精品解析：河南三门峡市2025-2026学年上学期期末检测高二数学

2025-2026学年度上学期期末检测 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用过两点斜率公式，即可求解. 【详解】依题意，得，解得， 故选：C． 2. 双曲线的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令可得. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即． 故选：C. 3. 以直线：恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先需要求出直线恒过的定点，然后根据圆的标准方程（其中为圆心坐标，为半径）来确定圆的方程. 【详解】将直线的方程变形为 令，解得，. 所以直线恒过定点，即圆心坐标为. 已知半径，所以圆的标准方程. 展开可得，即. 故选：D. 4. 如图，空间四边形，点在上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于的表达式. 【详解】连接，如下图所示： 因为点为中点，则， 又， 所以， 故选：B. 5. 在等比数列中，，且，，则等于（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比中项的性质可知求得的值，进而根据韦达定理判断出和为方程的两个根，求得和，则可求． 【详解】解：，而， 和为方程的两个根， 解得，或， ， ，， ， 故. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的性质和等比数列的通项公式，解题过程灵活利用了韦达定理，把数列的两项作为方程的根来解，简便了解题过程． 6. 在正三棱柱中，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取中点，连接，建立空间直角坐标系，利用向量法可求直线与所成角的余弦值. 【详解】因为正三棱柱中，，所以为正三角形， 则取中点，连接，所以，平面内作， 以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则有，，，， 则，， 记直线所成角为，． 故选：B． 7. 椭圆可以看作圆沿定直线方向拉伸或压缩而得.如图，是圆上一动点，在轴上的投影为，则满足的动点的轨迹是椭圆.若椭圆的离心率，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由相关点法求出椭圆的轨迹方程，再由离心率，列方程代入解方程即可得出答案. 【详解】设圆的方程为， 因，则， 所以，即， 因为是圆上一点，所以， 所以，即，所以， 而椭圆的离心率为：， 所以，解得：. 故选：A. 8. 若数列满足，且不等式对一切正整数恒成立，则的最大值（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由已知数列的递推式，可得，将换为，两式相减求得，分离参数后利用基本不等式求解. 【详解】由于， 当时，，即， 当时，， 又， 以上两式相减可得，得，上式对也成立， 所以恒成立即为恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，则下列结论正确的是（ ） A. 当实数时， B. 当实数时，使得 C. 若与垂直，则 D. 若与平行，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由空间向量模长、数量积的坐标运算判断A、B，由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数判断C、D. 【详解】由，则，A对， 由，则，B对， 若与垂直，则，可得，C对， 若与平行，则，显然，不存在使等式成立，D错. 故选：ABC 10. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. 数列为等比数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的通项公式为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，结合等比数列的定义，求出通项公式，依次求解判断各个选项. 【详解】由，易知，则，即， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； ，即， ，，故A正确，D错误； 又，故C错误. 故选：AB. 11. 已知为椭圆的左、右焦点，为上一点，的离心率为为的一个动点，轴，垂足为，线段的中点为，则（ ） A. 椭圆的短轴长为2 B. 使得的点有4个 C. 点所在的轨迹方程为 D. 的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据点在椭圆上，离心率为求出从而得出椭圆的标准方程，根据椭圆的定义及对称性判断A、B；设，根据轴，垂足为，线段的中点为，得出关系式代入椭圆方程中化简判断C；先判断点与圆位置关系，然后计算点到圆的圆心的距离，从而得出与判断D. 【详解】将的坐标代入的方程，得①， 因为，所以②， 联立①②解得：，故方程为， 所以，则短轴长为，A对； 设为的上顶点，如图所示： 根据椭圆的定义得：，，所以， 又，所以，则，即的最大值为， 由椭圆的对称性知使得的点仅有2个，B错； 设，如图所示： 因为轴，垂足为，所以， 又线段的中点为，则， 因为为的点，所以，即，也即，C对； 由，所以点在圆外， 点到圆的圆心的距离为， 所以，， 故的取值范围为，D错. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与直线平行，则实数______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用两条直线平行列式计算得解. 【详解】由直线与直线平行， 得，所以或. 故答案为：或 13. 如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围. 【详解】过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得：，所以，故的周长的取值范围为. 故答案为： 14. 已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 两式作差得，所以， 两式再作差得，可得数列的偶数项是以4为公差的等差数列，从起奇数项也是以4为公差的等差数列. 若对恒成立，当且仅当. 又，， 所以，解得：. 即首项的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和满足，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由，，可得求出，从而可得的通项公式； （2）由（1）可得，从而可得，然后利用裂项相消求和法可求得 【详解】解：（1）设等差数列的公差为， 因为，. 所以，化简得，解得， 所以， （2）由（1）可知， 所以， 所以 【点睛】此题考查等差数列前项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题 16. 已知椭圆：的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为. （1）求椭圆的离心率； （2）若直线与椭圆相交于，两点，若的面积为(为坐标原点)，求椭圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由条件可得，再根据, 求出，可得答案； (2)联立直线与椭圆方程可得，，，可得AB弦长，求出原点到直线的距离，代入面积公式即可求解. 小问1详解】 椭圆上顶点的坐标为，左右顶点的坐标分别为，， 所以，即.则，又，， ； 【小问2详解】 设，， 由得：， ，，， ， 又原点到直线的距离，， 即，解得，满足，， 故椭圆的方程为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，分别为棱、的中点，且. （1）证明:平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求四棱锥的高. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行. （2）利用空间向量，结合给出的二面角的余弦值，求四棱锥的高. 小问1详解】 取中点，连接. 因为四边形为直角梯形，且，，，， 所以. 又平面，平面，所以，. 所以两两垂直，所以可以为原点，建立如图空间直角坐标系， 又，设， 则，，，，，. 又分别为的中点，所以，，所以. 又平面的法向量可取， 因为，所以， 且平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）得，，，. 设平面的法向量为， 则，可取； 设平面的法向量为， 则，可取. 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以. 所以四棱锥的高为. 18. 已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为． （1）求的方程； （2）直线与相交于两点． （i）是坐标原点，若的面积为，求的值； （ii）设的左焦点为，是否存在，使得恒成立，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意有，结合双曲线的参数关系及点线距离公式列方程求参数值，即可得方程； （2）（i）设，联立直线与双曲线，并应用韦达定理及三角形面积公式列方程求参数值；（ii）应用弦长公式得到关于参数的表达式，化简即可得结论. 【小问1详解】 设焦距为，则，所以，即， 其渐近线方程为， 所以焦点到渐近线的距离为，即， 所以，所以的方程为； 【小问2详解】 （i）设，联立，化简得， ，则， 所以，解得， 所以的值为． （ii）由（i）知． 所以， 所以. 19. 已知数列中，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）设点，，.当为等腰三角形时，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】周（1）由等比数列的定义即可证明； （2）由（1）得，再由累加法即可求出数列的通项公式； （3）设是的三个顶点.分别讨论，和是顶角， 由等腰三角形中的垂直关系求解即可得出答案. 【小问1详解】 由已知得，且. 所以是首项为1，公比为的等比数列； 【小问2详解】 由（1）得， 所以，，……，，， 由累加法得. 所以，所以，且符合上式，故数列的通项公式为； 【小问3详解】 设是的三个顶点. ①若是顶角，设点为边的中点，则. 当为等腰三角形时，，则，即，显然不成立，故舍去； ②若是顶角，设点为边的中点，则. 由题意得，则.当为等腰三角形时，，则，显然不成立，故舍去； ③若是顶角，设点为边的中点，则. 当为等腰三角形时，，则. 整理得，即，故，解得. 综上，当为等腰三角形时，的值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期末检测 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 3. 以直线：恒过定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，空间四边形，点在上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，，且，，则等于（ ） A. 6 B. C. D. 6. 在正三棱柱中，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 椭圆可以看作圆沿定直线方向拉伸或压缩而得.如图，是圆上一动点，在轴上的投影为，则满足的动点的轨迹是椭圆.若椭圆的离心率，则（ ） A. B. C. D. 8. 若数列满足，且不等式对一切正整数恒成立，则最大值（ ） A 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，则下列结论正确的是（ ） A. 当实数时， B. 当实数时，使得 C. 若与垂直，则 D. 若与平行，则 10. 已知数列首项，且满足，则（ ） A. B. 数列为等比数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的通项公式为 11. 已知为椭圆的左、右焦点，为上一点，的离心率为为的一个动点，轴，垂足为，线段的中点为，则（ ） A. 椭圆的短轴长为2 B. 使得的点有4个 C. 点所在的轨迹方程为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与直线平行，则实数______． 13. 如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是_____． 14. 已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和满足，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 已知椭圆：的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为. （1）求椭圆的离心率； （2）若直线与椭圆相交于，两点，若的面积为(为坐标原点)，求椭圆的标准方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，分别为棱、中点，且. （1）证明:平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求四棱锥的高. 18. 已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为． （1）求的方程； （2）直线与相交于两点． （i）是坐标原点，若的面积为，求的值； （ii）设的左焦点为，是否存在，使得恒成立，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 19. 已知数列中，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）设点，，.当为等腰三角形时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $