广东深圳外国语学校2025-2026学年高三第五次阶段考试数学试题

绝密★启用前 深圳外国语学校2025一2026学年度高三年级第五次阶段性考试 数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效， 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1已知袋合A女∈N+0,B=zlg≤ },则A∩B= A.{1,2 B.{1,2,3} C.{0,1,2} D.{1} 2.若复数之满足（之+1）i=3+x(i为虚数单位)，则z= A.1 B.√2 C.3 D.√5 3.若1og,(2x-y)=2,则1+3的最小值为 B. 2 C.27 4.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高均为3，侧面积之比为2：3，则圆锥的体积为 A.27π B.36π C.72π D.108π 5.甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，若甲和乙之间恰好有1人，且丙和丁不相邻，则不同排法共有 A.16种 B.20种 C.24种 D.28种 6.已知在三角形ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,D是BC的中点，且AP=PD,CQ=2QP, 则QB·QC= A.-9 B.-16 C.-21 D.-24 7.设数列{am}的前n项和为Sm,已知a1=l,an S+2-1D,则：最大时m n A.2 B.3 C.4 D.5 8.设1：分别是函数f)=a”,4+工与gx)=10g.c--7的零点，其中a>1,> x x1>0,则x1十√5x2的取值范围是 A.(2,4] B.(2√3,4] C.(2,6十√2) D.(2√3，√6+√2) 高三数学第1页（共4页）】 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是 符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分 9.函数f(x)=23sin(ax十p)(u>0,g≤)的部分图象如图所示，A为图象的最高点，B,C 为图象与x轴的交点，∠BAC=了，OC=2OB,则下列说法正确的是 A.w=4 B两数✉)在(，)上单调递塔 C.函数f(x)在(0,2)上的值域为(3,2√3] D.若f(a) 则sm(a+= 63 0,已知正四棱台ABCD-AB,CD,中AB=4,A,B,=2,棱台体积为282点E为CC,的甲 点，则下列说法正确的有 A.该四棱台的高为2 B.AC1∥平面BDE C.该四棱台的外接球表面积为20π D,点C到平面BDE的距离为25 11.在数列{an}中，a1=a>0,am+1= 2am+1 am十2 (n∈N),则下列结论成立的是 A.数列一1 am+1/ 是等比数列 B,当a=2时，数列a.十1)(a+1十1) 3n+1 }的前n项和小于1 2 .2 C.当2<a<3时，3a<a226-1K3as 10 4 D.当2<a<3时，a2o25十a202m>3a2026-3 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知(x十2)"(n∈N*)的展开式中，第4项系数与第6项系数之比为5：6，则n= l3.已知函数f(x)=x2-ax十2lnx有两个不同的极值点x1和x2,f(x1)十f(x2)<t(x1十 x2)恒成立，则实数t的取值范围是 x2 y2 14.已知双曲线C:a6=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F2,FF,=2c,双曲线两 条渐近线分别为1，l,过点F,作1的平行线交1：于点A,若c0s∠F,AF,=a6 c2,则双 曲线的离心率为 高三数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(13分)在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且有(sin2B+sinC-sin2A)[cosA+ cos(C-B)]=2 sin2B sin2C. (1)求角A; (2)若D为BC中点，且AD=√3，求△ACD面积的最大值. 16.(15分)如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD为菱形，∠A1AB=∠A1AD,点 O为AC的中点，A1O⊥AC. (1)求证：平面ACC1A1⊥平面ABCD; (2)若直线AA1与平面ABCD所成角为60°，∠BAD=60°，求平面 ABB1A1与平面A,C1D夹角的余弦值. 17.（15分)已知函数f(x)=x2-a.x-a21nx(a≠0). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若a>0,证明不等式f(x)+a2e1≥0恒成立. 高三数学第3页（共4页） I y &.(17分)已知椭圆C:无十1(@>b>0的离心率为)过右焦点F的直线与椭圆交于A B两点，当AB⊥x轴时，|AB|=3. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点F的另一条直线与椭圆交于D,E两点，满足直线AB与直线DE斜率之积为1， 线段AB与线段DE的中点分别为M,N, (ⅰ)证明：直线MN过定点； (iⅱ)求△FMN面积的最大值. 19.(17分)乒乓球作为我国的“国球”，一直以来都深受广大人民群众的喜爱.某学校高三年级将 要举办乒乓球比赛，为更好备战，甲、乙、丙三位选手练习打乒乓球，每局均分胜负，第一局 甲、乙对打，丙轮空，此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，每局双方获胜的概率相同， 每局的结果相互独立. (1)求前五局中甲恰好参与了四局的概率； (2)求第n局为乙、丙对打的概率； (3)若至多进行12局练习，且如果有选手先获得6局胜利则提前结束练习，记总共练习局数 为X,求X的分布列与期望 高三数学第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 深圳外国语学校2025—2026学年度高三年级第五次阶段性考试　数学 参考答案 1、 选择题：每小题5分，共40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C D C B B 2、 选择题：每小题6分，共18分。 题号 9 10 11 答案 ACD ABD BD 说明：第9、10题全部选对得6分，选对一个得2分，有选错得0分；第11题全部选对得6分，选对一个得3分，有选错得0分. 三、填空题：每小题5分，共15分。 12. ； 13. ； 14. . 1．A【详解】因为，，所以. 2．D【详解】，所以. 3．B【详解】由，因为，， 所以，当且仅当，即时取等号. 4．C【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积之比为，所以即，故，故圆锥的体积为. 5．D【详解】甲和乙之间恰好有1人，有两种情况： 甲和乙之间为丙或丁，则丙丁一定不相邻，有种， 甲和乙之间为戊，则仅当甲乙在二四位符合条件，有种，共有种. 6．C【详解】在三角形中，，三角形为直角三角形，是的中点，所以，由题意得，是的中点，所以，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则由得，所以，，则. 7．B【详解】，当时， ， 则，即，所以数列是公差为4的等差数列． 又，则．令，则，令，图象开口向上，对称轴为，即在上单调递增，又，，，即，，故最大时. 8．B【详解】由，依题有，即，所以， 又，所以为函数与函数图象交点的横坐标，为函数与函数图象交点的横坐标，因为函数与的图象关于直线对称，函数，即，图象是以原点为圆心，2为半径的半圆，在第一象限的部分也关于直线对称，由知点与关于直线对称，则，即，令，，，所以，，，则. 9．ACD【详解】对于选项A，由于为等腰三角形，且，故为等边三角形，其高为，则，所以函数的周期，即，所以.又，所以，图象过点，结合五点作图法可知，所以，所以，故A正确. 对于选项B，当时，，函数不是单调递增，故B错误. 对于选项C，当时，，所以函数的值域为，故C正确. 对于选项D，因为，，即， 故，故D正确. 10．ABD【详解】设棱台的上下底面中心分别为，  对于A选项，由台体体积公式可知，该正四棱台的体积为，解得，故A正确； 对于B选项，当点为的中点时，易知为的中点，所以，因为平面，平面，故平面，故B正确； 对于C选项，易知该正四棱台外接球球心在直线上，设球的半径为， 因为正方形的边长为，正方形的边长为， 所以,，因为，所以球心在四棱台外，设，则，由可得，解得， 故，因此，该四棱台的外接球表面积为，故C错误； 对于D选项，，由，，平面得平面，即，，，所以点到平面的距离为，故D正确. 11．BD【详解】对于A选项，当时可得，所以，此时不是等比数列，当时因为，所以，， 两式相除，得，此时是以为公比的等比数列，故A错误； 对于B选项，当时，，故，，，所以， 所以数列的前项之和为，故B正确； 对于C选项，当时记，则，，，则，所以，故C错误； 对于D选项，，所以，故D正确. 12．6【详解】二项式的展开式的第项为：， 所以第4项的系数为，第6项的系数．又第4项系数与第6项系数之比为，所以，所以，根据存在第6项，即解得． 13．【详解】由题意知的定义域为， 且，令，得，此方程有两个不相等的正根，则，即，则，又，则恒成立，因为函数在上单调递增，故，即，所以. 14．【详解】根据对称性，不妨设在第一象限，直线交于点，为坐标原点，因为双曲线渐近线方程为，即，所以为等腰三角形，，，，则，记，，则， ，因为函数在上单调递减，所以，因为，所以， 所以是等腰三角形，，由为三角形中位线得，所以，，所以， 化简得，即，所以离心率. 四、解答题 15．（13分） 解：（1）由正弦定理得， 由余弦定理得，即，……2分 又因为， 故 ， 整理得，…………………………………………………4分 ，，，，.……………6分 （2）由题意知，， 则，……8分 ，， ，（当且仅当时等号成立），…………………11分 的面积为， 则面积的最大值为.…………………………………………………………13分 16．（15分） 证明：（1）连接，，因为底面为菱形，所以为和的中点，， 因为，所以，，则，………2分 因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面.……………………………6分 解：（2）由（1）知，，两两垂直，如图，以，， 所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，因为平面，所以为直线与底面所成角， 则， 因为底面为菱形，，设，则，， 易知，，，，，，，则，，，.………………………………………………………………………………9分 设平面和平面的法向量分别为和， 则即 令，则，，所以，………………………………11分 则即 令，则，，所以，…………………………………13分 设平面和平面夹角为， 则， 即平面和平面夹角的余弦值为.………………………………15分 17．（15分） 解：（1）函数的定义域为，，…2分 ①当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. ②当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，上单调递减，…………………………………4分 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，上单调递减.…………………………5分 证明：（2）时，由（1）知在上单调递增，上单调递减， 所以，…………………………………………………………6分 要证，即证，即证， 因为，即证.……………………………………………………………8分 ①当时，成立，符合题意；…………………………………9分 ②当时，设，则，所以在上单调递增，要证，即证，即证， 即证，即证，…………………………………………………………12分 设，，在上单调递增，上单调递减.又，所以恒成立，得证. 综上所述，时，.………………………………………………15分 18．（17分） 解：（1）由题意， 过右焦点作垂直轴的直线，交椭圆于， 代入，则， 所以，则，， 所以椭圆方程为.…………………………………………………………3分 （2）(i)由（1）可得，设， 由题意，直线斜率存在且不为0，设直线， 联立，整理得， 所以，则，，………………5分 所以，，即， 设，则依题意，，同理有，……7分 则直线斜率为， 所以直线的方程为， 即直线的方程为，过定点.……………………………………10分 (ii)设，则直线过，在轴同侧，所以，………………………………13分 令，则，………………14分 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.………17分 19．（17分） 解：（1）记“前五局中甲恰好参与了四局”为事件，记某选手获胜为“√”，失利为“×”， 轮空为“○”，则前四局甲有以下四种情况为恰好参与了四局： ① ×○√√，第五局一定参与，概率为； ② √×○√，第五局一定参与，概率为； ③ √√×○，第五局一定参与，概率为； ④ √√√×，第五局一定轮空，概率为； 故所求概率为.………………………………………………5分 （2）记第局有甲参与的概率为，则第局有甲参与的概率为， 若第局有甲参与，则第局有甲参与的概率为； 若第局没有甲参与，则第局一定有甲参与，所以，……7分 即，因为，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，…………9分 所以第局乙、丙对打，即没有甲参与的概率为.…………10分 （3）依题意，记为总共练习局数，则可取6，7，8，9，10，11，12，……11分 因为除第一局之外，任何选手轮空之前必为失利，获胜之后必不轮空，即“×○”在一名选手对局结果中会相邻出现（除第一局为“○”和最后一局为“×”之外），则丙不会在第6，8，10局结束之后刚好胜满6局（因为丙第一局为“○”，最后一局需要丙自己获胜，则前面的对局过程必会有自然数对的相邻“×○”），同理甲、乙不会在第7，9，11局结束之后刚好胜满6局，且前11局至多只会有1人胜满6局. 故，8，10时是以甲或乙获胜结束（甲、乙情况相同）， ，（最后一局甲胜，前7局甲有连续两局为“×○”，且“○”当局概率为1，其余均为“√”）， 同理，…………………………………………………13分 ，9，11时是以丙获胜结束， 同理，，， 所以，………………………………15分 故的分布列如下： 6 7 8 9 10 11 12 期望为. ……………………………………………………………………………………………17分 2 学科网（北京）股份有限公司 $