第19章 二次根式（章节复习检测提高卷）-2025-2026学年人教版（新教材）数学八年级下册章节复习优选题检测卷

2025-2026学年人教版数学八年级下册章节复习闯关自测卷（新教材） 第19章 二次根式●能力提升 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）已知，则的值为（ A． B． C．3 D． 【答案】A 【思路引导】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的非负性求出a和b的值，然后代入代数式计算即可． 【规范解答】∵ ， ∴，， 解得，， ∴ ， 故选：A． 2．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）下列各式的计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式． 选项A中负数没有实数平方根；选项B完全平方公式应用错误；选项D化简错误；选项C计算正确． 【规范解答】解：选项A：和在实数范围内无意义，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误； 故选：C． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． 先求出中间正方形的边长为，再根据题意求出最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差即可． 【规范解答】解：中间正方形纸片的面积为， 中间正方形的边长为， 最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差为． 故选：D． 4．（2025八年级上·上海·专题练习）若，下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查二次根式的性质，同类二次根式．同类二次根式需化简后根号内表达式相同，逐项判断即可． 【规范解答】解：A．，与不是同类二次根式，不合题意； B．与不是同类二次根式，不合题意； C．与不是同类二次根式，不合题意； D．，与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 5．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了新定义运算，无理数的估算，二次根式的乘法运算，由得，估算出，可得，再根据二次根式的运算法则可得． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵和为两个连续的正整数， ∴， ∴． 故选：B． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤．最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一判断各选项. 【规范解答】解：∵ ① ，被开方数为质数，无平方因数，是最简二次根式； ② ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ③ ，含平方因数，不是最简二次根式； ④ ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ⑤ ，对于实数，且无法分解为完全平方与整数的乘积，无平方因数，是最简二次根式． ∴ 最简二次根式有①和⑤，共个. 故选：B． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，矩形中，对角线与交于点，垂直平分，是垂足，若，则的长是（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【思路引导】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理． 由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，得出，由勾股定理求出即可． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ，，， ， 垂直平分， ， ， ， ． 故选：B． 8．（25-26八年级上·重庆南岸·月考）估计的运算结果应在（   ） A．1到2之间 B．3到4之间 C．5到6之间 D．7到8之间 【答案】B 【思路引导】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．先算乘法，再算减法，最后用平方法估算平方根的取值范围． 【规范解答】解： = ∵ ， ∴ ， ∴ ∴ 结果在 3 到 4 之间． 故选：B． 9．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知为整数，且，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了求一个数的立方根，算术平方根，实数的运算，根据题意可得，设，，其中 是整数，则可证明，，再令的值为四个选项中的数，看此时是否有满足题意的即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴， 设，，其中 是整数， ∴， ∴， ∵，， ∴， 当时，则，即此时，则或，不满足，故A不符合题意； 当时，则，即此时，不满足k、l都是整数（4不是一个整数的立方），故B不符合题意； 当时，则，即此时，不满足k、l都是整数（2不是一个整数的立方），故C不符合题意； 当时，则，即此时，则，则时能满足题意，故D符合题意； 故选：D． 10．（25-26八年级上·全国·假期作业）若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【思路引导】本题考查的是同类二次根式．直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案． 【规范解答】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式， ， ， 可设，，其中和都是正整数， 则， 又，∴， ∴只有满足条件的一组数，，， 此时，， 故只存在一组解，选项①正确； ②由， 同理可设，，其中和都是正整数， 则，且， 满足条件的正整数对有和， 当时，，； 当时，，； 故存在两组解．故选项②正确； ③由， 同理可设，，其中和都是正整数， 则，且， 满足的正整数对只有，， 但这不满足的条件， 故不存在满足条件的a，b，故该选项③正确； 故选：C． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算，解题关键是先化简二次根式，再按运算顺序计算，最后合并同类二次根式． 先将各二次根式化为最简形式，再计算二次根式的乘法，最后合并同类二次根式． 【规范解答】解：原式 ． 故答案为：． 12．（23-24九年级下·贵州铜仁·月考）若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，三角形的三边关系． 根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形的三边关系确定c的取值范围即可． 【规范解答】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵实数a，b，c分别表示的三条边， ∴， 即． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·福建福州·期末）已知顶角为，且底边与腰的比为黄金分割比的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是黄金三角形，D为上一点，且，，则的长为 ． 【答案】2 【思路引导】本题主要考查了新定义下的三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上性质，并理解新定义． 根据新定义求出,根据等腰三角形以及三角形内角和定理求出相关角的度数，证明，然后根据线段的和差即可求解． 【规范解答】解：∵是黄金三角形， ∴， ∴, ∵为等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先把二次根式化为最简二次根式，再准确合并同类二次根式． 先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，从而计算出结果． 【规范解答】解：原式 ． 故答案为 ：． 15．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】5 【思路引导】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键． 根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可． 【规范解答】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 16．（25-26八年级上·上海·期末）观察下列各式： ，，， 请利用你所发现的规律， 计算， 其结果为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了数字类规律探索，二次根式的应用，根据已知规律，每个根式可化为的形式，然后求和，利用裂项相消法计算即可得出结果，正确得出规律是解此题的关键． 【规范解答】解：由规律可知，，其中从开始， 故 ， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知：，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查二次根式的混合运算，设，，则，利用平方差公式，，计算的值，再代入已知条件求解即可． 【规范解答】解：， 设，，则． ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 18．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，四边形中，，垂直于的角平分线于点D，点E为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定和性质，二次根式的乘法运算，三角形中线等分面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．延长交于点，设交于点O，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，推出当时，的面积最大，即可求解． 【规范解答】解：延长交于点H，设交于点．   ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 图中两个阴影部分面积之差的最大值为4， 故答案为：4． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26八年级上·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2)1 【思路引导】本题主要考查了二次根式的混合运算，求一个数的绝对值，平方差公式等，解题的关键是掌握各运算法则． （1）先进行二次根式的化简，二次根式的乘法运算和求一个数的绝对值，然后再进行同类二次根式的加减； （2）先利用平方差公式进行二次根式的运算和二次根式的乘除运算，再进行加减运算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 20．（本题6分）（25-26八年级下·全国·课后作业）古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积．此公式称为海伦公式． 思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，，，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到，参考数据：，，）？ 【答案】能， 【思路引导】本题考查了二次根式的实际应用，解题的关键是正确代入公式并计算． 将题目中的已知量代入到公式中计算即可． 【规范解答】解：，，， ， 故这块菜地的面积约为． 21．（本题8分）（2026八年级下·浙江·专题练习）阅读以下的材料： 如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数最大值是 ． 【答案】(1)， (2)，最大值为 【思路引导】本题考查二次根式的应用，通过阅读题目材料掌握有关方法是解题关键． （1）把原函数化成，再利用题中的方法即可得到解答； （2）由题意可得，从而得到，并得到时，y有最大值． 【规范解答】（1）解：由题意得：， 当且仅当时，即，函数有最小值， 故答案为． （2）解：， ， 由题意得：，即， 当且仅当时，即时，函数有最大值． 22．（本题8分）（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2) 【思路引导】本题考查了二次根式的化简与大小比较，核心是利用完全平方公式将根号内的式子配成完全平方式，再结合二次根式的性质进行化简，同时运用分母有理化来比较大小． （1）先观察根号内的代数式，将其拆分为两个数的平方和与这两个数乘积的倍的形式，凑成完全平方式，再根据二次根式的性质去掉外层根号完成化简； （2）先对两个分式的分母进行化简，同样通过配方法将分母根号内的式子配成完全平方式，再进行分母有理化，最后根据化简后的结果比较两个数的大小． 【规范解答】（1）解：① ． ② ； （2）解： ． 23．（本题8分）（25-26八年级上·云南昆明·期末）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下． ，即 请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】： (1)计算：． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）将各式分母有理化后，合并同类二次根式即可； （2）根据阅读材料化简可得，将所求代数式变形为含的式子，代入求值即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， 原式 ． （2）解：， ， ，即， ， ． 24．（本题8分）（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； ； （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得 ， ； 【解决问题】 （3）若，且，均为正整数，求的值； 【答案】（1），；（2），；（3） 【思路引导】本题主要考查二次根式的化简与应用，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给出的，与，的关系式，列式算出结果即可； （3）将所给式子两边平方求解即可． 【规范解答】解：（1）， ， 故答案为：，． （2）由题意可知： ， ∵，，，均为正整数， ∴，， 故答案为：，． （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．（本题10分）（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，已知点和直线，如何在直线上确定一点，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路： 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中．因此，在上任取一点，作点关于的对称点与直线相交于点．连接，易知_______，从而有．这样，在中，根据“________”可知与的交点即为所求． （2）如图②，在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值． （3）如图③，在中，，，，点，分别为，上的动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】（1）；两点之间，线段最短；（2）8； 【思路引导】（1）根据对称的性质，三角形三边关系即可求解； （2）作，使得，连接交于点，连接，通过全等三角形的判定与性质结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求出的长，故，据此即可求解； （3）作，使得，作，连接，证得，推出，即可求解． 【规范解答】解：（1）由对称可知：， 在中，根据两点之间，线段最短可知与的交点即为所求， 故答案为：；两点之间，线段最短； （2）作，使得，连接交于点，连接，如图所示； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的最小值为 8 ； （3）作，使得，作于点，连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值． 【考点剖析】本题考查了全等三角形综合、勾股定理以及三角形的三边关系，二次根式的性质，直角三角形的性质，通过全等将目标线段集中在同一个三角形中是解题关键． 26．（本题10分）（24-25八年级上·山东济南·期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)2022 (3)3 【思路引导】本题考查了分母有理化的应用，代数式求值，二次根式的运算，能求出的值和正确变形是解此题的关键． （1）根据小明的解答总结出规律即可； （2）结合（1）进行分母有理化，再合并同类项即可得结果； （3）根据小明的解答，先将分母有理化，再根据整体代入法代入，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：由题意得. 故答案为：； （2）解： ； （3）解：由题意得， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版数学八年级下册章节复习闯关自测卷（新教材） 第19章 二次根式●能力提升 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）已知，则的值为（ A． B． C．3 D． 2．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）下列各式的计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（    ） A． B． C． D． 4．（2025八年级上·上海·专题练习）若，下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤．最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，矩形中，对角线与交于点，垂直平分，是垂足，若，则的长是（   ） A．2 B．3 C． D． 8．（25-26八年级上·重庆南岸·月考）估计的运算结果应在（   ） A．1到2之间 B．3到4之间 C．5到6之间 D．7到8之间 9．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知为整数，且，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C． D． 10．（25-26八年级上·全国·假期作业）若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： ． 12．（23-24九年级下·贵州铜仁·月考）若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是 ． 13．（25-26八年级上·福建福州·期末）已知顶角为，且底边与腰的比为黄金分割比的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是黄金三角形，D为上一点，且，，则的长为 ． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： ． 15．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 16．（25-26八年级上·上海·期末）观察下列各式： ，，， 请利用你所发现的规律， 计算， 其结果为 ． 17．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知：，则的值为 ． 18．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，四边形中，，垂直于的角平分线于点D，点E为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26八年级上·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 20．（本题6分）（25-26八年级下·全国·课后作业）古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积．此公式称为海伦公式． 思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，，，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到，参考数据：，，）？ 21．（本题8分）（2026八年级下·浙江·专题练习）阅读以下的材料： 如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数最大值是 ． 22．（本题8分）（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 23．（本题8分）（25-26八年级上·云南昆明·期末）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下． ，即 请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】： (1)计算：． (2)若，求的值． 24．（本题8分）（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； ； （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得 ， ； 【解决问题】 （3）若，且，均为正整数，求的值； 25．（本题10分）（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，已知点和直线，如何在直线上确定一点，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路： 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中．因此，在上任取一点，作点关于的对称点与直线相交于点．连接，易知_______，从而有．这样，在中，根据“________”可知与的交点即为所求． （2）如图②，在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值． （3）如图③，在中，，，，点，分别为，上的动点，且，请直接写出的最小值． 26．（本题10分）（24-25八年级上·山东济南·期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算：； (3)若，求的值． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $