专题10分式题型突破讲义（2）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练+寒假预习讲义)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题10分式题型突破讲义（2） 基础 过关题 1.分式乘法 2.分式除法 3.同分母分式加减法 4.通分 5.最简公分母 6.异分母分式加减法 能力 提升题 7.分式乘除混合运算 8.分式乘方 9.含乘方的乘除混合运算 10.整式与分式相加减 11.分式加减混合运算 12.分式加减乘除混合运算 13.分式化简求值 拓展 拔高题 14.分式加减的实际应用 15.已知恒等式确定分子分母 一.分式的乘除 1. 法则（简单记）：分子乘分子，分母乘分母，结果约分至最简 2. 公式：(b分母不能为0） 3. 关键：先看分子分母能否因式分解（x2-1=(x+1)(x-1)），先约分再相乘，更简便。 二、分式的除法 1. 法则（简单记）：除以一个分式 = 乘这个分式的倒数，再按乘法计算 2. 公式：(b.c d) 3. 关键：倒数只倒除数（后面的分式），被除数不变；符号要跟着走（负号约分后只剩1个） 三、易错提醒 1. 所有分母不能为0，计算前先标注限制条件（不用写在最终结果，但要心里有数）； 2. 整式（如x、2x+3）可以看成分母是1的分式（如x），再计算。 二.分式的加减（核心：先通分，再加减，分母不变分子算） 1、同分母分式加减（最简单，直接算） (1). 法则：分母不变，只把分子相加减，结果约分至最简 (2) 公式：(b) (3) 关键：分子相加减时，若分子是多项式，要加括号（避免符号出错），再去括号计算。 2、异分母分式加减（核心：先通分，变同分母再计算） (1) 法则： ① 找最简公分母（分母的最小公倍数，因式分解后取各因式的最高次幂）； ② 通分（分子分母同乘同一个不为0的整式，使分母都变成最简公分母）； ③ 按同分母分式加减计算。 (2) 步骤（简单记）：找公分母 → 通分 → 分子加减 → 约分 三、易错提醒 1. 最简公分母找不对，通分就会错（优先因式分解分母，再找公分母）； 2. 通分时，分子要和分母乘同一个整式，不能漏乘； 3. 结果必须约成最简分式（分子分母无公因式）。 总结（必记） 1. 乘除：先约分，再乘倒（除法变乘法）； 2. 加减：同分母直接算，异分母先通分再算； 3. 核心前提：所有分母不能为0，结果必为最简分式。 【题型1.分式乘法】 1．的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘法，根据分式的乘法法则即可得出答案． 【详解】解： 故选：A 2．化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算顺序和运算法则．先将分子、分母因式分解，再约分即可得． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算：=（　　　） A．x B． C．y D． 【答案】A 【分析】根据分式乘法计算法则解答． 【详解】解：=x， 故选：A． 【点睛】此题考查分式的乘法计算法则，熟记计算法则是解题的关键． 4．定义两种运算：，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算．熟练掌握新定义运算，分式的乘除运算法则，是解题的关键． 先根据题意得出与的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型2.分式除法】 5．若运算的结果不是分式，则“（   ）”内的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．本题根据分式的乘除法的运算法则进行解题即可得到答案． 【详解】解： ∵运算的结果为不是分式， ∴“（ ）”内的式子一定是含的单项式， ∴只有A选项符合题意． 故选：A． 6．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的除法，根据分式的除法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．若计算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则是解题的关键． 先根据分式除法法则计算，再根据结果为整式，得出“□”中的式子的可能式，即可得出答案． 【详解】解： = =， ∵运算结果为整式， ∴“□”中的式子应该是含有因式的式子， 只有选项C中符合题意， 故选：C． 8．若为整数，则能使分式的值为整数的为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的除法，分式的值，根据分式的除法进行计算，进而根据分式的值以及为整数，即可求解． 【详解】解： ∵分式的值为整数即为整数，为整数， 又∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 解答题 9．计算下列各题： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直接约分即可； （2）先把分子和分母分解因式，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （3）先把分子和分母分解因式，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （4）先把分子和分母分解因式，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 【点睛】本题考查了分式的乘除法：分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 【题型3.同分母分式加减法】 10．化简结果正确的是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减． 【详解】解：． 故选C． 11．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的减法运算，根据同分母分式减法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．化简结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同分母分式的加减法，运用同分母分式的加减法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C 13．对于正数x，规定．例如：， ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，分式的加法，由题意求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 故选为：． 【题型4.通分】 14．对分式和进行通分，则它们的最简公分母为 ． 【答案】6a2b2 【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母． 【详解】解：分式和的最简公分母为6a2b2． 故答案为：6a2b2． 【点睛】此题考查了最简公分母，解题的关键是知道确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 15．若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式的性质分别进行通分把分母变为，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴分式的分子应变为， 故选：A． 16．的最简公分母是 ，通分的结果为 ． 【答案】 【分析】此题考查分式的通分和最简公分母，根据最简公分母的定义和通分的法则进行解答即可． 【详解】解：的最简公分母是，通分的结果是， 故答案为：， 17．计算的正确结果是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了． 【详解】原式 . 故选B． 【点睛】本题考查分式的通分和分式的约分的运用，解题关键在于在解答的过程中注意符号的运用及平方差公式的运用． 解答题 18．（1）通分：和；（2）约分： 【答案】（1）；；（2） 【分析】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式． （1）找出两分母的最简公分母，通分即可； （2）原式变形后，约分即可得到结果． 【详解】解：（1）； （2）原式． 【题型5.最简公分母】 19．分式、的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的最简公分母，掌握最简公分母的计算是关键． 最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，由此即可求解． 【详解】解：分式、的最简公分母是， 故答案为： ． 20．分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 根据最简公分母的定义即可求出答案． 【详解】解：分式与的最简公分母是． 故选：A． 21．已知分式与（，是常数且的最简公分母为，则 ， ． 【答案】 3 5或10 【分析】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，理解最简公分母的定义是解题的关键． 根据最简公分母的定义，系数部分取分母系数的最小公倍数，变量部分取各变量因式的最高次幂，即可求出、的值． 【详解】解：第一个分式的分母为 ，第二个分式的分母为 ， 根据最简公分母的定义，其系数应为各分母系数的最小公倍数，字母部分应包含所有字母因式，且各字母的指数取其在各分母中出现的最大指数 ∵最简公分母为 ． ∴两个分母系数和的最小公倍数为，且的最高次幂为． ∵的最高次幂为 ， ∵两个分母系数和的最小公倍数为， 当2与互质时，它们的最小公倍数为，解得； 当2是的因数时，它们的最小公倍数为 综上，或， 解得： 或 ， 故答案为：，或． 22．把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 【详解】解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意； B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意； C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意； D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意， 故选：D． 【题型6.异分母分式加减法】 23．分式的计算结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加减法，在解答此类问题时要注意通分及约分的灵活应用．先通分，再把分子相加减即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 24．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的加减运算，解题的关键是熟悉运算法则． 根据，再合并同类项即可． 【详解】由， 故选：B． 25．已知，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了分式的通分与部分分式分解，掌握通分后通过比较分子的系数建立方程，直接获取系数关系是解题的关键． 通过部分分式分解，将等式右边通分后分子与左边分子比较系数，得到关于和的方程，直接得出的值 【详解】解：右边通分：， 与左边分母相同，故分子相等： 展开右边： 比较等式两边的系数，左边的系数为 4，右边为，因此：． 故答案为：4． 26．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法，分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键 根据分式的乘除法、分式的加减法法则分别计算判断即可． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选B． 解答题 27．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查分式的混合运算，熟练掌握运算性质是解题的关键： （1）根据异分母分式加减法法则计算即可； （2）先计算小括号，再计算除法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型7.分式乘除混合运算】 28．化简的结果为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，掌握乘除混合运算按从左到右顺序进行，除法转化为乘法后再计算是解题的关键． 根据运算顺序从左到右计算，除以分数相当于乘以倒数． 【详解】解：, ∴最后结果为 故选：B． 29．的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的乘除混合运算．把分式的分子因式分解，同时把除法变为乘法，进行约分即可． 【详解】解： 故答案为： 30．若运算的结果是整式，则“”内的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘除法，整式的定义，根据每个选项中所给的条件计算，再根据结果判断即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，结果是整式，故选项符合题意； B、，结果不是整式，故选项不符合题意； C、，结果不是整式，故选项不符合题意； D、，结果不是整式，故选项不符合题意； 故选：A． 31．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，掌握因式分解和分式的约分是解题的关键． 先将分式的除法转化为乘法，然后对分子和分母进行因式分解，最后通过约分简化表达式． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【题型8.分式乘方】 32．计算（）2•的结果是 ． 【答案】 【分析】直接利用分式的乘方，分式的乘法运算法则化简得出答案．． 【详解】解： 故答案为：. 【点睛】此题主要考查了分式的乘方和分式的乘法运算，正确化简分式是解题关键. 33．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘方运算，根据分式的乘方法则，分子分母分别乘方，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原题计算错误，不符合题意； C、，原题计算错误，不符合题意； D、，原题计算错误，不符合题意； 故选：A． 34．计算与，其结果（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分别根据分式的乘方法则计算出结果，再判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 解答题 35．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算． （1 ）先乘方，再计算乘除． （2 ）先把分子分母因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型9.含乘方的乘除混合运算】 36．计算 ． 【答案】 【分析】根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 37．计算：的结果是（　　） A．－ B． C．－ D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 先计算乘方，然后将除法转化成乘法，然后求解即可． 【详解】 ． 故选：C． 38．（1） ；              （2） ； （3） ；   （4） ； （5） ． 【答案】 【分析】（1）根据分式的乘法法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘法即可； （3）先算乘方，再算除法即可； （4）先算乘方，再算乘除法即可； （5）先算乘方，再算除法即可； 【详解】解：（1） （2）； （3）原式=； （4）原式=； （5）； 故答案为：，，，， 【点睛】本题考查了分式的乘、除、乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 39．关于代数式的值，以下结论不正确的是（    ） A．当取互为相反数的值时，的值相等 B．当取互为倒数的值时，的值相等 C．当时，越大，的值就越大 D．当时，越大，的值就越大 【答案】D 【分析】根据相反数的性质，倒数的性质以及不等式的性质来解决代数式的值即可； 【详解】当a取互为相反数的值时，即取m和-m，则-m+m=0， 当a取m时，① ，当a取-m时，② ， ①=②，故A正确； B、当a取互为倒数的值时，即取m和 ，则 ， 当a取m时，①，当a取时，② ①=②，故B正确； C、可举例判断，由＞1得，取a=2，3（2＜3） 则＜ ， 故C正确； D、可举例判断，由得，取a=，（＞） ， 故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了相反数的性质，倒数的性质，不等式的性质和代数式求值的知识，正确理解题意是解题的关键． 【题型10.整式与分式相加减】 40．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 41．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】先计算的值，再根c的正负判断的正负，再判断与的大小即可． 【详解】解：， 当时，，无意义，故A选项错误，不符合题意； 当时，，，故B选项错误，不符合题意； 当时，，，故C选项正确，符合题意； 当时，，；当时，，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断． 42．已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查求分式的值，其解题的关键是合理的变形及整体代入；由变形得，再对所求代数式进行变形，并整体代入求值即可； 【详解】解：， ， ． 故答案为：3. 解答题 43．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据分式的加减计算法则求解即可； （2）先计算乘方，再根据分式的乘除混合计算法则求解即可； （3）先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，再进行约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【题型11.分式加减混合运算】 44．计算： ． 【答案】 【分析】根据分式的加减混合运算求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减法运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算从而完成求解． 45．已知：，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知等式两边除以，求出的值，再代入即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的混合运算，化简求值，运用了整体代入的思想方法．解题的关键是利用了等式的两边同时除以不为零的数，等式仍然成立． 46．已知，则的值为 . 【答案】 【分析】将两边平方求出，进一步可得，即可求出． 【详解】解：∵，∴，即， ∴ ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查分式加减运算，平方根，算术平方根，解题的关键是掌握运算法则． 解答题 47．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，分式的加减乘除混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用分式的加减混合运算法则进行计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式化简，再根据分式的混合运算进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型12.分式加减乘除混合运算】 48．化简的结果为 ． 【答案】 【分析】先计算括号内的减法运算，再进行除法运算即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算顺序和法则是解题的关键． 49．化简得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 根据分式的运算法则，逐步化简即可． 【详解】解： ． 故选B． 50．对于，规定． （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】（1）根据新定义，将代入计算即可； （2）根据新定义，得，求出，然后将分组得，再计算即可． 【详解】解：（1）∵对于，规定， ∴当时，得： ， 故答案为：； （2）∵对于，规定， ∴， ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义，数字的变化规律，分式的混合运算，有理数的混合运算．理解新定义、确定是解题的关键． 【题型13.分式化简求值】 51．当时，分式的值等于 ． 【答案】 【分析】代入求值即可． 【详解】解：原分式方程有意义， 把代入分式得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 52．若，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式化简后代入求值，即可求解． 【详解】解： 当时，原式 故选：B． 53．已知正数、、满足：，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的化简求值．计算，然后整体代入求解即可． 【详解】解：因为 ， 所以， 解得． 故答案为：． 解答题 54．先化简，再求值： (1)，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． (2)，其中，满足． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算与代数式求值，掌握先化简分式，再根据条件代入求值，注意分母不为零的限制是解题的关键． （1）先计算括号内的分式减法，通分后合并，再将除法转化为乘法，因式分解约分，最后根据分母不为零的条件选择合适的值代入求值； （2）先计算括号内的分式加减，通分合并后，将除法转化为乘法，因式分解约分，再根据绝对值与平方的非负性求出的值代入求值． 【详解】（1）解：原式 ． ∵，， ∴，， ∴． 当时，原式． （2）解：原式 ． ∵， ∴，， ∴，， ∴原式 ． 【题型14.分式加减的实际应用】 55．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前 天完成任务． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式减法的应用．根据题意列出代数式，再计算，即可． 【详解】解：根据题意得： ， 即结果提前天完成任务． 故答案为： 56．小明的爸爸妈妈各有一辆汽车，但加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈各加油两次，第一次加油汽油单价都为元/升，第二次加油汽油单价都为元/升（），妈妈每次加满油箱，需加油升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢（    ） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算的实际应用，根据题意列出式子通分时解题的关键． 根据题意可得妈妈每次加油共需付款钱元，爸爸两次能加油的升数为，设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升，则，，故爸爸和妈妈两次加油的平均单价的差值与零的关系，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，得妈妈每次加油共需付款元，爸爸两次能加升油， 设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升， ∵爸爸两次加油总共花了元，妈妈加了升油， ∴爸爸两次加油的平均单价为，妈妈两次加油的平均单价为， ∵爸爸和妈妈两次加油的平均单价的差值为， ∴爸爸的加油方式更合算． 故选． 解答题 57．【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小．其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【尝试应用】 （1）已知长方形A的长为，宽为；长方形B的长为，宽为a．试比较两个长方形周长的大小； （2）若，，试比较代数式与的大小； 【联系生活】 （3）甲、乙两人分别用不同方式购买苹果和香蕉，两种水果的单价分别为元/千克和元/千克．甲共购买了千克水果，其中苹果m千克，香蕉m千克；乙共花费了元，其中买苹果n元，买香蕉n元．若甲和乙的花费相同，试比较甲、乙两人购买水果的总重量大小． 【答案】（1）当时，长方形A的周长大于B的周长；当时，长方形A的周长等于B的周长；当时，长方形A的周长小于B的周长；（2）；（3）乙购买水果的总重量更大 【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）先表示出两个长方形的周长，然后作差，再根据a的取值范围判断即可； （2）先求出，然后根据，，进行判断即可； （3）先根据甲和乙的花费相同，得出，再表示出乙购买的水果总量，，然后作差比较大小即可． 【详解】解：（1）长方形A的周长为：， 长方形B的周长为：， ， 当时，，此时长方形A的周长大于B的周长； 当时，，此时长方形A的周长等于B的周长； 当时，，此时长方形A的周长小于B的周长． （2）， ∵，， ∴， ∵，即， ∴． （3）∵甲和乙的花费相同， ∴， ∴， 乙购买水果总重量为， ， ∵，，，且， ∴， ∴， ∴乙购买水果的总重量更大． 【题型15.已知恒等式确定分子分母】 58．若，其中a，b为常数，则 ． 【答案】1 【分析】原等式整理变形后得：，可得，求出a、b即可得到答案． 【详解】解：已知等式整理得：， ∴， 可得， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了分式的变形求值，正确得到是解题的关键． 59．对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 解答题 60．已知是恒等式，请分别求、的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含义”是解本题的关键．先把分式恒等式去分母可得，再利用恒等建立方程组即可． 【详解】解：， ∴去分母可得：， ∴， 由恒等式可得： ， 解得：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题10分式题型突破讲义(2) 01 题型梳理 1.分式乘法 2.分式除法 基础 3.同分母分式加减法 4.通分 过关题 5.最简公分母 6.异分母分式加减法 7.分式乘除混合运算 8.分式乘方 能力 9.含乘方的乘除混合运算 10.整式与分式相加减 提升题 11.分式加减混合运算 12.分式加减乘除混合运算 13.分式化简求值 拓展 14.分式加减的实际应用 15.已知恒等式确定分子分母 拔高题 02 重点内容 .分式的乘除 1.法则（简单记）：分子乘分子，分母乘分母，结果约分至最简 2. 公式 号×号==器b≠0.d≠0分母不能为0) 3.关键： 先看分子分母能否因式分解(x2-1=(x+1)(x-1)),先约分再相乘， 更简便。 二、分式的除法 1.法则（简单记）：除以一个分式=乘这个分式的倒数，再按乘法计算 2.公式： 号÷号=号×是=是b≠0.c≠0d≠0) 3.关键： 倒数只倒除数（后面的分式），被除数不变；符号要跟着走（负号 约分后只剩1个) 三、易错提醒 试卷第1页，共3页 1. 所有分母不能为0，计算前先标注限制条件（不用写在最终结果，但要心 里有数)； 2. 整式（如x、2x+3)可以看成分母是1的分式（如x=卒），再计算。 二分式的加减（核心：先通分，再加减，分母不变分子算） 1、同分母分式加减（最简单，直接算） (1).法则：分母不变，只把分子相加减，结果约分至最简 (2)公式：是±是=芒6≠0) (3)关键：分子相加减时，若分子是多项式，要加括号（避免符号出错），再 去括号计算。 2、异分母分式加减（核心：先通分，变同分母再计算） (1)法则： ①找最简公分母（分母的最小公倍数，因式分解后取各因式的最高次幂）； ②通分（分子分母同乘同一个不为0的整式，使分母都变成最简公分母）； ③按同分母分式加减计算。 (2)步骤（简单记）：找公分母→通分·分子加减→约分 三、易错提醒 1.最简公分母找不对，通分就会错（优先因式分解分母，再找公分母）； 2.通分时，分子要和分母乘同一个整式，不能漏乘； 3. 结果必须约成最简分式（分子分母无公因式）。 总结（必记） 1.乘除：先约分，再乘倒（除法变乘法） 2. 加减：同分母直接算，异分母先通分再算； 3. 核心前提：所有分母不能为0，结果必为最简分式。 基础过关题 【题型1.分式乘法】 1. a2-4.a+3的结果是(） a2+6a+9a+2 A.0-2 B.1 C.a+2 D. a-2 a+3 a+3 a+3 a-3 试卷第1页，共3页 2.化简：a+b.15a2b 5ab a2-b2 3.计算：卫.y=( x-y xy A.x B. C.y D.I 4.定义两种运算：aAb=1 b +b’a*b a2-b,则man÷(m*n= 【题型2.分式除法】 5.若()÷a 若。十6。二6运算的结果不是分式，则()“内的式子可能是() A.ab B.a+b C.a-b D.日 6.计算2r-6÷x-3 x2-9x+3 的结果是」 7.若++计算的结果为整式，则口中的式子可能是(） x-6▣ 1 A.2-6 B.x2-6 C.x2-6x D.x-6 8.若a为整数，则能使分式+a+4的值为整数的a内一 a2-3aa-3 解答题 9.计算下列各题： 0)82y(4y 3x、6x (2)0-1÷a2-2a+1 a-22a-4 6)6x+92x-6 9-x2 x2+3x ④(-r*-2y+y2x-y xv x2 【题型3.同分母分式加减法】 10.化简2+上结果正确的是() aa A.1 B.日 C. 3 D. 3 a 1.计算2义-2x的结果是」 x-y x-y 12.化简，+少 结果是() 2x-y y-2x A.-2x+y B.-2x-y C.2x+y D 2x-v 试卷第1页，共3页 对做定点：4点有得)古是 f(2025)+f(2024)+…+f(2)+f(+f 【题型4.通分】 14、对分式6和衣进行通分，划它们的最简公分每为一 15若装分式与分式一 万通分后，分式2x-可的分母变为2(x-川x+,则 分式，的分子应变为() A.6x2 B.x(x+y) C.x2 D.3x2(x+y) 16.m+25 的最简公分母是」 通分的结果为 m-1m+2 17.计算 -a-1的正确结果是() a-1 A- 1 B. C.-2a-1 D. 2a-1 a-1 a-1 a-1 a-1 解答题 18,（1)通分：和：《2)约分： m2-n2 m2+2mn+n2 【题型5.最简公分母】 以分试品 少的最简公分母是一 1 一与1的最简公分母是() 20.分式2m+)与m+1 A.2m+2 B.m+2 C.m+1 D.m2-1 1 斑分式2与4，b是靠数且b>0)的最简公分母为10，划a b= 1 2 2公，把分式2：x-2x+3·x+3通分，下列结论不正确的是（ A.最简公分母是(x-2)(x+3)2 B. 1(x+3)2 x-2(x-2(x+3)2 x+3 2 2x-2 C.(x-20x+3)(x-2x+3 D. (x+3)2(x-2)(x+3)2 试卷第1页，共3页 【题型6.异分母分式加减法】 23.分式 $$\frac { 1 } { a + 1 } + \frac { 1 } { a \left( a + 1 \right) }$$ 一的计算结果是 24.计算 $$\frac { 1 } { 1 - x } + \frac { 2 } { x - 1 }$$ 的结果是( $$A . \frac { 1 } { 1 - x }$$ $$B . \frac { 1 } { x - 1 }$$ $$C . \frac { 3 } { x - 1 }$$ $$D . \frac { 3 } { 1 - x }$$ 25.已知 $$\frac { 4 x + 1 } { \left( x - 2 \right) \left( x - 5 \right) } = \frac { m } { x - 5 } + \frac { n } { x - 2 } ，$$ ， 则 m+n= . 26.已知 $$且 M = \frac { x } { x - 1 } ， N = \frac { 1 } { 1 - x } ，$$ 则下列结论正确的是 是 () A.M+N=-1 $$B . M - N = \frac { x + 1 } { x - 1 }$$ $$C . M \times N = \frac { 1 } { \left( x - 1 \right) ^ { 2 } }$$ D.M÷N=x 解答题 27.计算： $$\left( 1 \right) \frac { x ^ { 2 } } { x + 1 } - x + 1 ；$$ $$\left( 2 \right) \left( x - \frac { 1 } { x } \right) \div \frac { x ^ { 2 } - 2 x + 1 } { x } .$$ 能力提升题 【题型7.分式乘除混合运算】 28. .化简 $$x \div \frac { x } { y } ， \frac { 1 } { x }$$ 的结果为() $$A . \frac { x } { y }$$ $$B . \frac { y } { x }$$ C.xy D.1 29 $$2 9 . \frac { 1 } { a - 1 } \cdot \frac { a ^ { 2 } - 2 a + 1 } { a } \div \frac { 1 } { a }$$ 的 的结果是. 30.若 $$： \frac { \square } { a - b } \div \frac { 3 a } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } }$$ 运算的结果是整式，则“”内的式子可能是() A.ab B.a+b C.a-b $$D . \frac { 1 } { a }$$ 31.计算 $$\left( \frac { 8 1 - a ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + 6 a + 9 } \div \frac { a - 9 } { 2 a + 6 } \right) \cdot \frac { a + 3 } { a + 9 }$$ 的 的结果为. 【题型8.分式乘方】 32.计算 $$\left( - \frac { b ^ { 2 } } { 2 a } \right) \cdot \frac { 6 } { b ^ { 4 } }$$ 的结果是. 试卷第1页，共3页 33.下列计算正确的是() A会 c〔 _2x x2-d 其结果() A.相等 B.互为倒数 C.互为相反数 D.以上都不对 解答题 35.计算： j 2)2aa-4a+4 a2-4 【题型9.含乘方的乘除混合运算】 36.计算家中2四*了 4y2-x2 x-2y= 2x2+2xy 37.计算： -2x ÷x的结果是() x+y 8.x3 8x2 8x2 8x3 A.一x+ (x+y)3 C.一x+y可 D.(x+y) 38.(1)-2.4m2 2m 5n2 a(j- 3-3aw-(- (〔一 6(j月 试卷第1页，共3页 39.关于代数式a2+三的值，以下结论不正确的是() A.当a取互为相反数的值时，a2+,的值相等 a B.当a取互为倒数的值时，a2+号的值相等 C.当a>1时，4越大，a2+三的值就越大 a D.当0<a<1时，d越大，a2+的值就越大 a 【题型10.整式与分式相加减】 40.计算 x-2 -x-2= 41.由 1+c1 2+c2 值的正负可以比较A=)+C与；的大小，下列正确的是（) 2+c A.当c=-2时，A=} 2 B.当c=0时，A≠2 1 C.当c<-2时，A> 72 D.当c<0时，A<7 2,已知a2-3a+1=0,则4a-9a-2+的值为 解答题 43.计算： (1)a2 -a+1: a-1 (〔 【题型11.分式加减混合运算】 44.计算：a-1+ a+1 45.已知：a'-3a+1=0,则a+1-2的值为() a A.5-1 B.1 C.-1 D.-5 46.已知m-1=√6，则上+m的值为 解答题 47.计算： 试卷第1页，共3页 ①-上++y2 y x xy: (2)2 x2-1 1 x-1x2-4x+4x-2 【题型12.分式加减乘除混合运算】 48.化简m-n 2mn-n 的结果为 m m 49.化简 x-2x-6）】 +22x+4x+2得) 2 B.x+2 C.r-10 2 A. x+2 4 4 D.x+2 50.对于x>0,规定f(x)= x+1 【题型13.分式化简求值】 51.当x=-1时，分式+的值等于」 x-1 52.若a=-3,则4+12a+36=（) a2+6a A.-3 B.-1 C.3 D.6 53.已知正数a、b、c满足：bc=l,a+-3,b+上=1，则c+1= 1 解答题 54.先化简，再求值： )2将从1,2,3中选样-个合适的数作为的值代入求位。 x-2 2a2-6ab+962 5b2 其中a,b满足a+3+(b+2)2=0, a-2b a+2b- a-2b 拓展拔高题 【题型14.分式加减的实际应用】 55.为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树α棵.原计划每天种b棵树， 试卷第1页，共3页 由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前 天完成任务， 56.小明的爸爸妈妈各有一辆汽车，但加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我 加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、 妈妈各加油两次，第一次加油汽油单价都为x元/升，第二次加油汽油单价都为y元/升 （x≠y),妈妈每次加满油箱，需加油升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸 爸、妈妈谁更合算呢() A.爸爸 B.妈妈 C.一样 D.不确定 解答题 57.【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中， “作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差M-N,若 M-N>0,则M>N;若M-N=0,则M=N;若M-N<0,则M<N. 【尝试应用】 (1)己知长方形A的长为2a,宽为a-1(a>);长方形B的长为a+1,宽为a.试比较两 个长方形周长的大小： 2)若6>a>0,>0,试比较代数式号与本的大N 【联系生活】 (3)甲、乙两人分别用不同方式购买苹果和香蕉，两种水果的单价分别为Q元/千克和b元/ 千克(a≠b).甲共购买了2m千克水果，其中苹果m千克，香蕉m千克；乙共花费了2n元， 其中买苹果n元，买香蕉n元.若甲和乙的花费相同，试比较甲、乙两人购买水果的总重量 大小 【题型15.已知恒等式确定分子分母】 58,若x+2=2其中a,b为常数，则h= 2x+7 M N 59.对于任意的值都有(x+2-可x+2x,则M,N值为（） A.M=1,N=3B.M=-1,N=3C.M=2,N=4D.M=1,N=4 解答题 3x2-7x+2=3+a,+ b 60.已知C-x+=3+x一+x中是恒等式，请分别求a、b的值. 试卷第1页，共3页