精品解析：湖北武汉市洪山高级中学等校2025-2026学年高二上学期期末数学试卷

高二数学试卷 考试时间：2026年2月3日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化为标准方程,即可得抛物线的准线方程． 【详解】由得，所以，所以， 故抛物线的准线方程为． 故选：C. 2. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，代入求值即可. 【详解】，故. 故选：C 3. 已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求定点，再根据点到直线距离求解点到直线上动点距离最小值即可. 【详解】由得，所以直线l过定点， 依题意可知的最小值就是点M到直线的距离， 由点到直线的距离公式可得． 故选:B. 4. 直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆上，则的最大值为（ ） A. B. 6 C. D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】求出，设，，从而求出，得到最大值. 【详解】中，令得，令得，故， 设，， 则 ， 所以当，即时，取得最大值，最大值为12. 故选：D 5. 若数列的通项公式，则（ ） A. 162 B. 182 C. 198 D. 242 【答案】C 【解析】 【分析】根据单调性对进行化简，再根据通项公式代入求值即可. 【详解】因为函数在上均为增函数， 所以在上为增函数 所以数列为单调递增数列， 所以 ， 又， 所以， 故选：C 6. 点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，结合基本不等式可得，即可根据求解. 【详解】， 由于，则，故， 故，由于，故， 故选：A 7. 已知正项等比数列满足，，则取最大值时的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 10或11 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式及函数的单调性，结合数列的单调性即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由，，则， 因为函数在上单调递增，且时，，可得， 又，则，且数列为递减数列， 则取得最大值时的值为10或11. 故选：D. 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对称性得到平行四边形为矩形，根据得到，求出，上存在关于坐标原点对称的两点，，使得，故，从而得到，得到答案. 【详解】由对称性可知，四边形为平行四边形， 因为，所以平行四边形为矩形， ，即， 由椭圆的定义可知，， 由勾股定理得，即， 故，， 由得， 故，，解得， 上存在关于坐标原点对称的两点，，使得，故， 所以，即，所以，解得， 所以离心率的取值范围是 故选：B 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知等差数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当或10时，取得最大值 B. C. 成立的n的最大值为20 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意结合等差数列性质分析的符号性，结合的符号性以及的性质逐项分析判断. 【详解】因为，则， 且数列为等差数列，则， 可得，即， 又因为，可知：当时，；当时，； 对于选项A：由可知，所以当或10时，取得最大值，故A正确； 对于选项B：因为，故B错误； 对于选项C：由的符号性可知：①当时，单调递增，则； ②当时，单调递减； 且，可知：当时，；当时，； 所以成立的n的最小值为20，故C错误； 对于选项D：因为，所以，故D正确； 故选：AD. 10. 椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若方程所表示的直线恒过定点，点在以点为圆心，的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为； B. 的最大值为4； C. 的内切圆半径可能为； D. 的最小值为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据离心率的公式即可求解A，根据椭圆的定义以及基本不等式即可求解B，利用等面积法结合椭圆的有界性即可求解C，根据椭圆的定义以及三点共线即可求解D. 【详解】：中，， 对于A，，A正确， 对于B, ，故， 当且仅当时取到等号，故B正确， 对于C，设的内切圆的半径为，点的纵坐标为，， 则,即， 由于，故的内切圆半径不可能为，C错误， 对于D, 由可得，则定点为， ，， ，故D正确， 故选：ABD 11. 设，是抛物线：上不同的两点，设，，是坐标原点，下列结论成立的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，过作的垂线，垂足为，则在平面内存在一点，使为定值； D. 点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据垂直得到方程，求出；B选项，在A基础上，结合基本不等式求出最值；C选项，设直线方程为，联立得到两根之和，两根之积，又，解得，直线恒过定点，故取，则为定值；D选项，推出只需最小，设，求出当时，最小值为，进而得到最小值，求出四边形的面积的最小值. 【详解】A选项，显然，与原点不重合， 若，则， 解得，A错误； B选项，由A知，，故， ， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，故，B正确； C选项，当直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求； 设直线方程为， 联立得，故， 又，所以，解得， 所以直线恒过定点，故取的中点，则为定值 则在平面内存在一点，使为定值，C正确； D选项，圆：，故圆心为，半径为1， 由对称性可知，的面积等于的面积， 四边形的面积为面积的2倍， 由于半径为1，故只需最小，又， 故只需最小，设，则， 则， 故当时，取得最小值8，故最小值为， 则最小值为， 则面积最小值为，所以四边形的面积的最小值为，D正确. 故选：BCD 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆经过三点，，，则圆的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆的一般方程，用待定系数法可得圆的方程. 【详解】设圆的方程为，由圆经过点，得； 由圆经过，得，即①； 再由圆经过，得，即②； 联立①②解得，所以圆的方程为， 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线焦点得出，再得出，进而得出双曲线的渐近线. 【详解】抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，所以， 所以，所以双曲线方程为，所以， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 14. 数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求得，讨论及不等式恒成立求参数范围. 【详解】由题设知， 故， 所以， 所以， 所以，可得， 所以，则， 由，则，可得， 当，则恒成立，而，则，此时， 当，则恒成立， 当，则恒成立，而，则，此时， 综上，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的导数，并求出的解集. 【答案】（1）；（2），. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，代入计算得出切线斜率，再应用点斜式得出切线方程； （2）先求出导函数，再代入结合定义域解不等式即可. 【详解】（1），. 在点处的切线斜率为1， ∴所求切线方程为，即. （2）∵的定义域为，∴， 由，得， ∵，解得，∴的解集为. 16. 设平面内动点到点、距离之差为. （1）若，过点且斜率为2的直线交点的轨迹于、两点，求线段的长. （2）若存在点到、轴的距离之比为，求的取值范围. 【答案】（1）30 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义得到点的轨迹是双曲线的一支，并求出，，，得到点的轨迹方程，直线方程为，联立后得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到答案； （2）设点的坐标为，故，，可得，点在以、为焦点，实轴长为的双曲线上，故，联立，解得，解得，即的取值范围为. 【小问1详解】 当时，. ∵，∴点的轨迹是双曲线的一支. 由题意得；，所以，， ∴点的轨迹方程为. 直线方程为，即. 设，.由，化简可得. 且， . 【小问2详解】 设点的坐标为，依题设得，即，. 因此，点、、三点不共线，得， ∵，∴，解得. 因此点在以、为焦点，实轴长为的双曲线上，故. 将代入，并解得， 因为，，所以，解得， 即的取值范围为. 17. 如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面，，，， （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）若点在线段上，且.是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在 【解析】 【分析】（1）根据条件，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用面面角的向量法，即可求解； （2）根据条件得，结合条件，利用线面角的向量法建立等量关系，即可求解. 【小问1详解】 因为四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面， 又平面平面，，所以平面. 所以，，又四边形为直角梯形且， 则，故，，两两垂直. 以为坐标原点，可建系如图： 则，，，，， 所以，，，显然是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，则， 取， 所以平面与平面夹角的余弦值为： ； 【小问2详解】 因为，所以，， 设平面的一个法向量为， 则，取. 假设存在满足题意，与平面所成角为， 则. 化简得，解得，∵ ∴. 故存在，使得与平面所成角的正弦值为. 18. 已知正项数列的前项和为，满足，. （1）证明：数列为等差数列； （2）已知，求数列的前项的和； （3）已知，在数列中是否存在不同的三项，使这三项依次成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由. 【答案】（1） 因为 当时， 所以. 又，有，又， 所以，所以， 因为，所以， 又，可知，. 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2） （3） 假设存在不同的三项，，依次成等差数列，不妨设 则有，∴ 两边同除以，可得. 又为偶数，为偶数，为奇数， ∴不可能成立. 假设不成立，即不存在不同的三项，使这三项成等差数列. 【解析】 【分析】（1）由，利用作差法化简得到，即可证明数列是等差数列； （2）由（1）可得，分当为偶数和为奇数时两种情况求解即可； （3）假设存在不同的三项，，依次成等差数列，利用反证法证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，. 当为偶数时，. 当为奇数时，. ∴ 【小问3详解】 略 19. 已知抛物线：的焦点是点，过的直线交抛物线于、两点. （1）求抛物线的方程. （2）在轴上是否存在一点，使得轴平分？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由. （3）已知点，直线、分别交抛物线于、两点，若、、、四点共圆，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）存在点 （3）或. 【解析】 【分析】（1）先由焦点坐标得到，进而求出抛物线方程； （2）设直线的方程为：，设点、的坐标为 ，点，利用直线、的斜率之和为0， 化简得到，所以存在点，满足条件. （3）方法一：由，，，四点共圆，得到，利用距离公式求出相应的距离代入即可求解.方法二：设直线、，的倾斜角分别为点、，所以设的参数方程为：设，联立抛物线方程求出，.由、、、四点共圆，得到再代入求解即可. 【小问1详解】 ∵，∴，∴抛物线的方程为：. 【小问2详解】 由题意可知直线的斜率不可能为0， 设直线的方程为：，设点、的坐标为 联立方程为： ； ∴，， 由题意得：直线、的斜率之和为0，设点， 则有：，即 ∴， ∴， ∴， 因为上式与无关， ∴ ∴. 所以存在点，满足条件. 【小问3详解】 解法1： 当直线，的斜率均存在时，直线的方程为：， 联立可得：， 整理得：. ∴，∴，同理，. 又∵，，，四点共圆， ∴，又∵， ∴.即，即. 又由题意可知，，， ∴， ∴ ∴，即或. ∵ ∴，即. 当直线，有斜率不存在时，不妨设直线的斜率不存在，此时，. 不妨设，则，.∴，， ∴.又∵，∴当时，.∴，，∴，. ∴，不合题意. ∴. 即 ∴ 所以 ∴， 解得：为或. 又∵，∴或. 解法2：设直线、，的倾斜角分别为点、， 所以设的方程为：设，代入抛物线方程 ，∴， ∴，∴ 同理可得：. 因为、、、四点共圆，所以， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴. 即 ∴ 所以 ∴因解得：为或 又∵，∴或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 考试时间：2026年2月3日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 3. 已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是（ ） A. 5 B. C. D. 4. 直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆上，则的最大值为（ ） A. B. 6 C. D. 12 5. 若数列的通项公式，则（ ） A. 162 B. 182 C. 198 D. 242 6. 点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正项等比数列满足，，则取最大值时的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 10或11 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知等差数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当或10时，取得最大值 B. C. 成立的n的最大值为20 D. 10. 椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若方程所表示的直线恒过定点，点在以点为圆心，的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为； B. 的最大值为4； C. 的内切圆半径可能为； D. 的最小值为. 11. 设，是抛物线：上不同的两点，设，，是坐标原点，下列结论成立的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，过作的垂线，垂足为，则在平面内存在一点，使为定值； D. 点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为. 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆经过三点，，，则圆的方程为______. 13. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为______. 14. 数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的导数，并求出的解集. 16. 设平面内动点到点、距离之差为. （1）若，过点且斜率为2的直线交点的轨迹于、两点，求线段的长. （2）若存在点到、轴的距离之比为，求的取值范围. 17. 如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面，，，， （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）若点在线段上，且.是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知正项数列的前项和为，满足，. （1）证明：数列为等差数列； （2）已知，求数列的前项的和； （3）已知，在数列中是否存在不同的三项，使这三项依次成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由. 19. 已知抛物线：的焦点是点，过的直线交抛物线于、两点. （1）求抛物线的方程. （2）在轴上是否存在一点，使得轴平分？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由. （3）已知点，直线、分别交抛物线于、两点，若、、、四点共圆，求直线的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $