专题20.6 勾股定理中的最短路径模型（四大模型精讲+分类讲练+培优训练 共40题）-2025-2026学年人教版数学八年级下册同步培优讲义

该初中数学单元复习讲义通过框架图系统梳理了勾股定理中最短路径的知识体系，将圆柱、长方体、阶梯、将军饮马四大模型按“条件-结论-证明-注意事项”逻辑呈现，清晰展现立体图形转化为平面问题的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“模型分类讲练”设计，如圆柱模型通过侧面展开构造直角三角形，培养空间观念；将军饮马模型结合对称转化，发展推理意识。典例与变式训练分层递进，闯关题覆盖不同难度，助力学生掌握“展开-连线-勾股”方法，支持教师实施精准教学与学生自主复习提升。

专题20.6 勾股定理中的最短路径模型 （第二十章 勾股定理） 【人教版八下●新教材】 知识简介 明确目标 1 四大模型精讲 1 模型精讲1.圆柱中的最短路径模型 1 模型精讲2.长方体中的最短路径模型 2 模型精讲3.阶梯中的最短路径模型 3 模型精讲4.将军饮马与空间最短路径模型 3 模型分类讲练 4 模型讲练一：圆柱中的最短路径模型 4 模型讲练二：长方体中的最短路径模型 8 模型讲练三：阶梯中的最短路径模型 13 模型讲练四：将军饮马与空间最短路径模型 17 优选题闯关训练 24 勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。 模型精讲1.圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 模型精讲2.长方体中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 模型精讲3.阶梯中的最短路径模型 条件：如图一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。 结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为 证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h， ∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线的长， 则由勾股定理得； 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是． 注意：展开—定点—连线—勾股定理 模型精讲4.将军饮马与空间最短路径模型     条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 模型讲练一：圆柱中的最短路径模型 【典例分析】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，圆柱高9厘米，底面周长24厘米，一只蚂蚁在圆柱底部外壁的点处，点在圆柱外壁与点相对且距上表面4厘米处，这只蚂蚁从点爬行到点的最短路程为 厘米． 【答案】13 【思路引导】本题主要考查了平面展开图、最短路径问题等知识点，掌握利用平面展开图求最短距离的方法是解题的关键． 先将圆柱侧面展开，再根据两点之间线段最短可知的长即蚂蚁爬行的最短路程，再利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：圆柱高9厘米，底面周长24厘米的展开图如下： 由题意可得：， 所以． 所以，这只蚂蚁从点爬行到点的最短路程为13厘米． 故答案为13． 【变式训练1】（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，有一个圆柱形的礼盒，上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一条丝带装饰礼盒，丝带沿侧面缠绕礼盒一圈，并且经过A，B两点．若礼盒高，底面圆的周长为，那么需要丝带的长度最少为 ． 【答案】52 【思路引导】本题考查了圆柱体的展开图和勾股定理的应用，准确的计算是解决本题的关键．将圆柱体展开如图，点为展开图长方形一边的中点，为底面圆周长的一半，再运用勾股定理求出即可得到解答． 【规范解答】解：将圆柱体展开如图，点为展开图长方形一边的中点，为底面圆周长的一半， ， 在中，， ， ∴需要丝带的长度最少为． 故答案为：52． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 米．       【答案】 【思路引导】本题考查圆柱表面绕线最短问题，核心是将圆柱侧面展开为长方形，将空间曲线转化为平面直角三角形的斜边，再利用勾股定理求解． 将圆柱侧面展开，每圈龙的长度与高度的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【规范解答】解：如图： 根据题意可得柱身高为米，底面周长为米， 有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点， 米，米， 米， 故雕刻在木柱上的巨龙长至少为米． 故答案为：． 【变式训练3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，圆柱的底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿侧面爬行到点，则爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理等知识，将侧面展开，构造直角三角形是解题的关键．将圆柱体侧面展开，利用勾股定理求出的长即可． 【规范解答】解：如图为圆柱体的侧面展开图， 圆柱体的底面周长为， 半周长为， 又， ， 沿着圆柱的侧面爬行到点，蚂蚁爬行的最短路程是． 故选：C． 【变式训练4】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，米，点E在CD上，米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．30米 D．米 【答案】B 【思路引导】本题考查了平面展开最短路径问题．要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，再根据勾股定理进行解答即可． 【规范解答】解：如图是其侧面展开图： （米），（米），（米）， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离为米． 故选：B． 模型讲练二：长方体中的最短路径模型 【典例分析】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，一个长方体形状的盒子（有盖）的长、宽、高分别是，，一只蚂蚁想从盒底的点处沿盒的外表面爬到盒顶的点处，蚂蚁爬行的最短路程是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线．分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段的长度，再进行比较即可． 【规范解答】解：设定字母如图所示： ①如图1，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得： ； ②如图2，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得： ； ③如图3，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：． ∵ ∴蚂蚁爬行的最短路程是． 故答案为：． 【变式训练1】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】25 【思路引导】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可． 【规范解答】解：由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是25，由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为25． 【变式训练2】（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点与点的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点．求蚂蚁需要爬行的最短距离． 【答案】 【思路引导】本题考查了最短路径问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键； 根据不同的切割方式可以有不同的路径，分别求出蚂蚁需要爬行的路程，最后比较大小即可． 【规范解答】解：将长方体的两个面展开，连接． 分三种情况： ①如图①，； ②如图②，； ③如图③，． ， 蚂蚁需要爬行的最短距离是． 【变式训练3】（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，若正方体盒子的棱长为2，M为的中点，则一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了两点之间线段最短、正方体的展开图、勾股定理等知识，先利用展开图确定最短路径，再由勾股定理求解即可，牢记相关概念和灵活应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，蚂蚁沿路线爬行路程最短， ∵ ，M为的中点， ∴， ∴ ． 故选：B． 【变式训练4】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从顶点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至顶点停止，则彩条的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了勾股定理，长方体侧面展开图，两点之间，线段最短等知识．根据题意画出长方体侧面展开图，作点关于的对称点，连接，交于，连接，则，得到彩条最短长度为．根据勾股定理求出的长即可得答案． 【规范解答】解：如图， 长方形为长方体侧面展开图，则，， 作点关于的对称点，连接，交于，连接，则，， ∴彩条最短长度为， 在中，． 故选：C． 模型讲练三：阶梯中的最短路径模型 【典例分析】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是多少？ 【答案】米 【思路引导】本题考查平面展开图—最短路径问题、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题是解题的关键． 先画出展开图，再运用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：如图：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽， 长为米；宽为4米． ∴最短路径为：（米）． 【变式训练1】（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）厘米；（3）； 【思路引导】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【规范解答】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 【变式训练2】（2025八年级上·四川成都·专题练习）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块，已知，，该木块的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（   ） A．13m B．10m C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，勾股定理．将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：展开图如下： 蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程为的长度， 由展开图得 ， （）， 故选：A． 【变式训练3】（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，和是一个三级台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为，和，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【规范解答】解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 即． 故答案为：． 【变式训练4】（25-26八年级上·全国·期末）在一个长为5米、宽为3米的长方形草地ABCD上，放着一个正三棱柱木块（如图），它的侧棱平行于AD，木块的主视图是边长为1米的正三角形．一只蚂蚁从点A处到点C处需要走的最短路程是 米． 【答案】 【思路引导】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意将木块展开，再利用两点之间线段最短是解题关键． 如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为米，因为长方形的宽为3米，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：如图， 将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长， 长方形的长为米， 长方形的宽为3米， 一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线， 米， 故答案为：． 模型讲练四：将军饮马与空间最短路径模型 【典例分析】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了平面展开-最短路径问题，根据圆柱的侧面展开图为矩形，可知蚂蚁需爬行的最短距离为线段，根据两点之间，线段最短可得解． 【规范解答】解：如图所示，蚂蚁需爬行的最短距离为线段， 故选：A． 【变式训练1】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【答案】(1)10 (2)①；② 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用、三角形三边关系、将军饮马模型以及数形结合思想，解题的关键是根据代数式的几何意义构造直角三角形，将代数问题转化为几何最值或求解问题。 （1）构造以、和、为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为的图形，过其中一个直角三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小值； （2）①构造以为公共直角边，斜边分别为、的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解的值； ②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值。 【规范解答】（1）如图（1），作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10． （2）解：①如图（2），作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图（4），当、、三点共线时，有最大值为． 【变式训练2】（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键 将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度； 【规范解答】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交的延长线于D，    则四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴，， 在中，． 故选B． 【变式训练3】（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【思路引导】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【规范解答】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 【变式训练4】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图所示，已知圆柱的一个底面周长为36，高，点在圆柱上底面的圆周上，点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的，为下底面圆的直径，小虫在圆柱外侧面爬行，从点处爬到点处，然后再从点处爬到点处，则小虫爬行的最短路程为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，化曲面为平面，正确画出图形是解题关键﹒根据题意画出图形，得到，，先求出，，根据勾股定理即可求出小虫爬行的最短路程为﹒ 【规范解答】解：如图，由题意得，， ∵点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的， ∴，， ∴小虫爬行的最短路程为﹒ 故答案为： 1．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，底面周长为，高为的圆柱体，在圆柱下底面有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，把圆柱体展开，连接，由两点之间线段最短，可知线段即为爬行的最短路径，再利用勾股定理解答即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【规范解答】解：如图，圆柱体侧面展开图为长方形，连接，则线段即为爬行的最短路径， ，，， ∴， 即蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是， 故选：． 2．（25-26八年级上·广东梅州·期中）某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键； 直接根据勾股定理求解即可． 【规范解答】解：由题意可知，从仓库到社区配送点的最短路径， 故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题．将圆柱体展开，利用勾股定理求出最短路径的长即可． 【规范解答】解：底面周长为，则半圆弧长为， 画展开图形如下： 根据勾股定理得． ∴它爬行的最短路程为， 故选：D． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（   ） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【规范解答】解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为6米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙长至少为（米）， 故选：A． 5．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，在等腰三角形中 ，分别是的高和中线，，，是上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C．13 D．12 【答案】B 【思路引导】本题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，等腰三角形的性质，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小是解题的关键． 利用等腰三角形的对称性找到点B的对称点C，连接，当时，线段的和最小，最小值为． 【规范解答】解：∵在等腰中，，是的中线， ∴，故点B关于的对称点是点C， 连接， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，即的长度， 故的最小值是． 故选：B． 6．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键 将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度； 【规范解答】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交的延长线于D，    则四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴，， 在中，． 故选B． 二、填空题 7．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米． 【答案】20 【思路引导】本题考查了平面展开-最短路径问题，熟练掌握该知识点是关键． 要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，U型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于米，然后问题可求解． 【规范解答】解：如图是其侧面展开图： 米，米，米， 在中，， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为20米； 故答案为：20． 8．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在底面周长约为6米的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱底（点 A）沿花柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶（点 C），B为的中点．已知装饰彩灯部分的柱身高约16米，则这串装饰彩灯至少长为 米． 【答案】20 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到答案． 【规范解答】解：如图，把圆柱体的侧面展开， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴米，米， ∴（米），则这串装饰彩灯至少长为米． 故答案为：20． 9．（25-26八年级上·重庆·期中）如图是一个长、宽、高的无盖长方体果盘，果盘侧面镂空，用一个隔板（厚度忽略不计）卡在中间把果盘分成两个大小相等的正方体，若在果盘内部顶点B处有一滴蜂蜜，果盘内部顶点A处的小蚂蚁想去吃蜂蜜（蚂蚁只能沿着底面和隔板表面行走，不能走边缘和镂空侧面），则小蚂蚁所走的最短路径长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平面展开—最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 把底面和隔板的两面展开，根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】解：如图， 则小蚂蚁所走的最短路径长， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，一个没有上盖的圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒下底面的点A处有一只蚂蚁，想沿盒壁外部爬行吃到盒外部正对面中部点B处的食物．若蚂蚁爬行的速度为．那么它至少需要 秒． 【答案】 【思路引导】按不同的展开方式，分类讨论：第一种情况：蚂蚁沿着圆柱体的侧面直接到达B点，利用勾股定理即可求解；第二种情况：蚂蚁由A点经过底面圆直达B点，此时爬行的距离为加上底面圆的直径；最后比较两种方式所用的时间即可求解． 本题考查了圆柱体中的最短路径问题，解答此题的关键是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”．解答此题时，熟练掌握勾股定理，圆周长公式，注意分类讨论． 【规范解答】解：分两种情况讨论： 第一种情况，蚂蚁沿着圆柱体的侧面直接从A点到达B点， 设圆柱侧面展开图中的为高，为底面周长， 此时：将圆柱体的侧面展开，连接，即为最短路径，如图， 根据题意有：， ∵为底面圆周长的一半， ∴， ∵B点为中点， ∴， 在中，（）， ∵蚂蚁的速度为， ∴蚂蚁需要的时间为：（s）， 即此时蚂蚁需要； 第二种情况：蚂蚁由A点经过底面圆直达B点， 连接，可知为底面圆的直径，圆柱体展开如图， ∵底面圆的周长为24， ∴底面圆的直径， ∵， ∴此时蚂蚁行走的距离为（）， ∴此时蚂蚁需要的时间为：（s）， ∵， ∴蚂蚁需要的最短时间为：， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程．（取） 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，将中间半圆展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，先求出的长，再利用勾股定理解答即可求解，找出蚂蚁爬行的最短路径是解题的关键． 【规范解答】解：如图，将中间半圆展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程， 由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴它至少要走的路程， 故答案为：． 12．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）如图，由20个棱长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度的平方是 ． 【答案】41 【思路引导】要解决蚂蚁从点爬到点的最短路线长度的平方问题，需将立体组合体的表面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”转化为直角三角形问题，再通过勾股定理计算．关键是确定展开后直角三角形两条直角边的长度． 【规范解答】由20个棱长为1的小正方体搭成组合体，观察结构可知：组合体的长为、宽为、高为．蚂蚁在立体表面爬行的最短路径，需将表面展开为平面．点与点在同一平面内形成直角三角形，其两条直角边分别为： 水平方向：宽与高之和，即； 垂直方向：长，即． 根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和．因此，最短路线长度的平方为： 故答案为：41 【考点剖析】本题的核心是将立体图形表面展开为平面图形，把空间中的最短路径问题转化为平面上的直角三角形问题，再利用勾股定理求解．关键在于准确分析组合体的长、宽、高，并选择合适的展开方式确定直角边长度． 13．（25-26八年级上·山东·期末）如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上中点，M为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 【答案】8 【思路引导】此题考查了轴对称——最短路线问题，连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论，熟知等腰三角形三线合一的性质，两点之间线段最短是解答此题的关键． 【规范解答】解：连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得：（）， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短（）， 故答案为：8． 14．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 米．       【答案】 【思路引导】本题考查圆柱表面绕线最短问题，核心是将圆柱侧面展开为长方形，将空间曲线转化为平面直角三角形的斜边，再利用勾股定理求解． 将圆柱侧面展开，每圈龙的长度与高度的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【规范解答】解：如图： 根据题意可得柱身高为米，底面周长为米， 有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点， 米，米， 米， 故雕刻在木柱上的巨龙长至少为米． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·北京西城·月考）如图，在等边中，点、在边上，并且满足，连接、，点为上一动点，连接、．若，则在点从运动到的过程中，最短时， ． 【答案】 【思路引导】本题考查了等边三角形的判定和性质，最短路径问题，轴对称的性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，构造对称点是解题的关键. 作点Q关于的对称点，连接，则交于点N，证明是等边三角形，当重合时，最小，此时在中求得最小. 【规范解答】解：作点Q关于的对称点，连接，则交于点N， 在等边中，， ， ， ，， 由轴对称的性质，得，， ， ， ， ， ，即， ， 是等边三角形， ， ， 当，即P，Q两点重合时，取得最小值， 此时，， 在中，， 当时，最小， ， ， 在中，， . 故答案为：. 三、解答题 16．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意画出对应的展开示意图是解题的关键． （1）展开图所示的长方形的一条对角线（经过点A）即为该扶手在展开图中的位置，据此作图即可； （2）利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图3所示，线段即为所求； （2）解：如图3所示，根据题意可得， 在中，由勾股定理得， 答：这一层圆形旋转楼梯的扶手长度为． 17．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），一滑板爱好者从B点滑到D点，求他滑行的最短距离． 【答案】 【思路引导】本题考查勾股定理的应用，正确画出展开图，熟练掌握勾股定理是解题关键．将半圆展开，展开后，、、三点构成直角三角形，根据两点之间，线段最短得出为最短距离，利用勾股定理即可得出答案． 【规范解答】解：将半圆面展开，如图所示， ∵，，． ∴在中，由勾股定理得． 答：他滑行的最短距离为． 18．（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）厘米；（3）； 【思路引导】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【规范解答】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 19．（23-24八年级上·山东枣庄·月考）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段_____+线段_____； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【应用拓展】（2）应用数形结合思想，已知，求的最小值． 【答案】[解决问题]①、；②；[应用拓展] 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键． [解决问题]①根据题意，设，则．将和转化为、，即可求解； ②如图，作点关于的对称点，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解； [应用拓展] 我们可以构造宽为，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则．则 ，同理求得的最小值． 【规范解答】[解决问题]①解：由题意得，， 故答案为：、；      ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为：；      [应用拓展] 如图，我们可以构造宽为，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则．则 作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为． 20．（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【思路引导】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【规范解答】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20.6 勾股定理中的最短路径模型 （第二十章 勾股定理） 【人教版八下●新教材】 知识简介 明确目标 1 四大模型精讲 1 模型精讲1.圆柱中的最短路径模型 1 模型精讲2.长方体中的最短路径模型 2 模型精讲3.阶梯中的最短路径模型 3 模型精讲4.将军饮马与空间最短路径模型 3 模型分类讲练 4 模型讲练一：圆柱中的最短路径模型 4 模型讲练二：长方体中的最短路径模型 5 模型讲练三：阶梯中的最短路径模型 7 模型讲练四：将军饮马与空间最短路径模型 9 优选题闯关训练 11 勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。 模型精讲1.圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 模型精讲2.长方体中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 模型精讲3.阶梯中的最短路径模型 条件：如图一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。 结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为 证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h， ∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线的长， 则由勾股定理得； 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是． 注意：展开—定点—连线—勾股定理 模型精讲4.将军饮马与空间最短路径模型     条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 模型讲练一：圆柱中的最短路径模型 【典例分析】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，圆柱高9厘米，底面周长24厘米，一只蚂蚁在圆柱底部外壁的点处，点在圆柱外壁与点相对且距上表面4厘米处，这只蚂蚁从点爬行到点的最短路程为 厘米． 【变式训练1】（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，有一个圆柱形的礼盒，上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一条丝带装饰礼盒，丝带沿侧面缠绕礼盒一圈，并且经过A，B两点．若礼盒高，底面圆的周长为，那么需要丝带的长度最少为 ． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 米．       【变式训练3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，圆柱的底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿侧面爬行到点，则爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，米，点E在CD上，米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．30米 D．米 模型讲练二：长方体中的最短路径模型 【典例分析】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，一个长方体形状的盒子（有盖）的长、宽、高分别是，，一只蚂蚁想从盒底的点处沿盒的外表面爬到盒顶的点处，蚂蚁爬行的最短路程是 ． 【变式训练1】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 【变式训练2】（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点与点的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点．求蚂蚁需要爬行的最短距离． 【变式训练3】（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，若正方体盒子的棱长为2，M为的中点，则一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（   ） A．3 B． C． D． 【变式训练4】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从顶点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至顶点停止，则彩条的长度最短为（   ） A． B． C． D． 模型讲练三：阶梯中的最短路径模型 【典例分析】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是多少？ 【变式训练1】（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【变式训练2】（2025八年级上·四川成都·专题练习）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块，已知，，该木块的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（   ） A．13m B．10m C． D． 【变式训练3】（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，和是一个三级台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为，和，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为 ． 【变式训练4】（25-26八年级上·全国·期末）在一个长为5米、宽为3米的长方形草地ABCD上，放着一个正三棱柱木块（如图），它的侧棱平行于AD，木块的主视图是边长为1米的正三角形．一只蚂蚁从点A处到点C处需要走的最短路程是 米． 模型讲练四：将军饮马与空间最短路径模型 【典例分析】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【变式训练2】（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【变式训练4】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图所示，已知圆柱的一个底面周长为36，高，点在圆柱上底面的圆周上，点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的，为下底面圆的直径，小虫在圆柱外侧面爬行，从点处爬到点处，然后再从点处爬到点处，则小虫爬行的最短路程为 ． 1．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，底面周长为，高为的圆柱体，在圆柱下底面有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东梅州·期中）某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（   ） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 5．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，在等腰三角形中 ，分别是的高和中线，，，是上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C．13 D．12 6．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米． 8．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在底面周长约为6米的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱底（点 A）沿花柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶（点 C），B为的中点．已知装饰彩灯部分的柱身高约16米，则这串装饰彩灯至少长为 米． 9．（25-26八年级上·重庆·期中）如图是一个长、宽、高的无盖长方体果盘，果盘侧面镂空，用一个隔板（厚度忽略不计）卡在中间把果盘分成两个大小相等的正方体，若在果盘内部顶点B处有一滴蜂蜜，果盘内部顶点A处的小蚂蚁想去吃蜂蜜（蚂蚁只能沿着底面和隔板表面行走，不能走边缘和镂空侧面），则小蚂蚁所走的最短路径长为 ． 10．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，一个没有上盖的圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒下底面的点A处有一只蚂蚁，想沿盒壁外部爬行吃到盒外部正对面中部点B处的食物．若蚂蚁爬行的速度为．那么它至少需要 秒． 11．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程．（取） 12．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）如图，由20个棱长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度的平方是 ． 13．（25-26八年级上·山东·期末）如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上中点，M为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 14．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 米．       15．（25-26八年级上·北京西城·月考）如图，在等边中，点、在边上，并且满足，连接、，点为上一动点，连接、．若，则在点从运动到的过程中，最短时， ． 三、解答题 16．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 17．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），一滑板爱好者从B点滑到D点，求他滑行的最短距离． 18．（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 19．（23-24八年级上·山东枣庄·月考）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段_____+线段_____； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【应用拓展】（2）应用数形结合思想，已知，求的最小值． 20．（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $