山东泰安市新泰市部分学校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题

山东省新泰市部分学校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 2．实轴长与焦距之比为黄金数的双曲线叫黄金双曲线，若双曲线是黄金双曲线，则等于（    ） A． B． C． D． 3．已知公差为负数的等差数列的前项和为，若是等比数列，则当取最大值时，（    ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 4．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（   ）      A． B． C． D． 5．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 6．已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 7．在数列中，，对任意大于1的正整数，点在直线上，那么（    ） A．5 B． C．50 D．75 8．已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知直线：，直线：，则（    ） A．当时，两直线的交点为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则或 10．已知等差数列 是递减数列，且满足的前项和为，下列选项中正确的是（    ） A． B．当时，最大 C． D． 11．如图，将一个等腰三角形去掉顶部的小三角形后，剩余部分均分成个高为1的等腰梯形，记第1个梯形的上、下底边长分别为，，则（   ） A．第个梯形的上底边长为 B．第个梯形的下底边长为 C．第个梯形的面积为 D．前个梯形的面积之和为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．如果平面，直线，点满足：，且直线与所成的角为直线与直线所成的角为，那么与所成角的大小为 ． 13．若两点到直线的距离相等，则 . 14．已知为坐标原点，是椭圆上异于顶点的动点，圆与直线交于两点，与轴、轴分别交于两点，且，则面积的取值范围为 . 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（本题13分）已知三点在圆C上，直线， (1)求圆C的方程; (2)判断直线与圆C的位置关系；若相交，求直线被圆C截得的弦长． 16．（本题15分）在数列中，. (1)证明：是等比数列； (2)若数列的前项和，求数列的前项和. 17．（本题15分）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且；数列满足． (1)求和； (2)求数列的前n项和． 18．（本题17分）设椭圆的右焦点为，左右顶点分别为，.已知椭圆的离心率为，. (1)求椭圆的方程； (2)已知为椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，且，若三角形与三角形的面积比为1:2，求直线的方程. 19．（本题17分）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省新泰市部分学校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C A D D D ABC AC 题号 11 答案 BCD 12． 13．或 14． 15．(1) (2)直线与圆C相交，弦长为 【分析】（1）圆C的方程为:，再代入求解即可； （2）先求解圆心到直线的距离可判断直线与圆C相交，再用垂径定理求解弦长即可 【详解】（1）设圆C的方程为:， 由题意得:，   消去F得: ，解得: ， ∴ F=-4，   ∴圆C的方程为:. （2）由（1）知: 圆C的标准方程为:，圆心，半径; 点到直线的距离，故直线与圆C相交， 故直线被圆C截得的弦长为 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知可得，进而可证明为等比， （2）根据 的关系可求解，由（1）知，进而可得，由错位相减法即可求解. 【详解】（1）证明：因为，所以， 又，所以，所以. 所以是首项为1，公比为的等比数列. （2）由（1）知， 因为数列的前项和，所以当时，，当时，，满足上式，所以. 所以. ，① 由①，得，② ①②相减得 所以. 17．（1），；（2） 【分析】(1) 设等比数列的公比为再根据题目条件列出关于公比的表达式求解即可. 通过前项和的一般思路,写出前项和相减,得出关于的递推公式再求解即可. (2)代入化简得,故用裂项相消求和即可. 【详解】(1)设等比数列的公比为由 解得  或(舍)，又，，解得   ， 时，， 整理得 ，又   数列是首项为1的常数列，， (2)设， 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式求解方法,同时也考查了构造数列求通项公式与裂项求和的基本方法等.属于中等题型. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据已知线段长度与离心率，求解出的值，然后根据求解出的值，则椭圆方程可求； （2）根据条件将问题转化为三角形与三角形的面积比，由此得到关于的关系式，通过联立直线与椭圆方程求得对应坐标，然后求解出参数值得的坐标，则可求直线方程. 【详解】（1）因为，，，所以， 所以，所以， 所以椭圆方程为； （2）如图，因为三角形与三角形的面积之比为， 所以三角形与三角形的面积比为， 所以，得， 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立，所以， 所以，， 所以，解得， 当时，， 当时，， 故直线的方程为. 19．(1)证明见解析 (2) (3)存在满足题意的点，此时 【分析】（1）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示可得，即可证明； （2）利用空间向量法求解线面角即可； （3）假设存在满足题意的点，设（），根据空间向量的坐标表示可得，进而求出平面的一个法向量，结合空间向量法求解面面角建立方程，解之即可求解. 【详解】（1）由题意知，，建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 得，所以. （2）， 得， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 所以， 即AB与平面所成角的正弦值为. （3）假设存在满足题意的点，设（）， 由（1）（2）知， 所以，得，解得， 即，所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以，又平面的一个法向量为， 故， 整理得，由，得. 即当点为的中点时，平面与平面所成角的余弦值为， 此时，即. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $