第三十一章 随机事件的概率（单元自测·提升卷）数学冀教版九年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元自测 第三十一章 随机事件的概率·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．将一枚图钉（如图样式）随意向上抛起，虽然落定后的结果只有两种：“针尖朝上”或“针尖触地”，但由于其形状比较特殊，我们无法用分析的方法预测“针尖触地”这一事件发生的概率．数学实践小组通过做抛图钉试验，记录抛掷次数与针尖触地的频数，计算针尖触地的频率，绘制针尖触地的频率随抛掷次数变化趋势图．据此，“抛掷一枚普通图钉，落定后针尖触地”发生的概率约是（   ） A．0.45 B．0.46 C．0.47 D．0.50 2．下列事件属于确定事件的是（    ） A．抛掷一枚各面分别标有1~6点正方体骰子6次，朝上的点数都是6 B．清明时节雨纷纷 C．打开电视，它正在播广告 D．太阳每天从西方升起 3．下列说法正确的是（    ） A．检测神舟十八号载人飞船零件的质量采用全面调查 B．“清明时节雨纷纷”是必然事件 C．如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨 D．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定 4．下列说法正确的是（　　）． A．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件 B．“概率为0.0001的事件”是不可能事件 C．“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件 D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 5．在0，1，2三个数中任取两个，组成两位数，则在组成的两位数中是奇数的概率为(   ) A． B． C． D． 6．武汉旅游资源丰富，古琴台历史悠久、东湖绿道适合骑行、木兰天池沁人心脾、省博物馆享有盛誉．小宜打算端午期间从这四个景点中随机选择两个不同的景点去旅游，则他刚好选到“古琴台”和“东湖绿道”的概率是（    ） A． B． C． D． 7．投掷一枚质地均匀的硬币4次，其中3次正面向上，1次反面向上，则第5次掷出反面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 8．在一个不透明的口袋中，放入五个完全相同的小球，每个小球上分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”中的一个（不允许重复），从口袋里同时摸出两个小球，则下列事件是随机事件的是（    ） A．两个小球上数字之和等于1 B．两个小球上数字之和大于1 C．两个小球上数字之和等于9 D．两个小球上数字之和大于9 9．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（  ） A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的” B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上” C．在装有个红球和个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球” D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是 10．从标有数字1，2，3，…，20的20张卡片中任意抽取一张，下列事件中，可能性最大的是（    ） A．卡片上的数字是质数 B．卡片上的数字是2的倍数 C．卡片上的数字是合数 D．卡片上的数字是3的倍数 11．连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘．将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（    ） A． B． C． D． 12．从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为，，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（  ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、平行四边形、直角三角形图案的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同），现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中心对称图案的卡片的概率是 ． 14．一名职业篮球球员某次投篮训练结果记录如图所示，由此可估计这名球员投篮800次，投中的次数约为 次． 15．从3，0，，，这五个数中，随机抽取一个数作为m的值，则使函数的图象经过第一、第三象限，且使关于x的方程有实数根的概率是 ． 16．从不等式的负整数解中任意取一个数作为的值，则关于的分式方程的解是正整数的概率为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）一个不透明的盒子里装有15张红色卡片，20张黄色卡片，12张蓝色卡片和若干张黑色卡片，每张卡片除颜色外都相同，从中任意摸出一张卡片，摸到红色卡片的概率是0.25． (1)从中任意摸出一张卡片，摸到蓝色卡片的概率是多少？ (2)求盒子里黑色卡片的个数． 18．（8分）一个不透明的口袋里有10个除颜色外形状大小都相同的球，其中有4个红球，6个黄球． (1)从中随机摸出一个球，则“摸到黑球”是 事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）； (2)若从中随机摸出一个球是红球的概率为，求袋子中需再加入几个红球？ 19．（8分）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． (1)若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； (2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 20．（8分）2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题． (1)参加这次调查的学生总人数为____________人； (2)扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是__________； (3)将条形统计图补充完整； (4)在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 21．（8分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、4、x，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表： 解答下列问题： （1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概 率附近．试估计出现“和为7”的概率； （2）根据（1），若x是不等于2、3、4的自然数，试求x的值． 22．（10分）某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研．从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图： （数据分成4组：，，，） b．初中部20名学生所评分数在这一组的是： 8.0   8.1   8.2   8.2   8.4   8.5   8.6   8.7   8.8 c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如表： 平均数 中位数 小学部 8.3 8.5 初中部 8.3 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是_________，表中的m值为_________； (2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”． ①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数； ②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率． 23．（10分）某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车．每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位．第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空．每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）； ① 转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前； ② 转运板进311，托起车，载车出311； ③ 转运板载车滑行至316前； ④ 转运板进316，放车，空载出316，停在316前； ⑤ 升降台垂直送车至一层，系统完成取车． 停车位 301 … 停车位 311 … 升降台 316 … 留空 321 … 停车位 330 转运板滑行区                             转运板滑行区 如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍． (1)若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度； （说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计） (2)在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率． 24.（12 分）在特定的情境下，某实验指标会从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16，称该变化过程为过程，0和16分别称为过程的左、右端值． 已知过程的峰值为，小桐对过程设计了“分法”，操作方法如下： ①设置：令； ②分段：借助将过程分三段，且各段均满足：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于，举例如下： 若要将过程分三段，依次记为：，，，其中，分别为第一、第二个分点． 对于第一段，假设：，即右端值为段的最大值． （ⅰ）若，峰值不在段内（“段内”指不含端点值），则假设成立，从而过程的第一个分点的值为； （ⅱ）若，峰值在段，则假设不成立，根据②的要求，此时右端值的计算方法为，从而过程的第一个分点的值为． 对于第二段，假设：，即右端值为段的最大值．可依上述推理过程求出第二个分点的值． 这样，按“分法”将过程分三段的同时，也将峰值所在的范围按规则缩小为这三段中的某一段．若对该段按上述方式进行第二次操作（此时，上述操作中的0和16分别调整为该段的左、右端值），则峰值所在的范围可进一步缩小．重复此操作，峰值所在的范围会越来越小． 若小桐用“分法”对过程进行了两次操作后，峰值在包含过程右端值16的这一段，且该段的左端值大于16．根据小桐操作的过程与结果， (1)分别求出第一次操作中两个分点的值；（用含的式子表示） (2)求第二次操作中所设置的；（用含的式子表示） (3)请你用一个整数合理估计峰值，并说明理由； (4)请你判断事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值16的这一段”是否为必然事件，并说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元自测 第三十一章 随机事件的概率·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．将一枚图钉（如图样式）随意向上抛起，虽然落定后的结果只有两种：“针尖朝上”或“针尖触地”，但由于其形状比较特殊，我们无法用分析的方法预测“针尖触地”这一事件发生的概率．数学实践小组通过做抛图钉试验，记录抛掷次数与针尖触地的频数，计算针尖触地的频率，绘制针尖触地的频率随抛掷次数变化趋势图．据此，“抛掷一枚普通图钉，落定后针尖触地”发生的概率约是（   ） A．0.45 B．0.46 C．0.47 D．0.50 【答案】B 【解析】解：根据统计图可知，大量反复试验下，频率的稳定在0.46附近， 即抛掷一枚图钉，针尖触地的概率是0.46， 故选：B． 2．下列事件属于确定事件的是（    ） A．抛掷一枚各面分别标有1~6点正方体骰子6次，朝上的点数都是6 B．清明时节雨纷纷 C．打开电视，它正在播广告 D．太阳每天从西方升起 【答案】D 【解析】A. 抛掷一枚各面分别标有1~6点正方体骰子6次，朝上的点数都是6，是随机事件，不符合题意； B. 清明时节雨纷纷，是随机事件，不符合题意； C. 打开电视，它正在播广告，是随机事件，不符合题意； D. 太阳每天从西方升起，该事件是不可能事件，是确定事件，符合题意； 故选D． 3．下列说法正确的是（    ） A．检测神舟十八号载人飞船零件的质量采用全面调查 B．“清明时节雨纷纷”是必然事件 C．如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨 D．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定 【答案】A 【解析】解：A、检测神舟十八号载人飞船零件的质量采用全面调查，正确，故本选项符合题意； B、“清明时节雨纷纷”是不确定事件，故本选项不符合题意； C、如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨，错误，故本选项不符合题意； D、若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定，故本选项不符合题意； 故选：A． 4．下列说法正确的是（　　）． A．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件 B．“概率为0.0001的事件”是不可能事件 C．“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件 D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 【答案】C 【解析】解：A、“购买1张彩票就中奖”是不可能事件，错误，不符合题意； B、“概率为0.0001的事件”是不可能事件，错误，不符合题意； C、“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件，正确，符合题意； D、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次，错误，不符合题意. 故选：C. 5．在0，1，2三个数中任取两个，组成两位数，则在组成的两位数中是奇数的概率为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：在0，1，2三个数中任取两个，组成两位数有：12，10，21，20四个，是奇数只有21，所以组成的两位数中是奇数的概率为． 故选A． 6．武汉旅游资源丰富，古琴台历史悠久、东湖绿道适合骑行、木兰天池沁人心脾、省博物馆享有盛誉．小宜打算端午期间从这四个景点中随机选择两个不同的景点去旅游，则他刚好选到“古琴台”和“东湖绿道”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：令四个景点：古琴台、东湖绿道、木兰天池、省博物馆，分别为、、、， 列表得： 由表格可得：共有12种等可能出现的结果，其中刚好选到“古琴台”和“东湖绿道”的情况有2种， 他刚好选到“古琴台”和“东湖绿道”的概率是， 故选：B． 7．投掷一枚质地均匀的硬币4次，其中3次正面向上，1次反面向上，则第5次掷出反面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定掷硬币共有正面和反面两种可能性，后根据概率计算公式计算即可． 【详解】∵掷硬币共有正面和反面两种可能性， ∴第5次掷出反面向上的概率为：； 故选A． 8．在一个不透明的口袋中，放入五个完全相同的小球，每个小球上分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”中的一个（不允许重复），从口袋里同时摸出两个小球，则下列事件是随机事件的是（    ） A．两个小球上数字之和等于1 B．两个小球上数字之和大于1 C．两个小球上数字之和等于9 D．两个小球上数字之和大于9 【答案】C 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、两个小球上数字之和等于1是不可能事件； B、两个小球上数字之和大于1是必然事件； C、两个小球上数字之和等于9是随机事件； D、两个小球上数字之和大于9是不可能事件； 故选：C． 9．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（  ） A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的” B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上” C．在装有个红球和个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球” D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是 【答案】D 【解析】解：A、从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是 “红色的”的概率是＞0.17，故此选项不符合要求； B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率＝＝0.5＞0.17，故此选项不符合要求； C、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率是≈0.67＞0.17，故此选项不符合要求； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率＝≈0.17，故此选项符合要求． 故选：D． 10．从标有数字1，2，3，…，20的20张卡片中任意抽取一张，下列事件中，可能性最大的是（    ） A．卡片上的数字是质数 B．卡片上的数字是2的倍数 C．卡片上的数字是合数 D．卡片上的数字是3的倍数 【答案】C 【详解】解：A、卡片上的数字是质数的有：2，3，5，7，11，13，17，19，共8张； B、卡片上的数字是2的倍数有：，，，，，，，，，，共10张； C、卡片上的数字是合数有：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，共11张； D、卡片上的数字是3的倍数有：，，，，，，共6张． ∵， ∴卡片上的数字是合数可能性最大． 故选：C． 11．连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘．将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作正六边形ABCDEF的外接圆，圆心为O，如图， 设正六边形ABCDEF的边长为2，AC与BF,BD的交点为H,N, 过点O作OM⊥AB于点M，则 , 则为等边三角形， ∴S正六边形ABCDEF=6, ∴, ∴, , ∴S正六边形ABCD=6, 由题可知阴影部分为正六边形，所以 , ∴, ∴ 为等腰三角形， ∴, ∴, 同理可得为等腰三角形， ∴, , ∴ 为等边三角形， ∴ ∴ , 在Rt△AMH中， , , 解得, ∴, ∴S, ∴S阴影= =, ∴S阴影：S正六边形ABCDEF= , 故选：B． 12．从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为，，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵不等式组 简化得和 ∴解集为 整数解个数为 令 得 从中选两个不同的数作为和， 总情况数 满足的对为、、，共3种 ∴概率 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、平行四边形、直角三角形图案的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同），现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中心对称图案的卡片的概率是 ． 【答案】 【解析】解：根据中心对称图形的概念可知，圆、矩形和平行四边形是中心对称图形， ∴抽到中心对称图案的卡片的概率是． 故答案为：． 14．一名职业篮球球员某次投篮训练结果记录如图所示，由此可估计这名球员投篮800次，投中的次数约为 次． 【答案】600 【解析】由统计图可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.75附近， ∴这名篮球球员投中的概率为0.75， ∴投中的次数约为：（次）， 故答案为：600． 15．从3，0，，，这五个数中，随机抽取一个数作为m的值，则使函数的图象经过第一、第三象限，且使关于x的方程有实数根的概率是 ． 【答案】/0.6 【解析】解：∵函数的图象经过第一、第三象限， ∴， 解得，， 已知， ∴满足一次函数时，从3，0，，，这五个数中，随机抽取一个数作为m的值，则的值为：； ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得，， 已知，， ∴满足一元二次方程有实数根时，从3，0，，，这五个数中，随机抽取一个数作为m的值，则的值为：； ∵从3，0，，，这五个数中，随机抽取一个数作为m的值， ∴既满足一次函数，又一元一次方程有实数根的值有：， ∴既满足一次函数，又一元一次方程的的值的概率为， 故答案为： ． 16．从不等式的负整数解中任意取一个数作为的值，则关于的分式方程的解是正整数的概率为 ． 【答案】 【解析】解：解不等式， 得， ∴不等式的负整数解为：，，，， 解方程， 得， ． ∵分式方程的解是正整数， ∴，且， ∴，且， 解得且， ∴使分式方程的解为正整数的m的值只有一个， ∴关于的分式方程的解是正整数的概率为． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）一个不透明的盒子里装有15张红色卡片，20张黄色卡片，12张蓝色卡片和若干张黑色卡片，每张卡片除颜色外都相同，从中任意摸出一张卡片，摸到红色卡片的概率是0.25． (1)从中任意摸出一张卡片，摸到蓝色卡片的概率是多少？ (2)求盒子里黑色卡片的个数． 【答案】(1) (2)13 【解析】（1）解：由题意，得卡片的总张数为， 则任意摸出一张卡片，摸到蓝色卡片的概率是． 答：摸到蓝色卡片的概率是． （2）盒子里黑色卡片的个数为60-15-20-12=13． 答：盒子里黑色卡片的个数为13． 18．（8分）一个不透明的口袋里有10个除颜色外形状大小都相同的球，其中有4个红球，6个黄球． (1)从中随机摸出一个球，则“摸到黑球”是 事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）； (2)若从中随机摸出一个球是红球的概率为，求袋子中需再加入几个红球？ 【答案】(1)不可能 (2)8个 【解析】（1）∵有10个除颜色外形状大小都相同的球， 其中有4个红球，6个黄球， ∴随意摸出一个球是黑球是不可能事件； 故答案为：不可能； （2）设袋子中需再加入x个红球． 依题意可列： 解得x = 8， 经检验x = 8是原方程的解， 故若从中随意摸出一个球是红球的概率为 袋子中需再加入8个球． 19．（8分）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． (1)若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； (2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子， ∴选中“乒乓球”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果数有4种， ∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是． 20．（8分）2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题． (1)参加这次调查的学生总人数为____________人； (2)扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是__________； (3)将条形统计图补充完整； (4)在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)40人 (2)108° (3)见解析 (4) 【解析】（1）解：结合两个图表可得：A类别人数为6人，所占比例为15%， ∴参加这次调查的学生总人数为（人）， 故答案为：40； （2）解：结合条形统计图可得：B部分人数为12人，总人数为40人， ∴扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是， 故答案为：； （3）解：C类别人数为（人）， 补全图形如下： （4）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果数为8， ∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 21．（8分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、4、x，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表： 解答下列问题： （1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概 率附近．试估计出现“和为7”的概率； （2）根据（1），若x是不等于2、3、4的自然数，试求x的值． 【答案】(1) 出现和为7的概率是：0.33(或0.31， 0.32，0.34均正确) (2) 列表格（见右边）或树状图，一共有12种可能的结果, 由（1）知，出现和为7的概率约为0.33 ∴和为7出现的次数为0.33×12=3.96≈4(用另外三个概率估计值说明亦可) 若2+x=7,则x=5,此时P（和为7）=≈0.33, 符合题意. 若3+x=7,则 x=4,不符合题意. 若4+x=7,则 x=3,不符合题意. 所以x=5.     （说理方法多种，只要说理、结果正确均可） 【解析】（1）由于大量试验中“和为7”出现的频数稳定在0.3附近，据图表，可估计“和为7”出现的概率为3.1，3.2，3.3等均可； （2）先列表格或树状图得到所有可能的结果，再对表中数据进行分析即可得到结果． 22．（10分）某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研．从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图： （数据分成4组：，，，） b．初中部20名学生所评分数在这一组的是： 8.0   8.1   8.2   8.2   8.4   8.5   8.6   8.7   8.8 c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如表： 平均数 中位数 小学部 8.3 8.5 初中部 8.3 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是_________，表中的m值为_________； (2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”． ①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数； ②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率． 【答案】(1)， (2)    【解析】（1）解：调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是： （分）， 将抽取的初中部的20名学生的评分从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分）， 表中的m值为， 故答案为：，； （2）解：①（人）， 若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数约为人； ②从小明、小强、小琪人中任意选择人，所有等可能出现的结果如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中调查结果一致为“非常满意”的结果有种， 调查结果一致为“非常满意”的概率． 23．（10分）某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车．每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位．第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空．每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）； ① 转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前； ② 转运板进311，托起车，载车出311； ③ 转运板载车滑行至316前； ④ 转运板进316，放车，空载出316，停在316前； ⑤ 升降台垂直送车至一层，系统完成取车． 停车位 301 … 停车位 311 … 升降台 316 … 留空 321 … 停车位 330 转运板滑行区                             转运板滑行区 如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍． (1)若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度； （说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计） (2)在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率． 【答案】(1)转运板载车时的滑行速度为0.6m/s (2)P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝ 【解析】（1）解：设转运板载车时的滑行速度为x m/s，则升降台升降速度为0.5x m/s， 依据题意可知，车位421与401相距m，且每层的层高为6 m， 可列方程：， 解得：x＝0.6 ，                                              经检验，原分式方程的解为x＝0.6，且符合题意． 答：转运板载车时的滑行速度为0.6m/s． （2）解：设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车， 则． 解得：． 因为a是正整数，所以． 因此，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，该车只能停放在316左右两旁一共4个车位上，也即该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上共有28种可能性相等的结果，而停放在满足条件“系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车”的停车位上的结果有4种，所以P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝． 24.（12 分）在特定的情境下，某实验指标会从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16，称该变化过程为过程，0和16分别称为过程的左、右端值． 已知过程的峰值为，小桐对过程设计了“分法”，操作方法如下： ①设置：令； ②分段：借助将过程分三段，且各段均满足：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于，举例如下： 若要将过程分三段，依次记为：，，，其中，分别为第一、第二个分点． 对于第一段，假设：，即右端值为段的最大值． （ⅰ）若，峰值不在段内（“段内”指不含端点值），则假设成立，从而过程的第一个分点的值为； （ⅱ）若，峰值在段，则假设不成立，根据②的要求，此时右端值的计算方法为，从而过程的第一个分点的值为． 对于第二段，假设：，即右端值为段的最大值．可依上述推理过程求出第二个分点的值． 这样，按“分法”将过程分三段的同时，也将峰值所在的范围按规则缩小为这三段中的某一段．若对该段按上述方式进行第二次操作（此时，上述操作中的0和16分别调整为该段的左、右端值），则峰值所在的范围可进一步缩小．重复此操作，峰值所在的范围会越来越小． 若小桐用“分法”对过程进行了两次操作后，峰值在包含过程右端值16的这一段，且该段的左端值大于16．根据小桐操作的过程与结果， (1)分别求出第一次操作中两个分点的值；（用含的式子表示） (2)求第二次操作中所设置的；（用含的式子表示） (3)请你用一个整数合理估计峰值，并说明理由； (4)请你判断事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值16的这一段”是否为必然事件，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)可以用整数18作为峰值的估计值，理由见解析 (4)不是，理由见解析 【解析】（1）解：因为小桐用“分法”对过程进行了两次操作后，峰值在包含过程右端值的这一段，且该段的左端值大于16， 所以第一次操作后，峰值在第三段，且，即峰值不在第一段内，也不在第二段内． 所以第一个分点． 因为实验指标从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16， 所以第二段内数值逐渐增大． 所以第二段的最小值是，最大值是． 所以根据“分法”操作当中的步骤“②分段：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于”可得． 解得第二个分点． （2）解：因为第一次操作后，峰值在第三段，且， 所以第二次操作中所设置的 （3）解：因为第二次操作后，峰值在第三段，不妨设该段为，其中为该段的左端值， 所以，解得 因为峰值为该段的最大值， 所以，解得． 因为第二次操作后，该段的左端值大于16， 所以，解得． 所以． 所以可以用整数18作为峰值的估计值， （4）解：事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 理由如下： 由题意得，第三次操作中所设置的 假设：用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值这一段． 那么，解得，与矛盾． 所以假设不成立： 所以事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元自测 第三十一章 随机事件的概率·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D A C A B A C D C B C 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13． 14． 15．/0.6 16． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分） 【解析】（1）解：由题意，得卡片的总张数为， 则任意摸出一张卡片，摸到蓝色卡片的概率是． 答：摸到蓝色卡片的概率是．（4分） （2）盒子里黑色卡片的个数为60-15-20-12=13． 答：盒子里黑色卡片的个数为13．（8分） 18．（8分） 【解析】（1）∵有10个除颜色外形状大小都相同的球， 其中有4个红球，6个黄球， ∴随意摸出一个球是黑球是不可能事件； 故答案为：不可能；（2分） （2）设袋子中需再加入x个红球． 依题意可列： （4分） 解得x = 8， 经检验x = 8是原方程的解，（6分） 故若从中随意摸出一个球是红球的概率为 袋子中需再加入8个球．（8分） 19．(8分) 【解析】（1）解：∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子， ∴选中“乒乓球”的概率是， 故答案为：；（2分） （2）解：画树状图为： （4分） 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果数有4种，（6分） ∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是．（8分） 20．(8分) 【解析】（1）解：结合两个图表可得：A类别人数为6人，所占比例为15%， ∴参加这次调查的学生总人数为（人）， 故答案为：40；（2分） （2）解：结合条形统计图可得：B部分人数为12人，总人数为40人， ∴扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是， 故答案为：；（4分） （3）解：C类别人数为（人）， 补全图形如下： （6分） （4）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果数为8， ∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．（8分） 21．（8分） 【解析】(1) 出现和为7的概率是：0.33(或0.31， 0.32，0.34均正确) （2分） (2) 列表格（见下方边）或树状图，一共有12种可能的结果, 由（1）知，出现和为7的概率约为0.33（4分） ∴和为7出现的次数为0.33×12=3.96≈4(用另外三个概率估计值说明亦可) 若2+x=7,则x=5,此时P（和为7）=≈0.33, 符合题意.（6分） 若3+x=7,则 x=4,不符合题意. 若4+x=7,则 x=3,不符合题意. 所以x=5.    （8分） （说理方法多种，只要说理、结果正确均可） 22．（10分） （1）解：调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是： （分）， 将抽取的初中部的20名学生的评分从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分）， 表中的m值为， 故答案为：，；（4分） （2）解：①（人）， 若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数约为人；（7分） ②从小明、小强、小琪人中任意选择人，所有等可能出现的结果如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中调查结果一致为“非常满意”的结果有种， 调查结果一致为“非常满意”的概率．（10分） 23．（10分） 【解析】（1）解：设转运板载车时的滑行速度为x m/s，则升降台升降速度为0.5x m/s， 依据题意可知，车位421与401相距m，且每层的层高为6 m，（1分） 可列方程：，（3分） 解得：x＝0.6 ，（4分）                                              经检验，原分式方程的解为x＝0.6，且符合题意． 答：转运板载车时的滑行速度为0.6m/s．（5分） （2）解：设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车， 则．（6分） 解得：．（7分） 因为a是正整数，所以． （8分） 因此，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，该车只能停放在316左右两旁一共4个车位上，也即该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上共有28种可能性相等的结果，而停放在满足条件“系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车”的停车位上的结果有4种，所以P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝．（10分） 24．（12分） 【解析】（1）解：因为小桐用“分法”对过程进行了两次操作后，峰值在包含过程右端值的这一段，且该段的左端值大于16， 所以第一次操作后，峰值在第三段，且，即峰值不在第一段内，也不在第二段内． 所以第一个分点． 因为实验指标从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16， 所以第二段内数值逐渐增大． 所以第二段的最小值是，最大值是． 所以根据“分法”操作当中的步骤“②分段：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于”可得． 解得第二个分点．（3分） （2）解：因为第一次操作后，峰值在第三段，且， 所以第二次操作中所设置的（6分） （3）解：因为第二次操作后，峰值在第三段，不妨设该段为，其中为该段的左端值， 所以，解得 因为峰值为该段的最大值， 所以，解得． 因为第二次操作后，该段的左端值大于16， 所以，解得． 所以． 所以可以用整数18作为峰值的估计值（9分） （4）解：事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 理由如下： 由题意得，第三次操作中所设置的 假设：用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值这一段． 那么，解得，与矛盾． 所以假设不成立： 所以事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元自测 第三十一章 随机事件的概率·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．将一枚图钉（如图样式）随意向上抛起，虽然落定后的结果只有两种：“针尖朝上”或“针尖触地”，但由于其形状比较特殊，我们无法用分析的方法预测“针尖触地”这一事件发生的概率．数学实践小组通过做抛图钉试验，记录抛掷次数与针尖触地的频数，计算针尖触地的频率，绘制针尖触地的频率随抛掷次数变化趋势图．据此，“抛掷一枚普通图钉，落定后针尖触地”发生的概率约是（   ） A．0.45 B．0.46 C．0.47 D．0.50 2．下列事件属于确定事件的是（    ） A．抛掷一枚各面分别标有1~6点正方体骰子6次，朝上的点数都是6 B．清明时节雨纷纷 C．打开电视，它正在播广告 D．太阳每天从西方升起 3．下列说法正确的是（    ） A．检测神舟十八号载人飞船零件的质量采用全面调查 B．“清明时节雨纷纷”是必然事件 C．如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨 D．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定 4．下列说法正确的是（　　）． A．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件 B．“概率为0.0001的事件”是不可能事件 C．“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件 D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 5．在0，1，2三个数中任取两个，组成两位数，则在组成的两位数中是奇数的概率为(   ) A． B． C． D． 6．武汉旅游资源丰富，古琴台历史悠久、东湖绿道适合骑行、木兰天池沁人心脾、省博物馆享有盛誉．小宜打算端午期间从这四个景点中随机选择两个不同的景点去旅游，则他刚好选到“古琴台”和“东湖绿道”的概率是（    ） A． B． C． D． 7．投掷一枚质地均匀的硬币4次，其中3次正面向上，1次反面向上，则第5次掷出反面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 8．在一个不透明的口袋中，放入五个完全相同的小球，每个小球上分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”中的一个（不允许重复），从口袋里同时摸出两个小球，则下列事件是随机事件的是（    ） A．两个小球上数字之和等于1 B．两个小球上数字之和大于1 C．两个小球上数字之和等于9 D．两个小球上数字之和大于9 9．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（  ） A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的” B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上” C．在装有个红球和个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球” D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是 10．从标有数字1，2，3，…，20的20张卡片中任意抽取一张，下列事件中，可能性最大的是（    ） A．卡片上的数字是质数 B．卡片上的数字是2的倍数 C．卡片上的数字是合数 D．卡片上的数字是3的倍数 11．连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘．将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（    ） A． B． C． D． 12．从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为，，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（  ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、平行四边形、直角三角形图案的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同），现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中心对称图案的卡片的概率是 ． 14．一名职业篮球球员某次投篮训练结果记录如图所示，由此可估计这名球员投篮800次，投中的次数约为 次． 15．从3，0，，，这五个数中，随机抽取一个数作为m的值，则使函数的图象经过第一、第三象限，且使关于x的方程有实数根的概率是 ． 16．从不等式的负整数解中任意取一个数作为的值，则关于的分式方程的解是正整数的概率为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）一个不透明的盒子里装有15张红色卡片，20张黄色卡片，12张蓝色卡片和若干张黑色卡片，每张卡片除颜色外都相同，从中任意摸出一张卡片，摸到红色卡片的概率是0.25． (1)从中任意摸出一张卡片，摸到蓝色卡片的概率是多少？ (2)求盒子里黑色卡片的个数． 18．（8分）一个不透明的口袋里有10个除颜色外形状大小都相同的球，其中有4个红球，6个黄球． (1)从中随机摸出一个球，则“摸到黑球”是 事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）； (2)若从中随机摸出一个球是红球的概率为，求袋子中需再加入几个红球？ 19．（8分）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． (1)若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； (2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 20．（8分）2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题． (1)参加这次调查的学生总人数为____________人； (2)扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是__________； (3)将条形统计图补充完整； (4)在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 21．（8分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、4、x，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表： 解答下列问题： （1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概 率附近．试估计出现“和为7”的概率； （2）根据（1），若x是不等于2、3、4的自然数，试求x的值． 22．（10分）某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研．从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图： （数据分成4组：，，，） b．初中部20名学生所评分数在这一组的是： 8.0   8.1   8.2   8.2   8.4   8.5   8.6   8.7   8.8 c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如表： 平均数 中位数 小学部 8.3 8.5 初中部 8.3 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是_________，表中的m值为_________； (2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”． ①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数； ②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率． 23．（10分）某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车．每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位．第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空．每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）； ① 转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前； ② 转运板进311，托起车，载车出311； ③ 转运板载车滑行至316前； ④ 转运板进316，放车，空载出316，停在316前； ⑤ 升降台垂直送车至一层，系统完成取车． 停车位 301 … 停车位 311 … 升降台 316 … 留空 321 … 停车位 330 转运板滑行区                             转运板滑行区 如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍． (1)若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度； （说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计） (2)在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率． 24.（12 分）在特定的情境下，某实验指标会从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16，称该变化过程为过程，0和16分别称为过程的左、右端值． 已知过程的峰值为，小桐对过程设计了“分法”，操作方法如下： ①设置：令； ②分段：借助将过程分三段，且各段均满足：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于，举例如下： 若要将过程分三段，依次记为：，，，其中，分别为第一、第二个分点． 对于第一段，假设：，即右端值为段的最大值． （ⅰ）若，峰值不在段内（“段内”指不含端点值），则假设成立，从而过程的第一个分点的值为； （ⅱ）若，峰值在段，则假设不成立，根据②的要求，此时右端值的计算方法为，从而过程的第一个分点的值为． 对于第二段，假设：，即右端值为段的最大值．可依上述推理过程求出第二个分点的值． 这样，按“分法”将过程分三段的同时，也将峰值所在的范围按规则缩小为这三段中的某一段．若对该段按上述方式进行第二次操作（此时，上述操作中的0和16分别调整为该段的左、右端值），则峰值所在的范围可进一步缩小．重复此操作，峰值所在的范围会越来越小． 若小桐用“分法”对过程进行了两次操作后，峰值在包含过程右端值16的这一段，且该段的左端值大于16．根据小桐操作的过程与结果， (1)分别求出第一次操作中两个分点的值；（用含的式子表示） (2)求第二次操作中所设置的；（用含的式子表示） (3)请你用一个整数合理估计峰值，并说明理由； (4)请你判断事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值16的这一段”是否为必然事件，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $