精品解析：山东济宁市任城区2025-2026学年第一学期期末质量检测九年级数学试题

2025-2026学年度第一学期期末质量检测 初四数学 一．选择题（本大题满分30分，每小题3分） 1. 如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ） A. 逐渐变短 B. 逐渐变长 C. 先变短后变长 D. 先变长后变短 2. 把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B，C是上的三点，若，则的度数为（　　） A B. C. D. 5. 对于抛物线，下列判断不正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 当时，有最大值1 C. 当时，随的增大而增大 D. 对称轴为直线 6. 如图，是的直径，点C、D、E在上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，瓶内液体最大深度为，则液面宽的长为（　　） A. B. C. cm D. 8. 济宁，孔孟之乡，不仅有着深厚的儒家文化底蕴，还承载着拥有丰富的红色记忆，是传承革命精神、开展爱国主义教育的重要基地．小红和小丽计划周末到A（王杰纪念馆）、B（铁道游击队纪念馆）、C（济宁烈士陵园）、D（尼山区红色教育基地）参加公益讲解活动．若小红和小丽在A、B、C、D四个场馆中各自随机选择1个，则小红和小丽都选到“王杰纪念馆”的概率为（ ）． A. B. C. D. 9. 双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点A作y轴的平行线交于点B．若，则（　　） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为，与x轴的一个交点为．则下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两根为，．其中正确的结论是（ ） A. ①②⑤ B. ①④⑤ C. ②④⑤ D. ①②④ 二．填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在题目中的横线上） 11. 抛物线与轴有______个交点； 12. 一个圆锥的主视图如图所示，则该圆锥侧面展开图的圆心角为_________． 13. 根据物理学知识可知，在压力不变的情况下，物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数．已知一个长方体石块如图放置在水平地面时，石块对地面的压强为，若将其如图放置，则石块对地面的压强为______． 14. 如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且的周长为，，若，将线段绕点逆时针旋转到点在上时，求点的运动路径长_______． 15. 如图，抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于A点，的圆心为C，半径为1，点P是直线上的动点，过点P作的切线，切点是Q，则切线长的最小值是________． 三．解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤） 16. 计算：． 17. 已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=4m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影； （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长． 18. 为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数为__________人，__________，A所对圆心角度数是__________； （2）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 19. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）求的度数； （2）若，，求的长度． 20. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为． （1）求行进路线和所在直线的夹角的度数； （2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）． 21. 某商场以每件20元的价格购进一种护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的． （1）设商场每月获得利润为（元），求每月获得利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 22. 如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连结AD． （1）求证：ED是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，AC=2，求CD的长． 23. 如图，二次函数图象与轴轴分别交于点，，，顶点为点，点，为图象上的点，且． （1）若二次函数的图象经过点， ①则这个二次函数的表达式______； ②若，则______； （2）若为等边三角形，求值； （3）若点在对称轴左侧，当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量检测 初四数学 一．选择题（本大题满分30分，每小题3分） 1. 如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ） A. 逐渐变短 B. 逐渐变长 C. 先变短后变长 D. 先变长后变短 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心投影的特征是解题关键．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程， 所以他在地上的影子先变短后变长． 故选：C． 2. 把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数图像的平移，准确判断平移方向对变量的影响关系是解题的关键． 根据二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”进行求解． 【详解】解：∵抛物线先向左平移4个单位长度， ∴用代替，得， 再向上平移2个单位长度， 得. ∴所得抛物线为， 故选D． 3. 如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：这个立体图形的俯视图是一个圆形，圆形内部中间是一个长方形． 故选：C． 4. 如图，点A，B，C是上的三点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 5. 对于抛物线，下列判断不正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 当时，有最大值1 C. 当时，随的增大而增大 D. 对称轴为直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式性质，判断开口方向、对称轴、最值及增减性． 【详解】解：∵ 中，， ∴ 抛物线开口向下，故A正确； ∴ 对称轴为直线，顶点为， ∴ 当时，有最大值1，故B正确； ∵ ，对称轴， ∴ 当时，随的增大而增大，故C正确； 对称轴为，不是，故D错误． ∴ 不正确的是D， 故选：D． 6. 如图，是的直径，点C、D、E在上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，连接，根据圆内接四边形的对角互补求出的度数，根据直径所对的圆周角是直角求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点都在上， ∴， ∵， ∴； ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：A． 7. 化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，瓶内液体最大深度为，则液面宽的长为（　　） A. B. C. cm D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过点作于点，交于点，连接，根据垂径定理得出，根据题意求出的长，利用勾股定理计算的长即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，连接， ∴，， ∵半径为，瓶内液体最大深度为， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 济宁，孔孟之乡，不仅有着深厚的儒家文化底蕴，还承载着拥有丰富的红色记忆，是传承革命精神、开展爱国主义教育的重要基地．小红和小丽计划周末到A（王杰纪念馆）、B（铁道游击队纪念馆）、C（济宁烈士陵园）、D（尼山区红色教育基地）参加公益讲解活动．若小红和小丽在A、B、C、D四个场馆中各自随机选择1个，则小红和小丽都选到“王杰纪念馆”的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率，熟练掌握计算概率的方法是解题的关键． 用列举法即可求解． 【详解】解：列表如下， A B C D A B C D 由表格可知，小红和小丽随机选择1个场馆共有16种等可能的结果，都选到“王杰纪念馆”的可能只有1种， 则小红和小丽都选到“王杰纪念馆”的概率为． 故选：D． 9. 双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点A作y轴的平行线交于点B．若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合，设，则点到的距离为，点的横坐标为，则纵坐标为，可求出，由，即可求解． 【详解】解：设，则点到的距离为， ∵轴， ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴， ∴， 解得， 故选：C ． 10. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为，与x轴的一个交点为．则下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两根为，．其中正确的结论是（ ） A. ①②⑤ B. ①④⑤ C. ②④⑤ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题等知识点，由抛物线开口方向得到，则可对①进行判断；由抛物线与轴正半轴相交可得， 对称轴在轴右侧且，可得，则可对②进行判断；由对称轴为可对③进行判断；根据对称性求出抛物线与轴的交点坐标，可对⑤进行判断；根据当时，，则可对④进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴，则①正确； ②∵抛物线与轴正半轴相交， ∴； ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故③错误； ⑤∵抛物线对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴方程的两根为，，故⑤错误； ④当时，， ∴，故④正确． 综上，正确的结论是①②④． 故选：D． 二．填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在题目中的横线上） 11. 抛物线与轴有______个交点； 【答案】2##两 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴抛物线与轴有两个不同的交点， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次函数与x轴的交点个数问题，熟知二次函数与x轴的交点个数即为二次函数对应的一元二次方程解的个数是解题的关键． 12. 一个圆锥的主视图如图所示，则该圆锥侧面展开图的圆心角为_________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，根据底面周长等于扇形的弧长求得答案即可． 【详解】解：设该圆锥侧面展开图的圆心角为， 由题意得，， 解得， ∴设该圆锥侧面展开图的圆心角为， 故答案为：． 13. 根据物理学知识可知，在压力不变的情况下，物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数．已知一个长方体石块如图放置在水平地面时，石块对地面的压强为，若将其如图放置，则石块对地面的压强为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设，由图得，把代入解析式可得，进而得，再根据图把代入计算即可求解，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设， 由图得，， 把代入得，， ∴， ∴， 由图得，， 把代入，得， 故答案为：． 14. 如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且的周长为，，若，将线段绕点逆时针旋转到点在上时，求点的运动路径长_______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用切线性质得到垂直关系，结合求出的度数；再根据三角形周长和切线长定理求出的长度；最后根据弧长公式计算点的运动路径长（即绕点旋转的弧长）． 【详解】解：连接、， ∵与，分别相切于点，， ∴，， ∴， ∵四边形内角和为，， ∴−−−， ∵的周长为，内切圆与，，分别相切于，，， ∴，，， ∵， ∴−， ∵，且，， ∴， ∴−， ∵， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转到点在上， ∴点的运动路径为以为圆心，为半径，圆心角为的弧， ∴弧长， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、多边形内角和、弧长公式，熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键． 15. 如图，抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于A点，的圆心为C，半径为1，点P是直线上的动点，过点P作的切线，切点是Q，则切线长的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，推出的值最小时，的值最小，根据垂线段最短可知，当于时，的值最小，据此求解即可； 【详解】解：对于抛物线， 令，得到， ， 令， 解得：或2， ， ∵是切线， ， ， ， 故的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当于时，的值最小， ， ， ， ， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了切线的性质，二次函数的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三．解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解：原式 17. 已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=4m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影； （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长． 【答案】（1）详见解析；（2）DE=14m． 【解析】 【分析】（1）根据同一时刻的光线互相平行,作平行线即可, （2）利用三角形相似,列出比例式即可解题. 【详解】解：（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影． （2）∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE． ∵∠ABC=∠DEF=90° ∴△ABC∽△DEF． ∴AB：DE=BC：EF， ∵AB=7m，BC=4m，EF=8 ∴7：4=DE：8 ∴DE=14（m）． 【点睛】本题考查了平行投影,属于简单题,熟悉同一时刻物长与影长的比值相同是解题关键. 18. 为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数为__________人，__________，A所对的圆心角度数是__________； （2）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）40，30，36 （2） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率： （1）的人数除以所占的比例求出总人数，利用条形图中的数据求出的人数，再除以总人数求出的值，360度乘以的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：获奖总人数为（人）， ，即； A所对的圆心角度数； 故答案为：40，30，36 【小问2详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6， 所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 19. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）求的度数； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，弧与弦的关系等知识点． （1）根据圆周角定理得到，那么； （2）由圆周角定理得到，再由得到然后由勾股定理求解，再对运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 20. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为． （1）求行进路线和所在直线的夹角的度数； （2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）行进路线和所在直线的夹角为 （2）检查点和之间的距离为 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，，再由各角之间的关系求解即可； （2）过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【小问1详解】 解：如图，根据题意得，，， ， ． 在中，， ． 答：行进路线和所在直线的夹角为． 【小问2详解】 过点A作，垂足为． ， ， ． , 在中， ， ． 在中，， ， ． 答：检查点和之间的距离为． 【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键． 21. 某商场以每件20元价格购进一种护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的． （1）设商场每月获得利润为（元），求每月获得利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润（定价进价）销售量，从而列出关系式，根据在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的，确定自变量的取值范围； （2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可． 【小问1详解】 由题意，得： ， ∵在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的． ∴ ∴ 【小问2详解】 解：依题意， 又∵，抛物线开口向下，对称轴为直线． ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时， 答：当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元． 22. 如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连结AD． （1）求证：ED是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，AC=2，求CD的长． 【答案】（1） 见解析；（2）CD= 【解析】 【分析】（1）连结OD，由题意易得∠1=∠2，∠2=∠3，则有∠1=∠3，进而可得DE⊥OD，然后问题可求证； （2）连接BC，交OD于点F，由题意易得AB=6，进而可得BF=CF =，OF=AC=1，∠BFO=∠ACB=90°，然后可得FD=OD-OF=3-1=2，最后根据勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：如图，连结OD，如图所示： ∵， ∴∠1=∠2， ∵OA=OD， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3， ∴AE∥OD， ∵DE⊥AE， ∴DE⊥OD， ∵OD为⊙O的半径， ∴ED是⊙O的切线； （2）解：如图，连接BC，交OD于点F， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵⊙O的半径为3， ∴AB=6， ∵AC=2， ∴BC=， ∵AE∥OD，OA=OB， ∴BF=CF =，OF=AC=1，∠BFO=∠ACB=90°， ∴FD=OD-OF=3-1=2， 在Rt△CFD中，CD=． 【点睛】本题主要考查切线的判定定理及圆的基本性质，熟练掌握切线的判定定理及圆的基本性质是解题的关键． 23. 如图，二次函数的图象与轴轴分别交于点，，，顶点为点，点，为图象上的点，且． （1）若二次函数的图象经过点， ①则这个二次函数的表达式______； ②若，则______； （2）若为等边三角形，求的值； （3）若点在对称轴左侧，当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①将点代入，求出的值即可； ②确定二次函数图象的对称轴为直线，根据二次函数图象为轴对称图形，可得，继而得到，，，确定，，即可得出结论； （2）如图，过点作轴于点，根据等边三角形的性质及顶点坐标得，，，则，确定，再代入求解即可； （3）二次函数图象的性质得，确定二次函数的最大值为，最小值为，得，推出，继而得到，求解即可． 【小问1详解】 解：①∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为， 故答案为：； ②∵这个二次函数的表达式为， ∴二次函数图象的对称轴为直线：，， ∵，且二次函数的图象为轴对称图形， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， 此时，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 如图，过点作轴于点， ∵为等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴； 小问3详解】 ∵点在二次函数的图象对称轴左侧，， ∴随的增大而增大，， ∴， 此时二次函数的最大值为，最小值为， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为，， ∴，即， 整理，得：， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的对称性，等边三角形的性质，锐角三角函数的定义等知识点．掌握二次函数的图象与性质、等边三角形的性质、锐角三角函数的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $