可求得. 23．【答案】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB， ∴CD∥AB ∴△CGE∽△AHE ∴ 即： ∴ ∴AH＝11.9 ∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）． 【解析】【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出 ，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m． 24．【答案】解：由题意得：，， ∴，， ， ∴， ， （米）， ∵， ∴， （米）， 答：古塔的高度为22米． 【解析】【分析】由题易知 ，，根据相似三角形的性质可得 ，，由，推出 ，代入数值解得AC=40m，再代入 即可求得AB的长. 学科网（北京）股份有限公司 $