第三十一章 随机事件的概率（复习讲义）数学冀教版九年级下册

第三十一章 随机事件的概率（复习讲义） 一、基础目标（阶段考必考点，中考基础得分点）​ 概念认知：能准确区分必然事件、不可能事件（确定事件）与随机事件，结合生活实例清晰判断事件类型，掌握三类事件的本质特征。​ 概率定义：理解概率的含义，知道随机事件的概率取值范围是，其中必然事件概率为 1，不可能事件概率为 0，能结合简单情境说明概率的实际意义。​ 简单计算：熟练掌握等可能事件的概率公式（n为所有等可能结果数，m为事件A包含的结果数），能计算一步试验的等可能事件概率，结果可表示为分数、小数或百分数。 频率与概率：了解频率的定义，知道在大量重复试验中频率会逐渐稳定在某个常数附近，能根据给定的试验数据（如掷硬币试验结果）计算频率，初步体会频率对概率的估计作用。​ 基础应用：能解决教材中基础题型，如判断事件类型、直接运用概率公式计算简单事件概率、根据频率估计概率的简单填空或选择题，确保阶段考基础题不丢分，中考基础得分点全掌握。 二、进阶目标（阶段考重点难点，中考高频考点） 列举法应用：熟练掌握列表法和树状图法，能根据事件的步骤数选择合适的列举方法，不重不漏列出所有等可能结果，准确计算复杂等可能事件的概率。​ 频率估计概率：深入理解频率与概率的关系，能通过设计简单试验收集数据，计算频率并估计概率；能结合实际问题，运用频率估计概率的思想解决实际应用问题。​ 分类讨论与逻辑推理：在概率计算中能运用分类讨论思想，处理结果存在多种情况的事件，通过逻辑推理分析所有可能结果，避免重复或遗漏。​ 实际情境建模：能将生活中的实际问题抽象为概率模型，运用概率知识分析问题，解决阶段考重点题型和中考高频应用题。​ 规范表达：在解题过程中，能规范书写列举过程（列表或树状图）、概率计算公式和步骤，清晰阐述推理依据，避免因表达不规范丢分。 三、拓展目标（阶段考拓展题，中考区分度考点）​ 复杂情境概率计算：能处理含限制条件的多步随机事件概率问题，灵活选择列举法或分类讨论思想，准确计算概率。​ 概率与统计综合应用：能结合统计图表提取数据信息，计算相关事件的频率，进而估计概率；或根据概率设计统计试验方案，解决概率与统计融合的综合题。​ 概率决策与优化：能运用概率知识进行合理决策，体会概率在实际生活中的优化作用，解决中考区分度较高的决策类问题。​ 创新题型突破：能应对开放型、探究型概率题型，具备独立分析、探究和解决创新问题的能力。​ 跨学科与实际应用拓展：能将概率知识与其他学科或复杂生活场景结合，解决跨学科综合题；能通过分析复杂实际问题的本质，建立概率模型，突破阶段考拓展题和中考压轴题中的概率考点，拉开分数差距。 知识点 重点归纳 常见易错点 确定事件与随机事件 1. 确定事件：必然事件（一定发生，）、不可能事件（一定不发生，） 2. 随机事件：可能发生也可能不发生，. 3.事件类型判断依据：是否在一定条件下具有确定性 1. 混淆 “随机事件” 与 “必然事件 / 不可能事件”，如将 “掷骰子点数为 7” 误判为随机事件 2. 忽略 “一定条件”，脱离条件判断事件类型（如 “标准大气压下，水加热到 100℃沸腾” 是必然事件，改变条件则不成立） 概率的定义与性质 1. 概率定义：刻画随机事件发生可能性大小的数值，记为 2. 基本性质：；； 3. 概率反映的是 “可能性大小”，不代表具体试验结果 1. 认为 “概率接近 1 就一定发生”“概率接近 0 就一定不发生”，忽略随机事件的不确定性2. 错误计算概率范围，如得出 或 的结果 等可能事件概率公式 1. 公式： 2. 适用条件：所有结果出现的可能性相等，结果总数有限 1. 未判断 “等可能性”，直接套用公式（如 “掷一枚图钉，针尖朝上” 的结果不具有等可能性，不能用公式计算）2. 漏数或重复计数 “所有等可能结果总数”，导致分母错误 用列举法求概率（列表法） 1. 适用场景：两步试验（如两次掷骰子、两次摸球） 2. 操作：用表格列出所有等可能结果，再统计符合条件的结果数 3. 核心：保证结果不重不漏 1. 列表时遗漏部分结果，或重复记录相同结果 2. 未区分 “有序” 与 “无序”，如 “先摸红球再摸白球” 和 “先摸白球再摸红球” 视为同一结果（需根据题目要求判断） 用列举法求概率（树状图法） 1. 适用场景：两步及以上试验（如三次抛硬币、三步摸球） 2. 操作：用树状图分层展示每一步的所有可能结果，再统计符合条件的结果数 3. 核心：分层清晰，覆盖所有可能 1. 树状图分层错误，少画某一步的分支，导致结果总数遗漏 2. 未注意 “不放回” 与 “有放回” 的区别，如摸球后不放回时，下一次分支数应减少 用频率估计概率 1. 原理：大量重复试验中，随机事件的频率会稳定在某个常数附近，该常数即为概率2. 方法：用频率的稳定值估计概率， 3. 频率是试验数据，概率是理论值 1. 用少量试验的频率直接等同于概率（如抛硬币 2 次，1 次正面，就认为正面概率为 0.5，缺乏依据） 2. 混淆 “频率” 与 “概率”，认为频率会随试验次数增加完全等于概率 题型一 随机事件与确定事件 【例1】下列事件中，是必然事件的是（    ） A．任意买一张电影票，座位号是偶数 B．抽查背诵，刚好抽到学号是5的同学 C．对顶角相等 D．打开收音机，正好播放音乐《一路山程》 【变式1-1】下列事件是随机事件的是（    ） A．一元一次方程的解为 B．几个单项式相加的和为一个单项式 C．一个奇数加一个偶数的和为偶数 D．一个三项式加一个单项式的和是一个单项式 【变式1-2】有四个盒子，随机从盒子中摸出1个球，摸出红球可能性最大的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 题型二 随机事件的概率 【例2】如图，任意掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数大于等于4的可能性是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】小明和小强分别从同一个袋子里有放回地摸出一个球，摸到黑球时小明获胜，摸到白球时小强获胜．若小明想获胜，选择（   ）机会最大． A． B． C． D． 【变式2-2】一个不透明的盒子里有5个红球、3个黄球和2个蓝球，这些球仅颜色不同．从中任意摸出一球，则下列说法中错误的是（   ） A．摸到红球的概率最大 B．摸到蓝球的概率最小 C．摸到黄球的概率为 D．摸到蓝球的概率为 【变式2-3】从，，这三个数中不重复地任取两个数分别作为，的值，则关于的一元二次方程有实数根的概率为（   ） A． B． C． D． 题型三 几何概型概率计算 【例3】如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现 分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】如图所示，在两个全等的正方形纸片上，分别绘有大小不等的圆，其中正方形甲中圆的直径与正方形的边长相等，正方形乙中的四个圆互不重叠，其直径均为正方形边长的一半，所有圆均在相应正方形的内部．若向每个正方形中随机投掷一个点，在甲、乙两个正方形中点落在阴影部分的概率分别为、，则（     ） A． B． C． D．与正方形的边长有关，无法判断 题型四 用频率估计概率 【例4】为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获条鱼，在每一条鱼身上做好机．后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有记得做频率稳定在左右，则估计鱼塘中鱼的数量为（    ）条． A． B． C． D． 【变式4-1】小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制成如图所示的统计图，则符合这一试验结果的可能是（   ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反 C．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是4 D．小明、小红玩“石头、剪刀、布”游戏，小明获胜 【变式4-2】二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 题型五 列举法求概率 【例5】如图，是化学元素周期表中原子序数为1~5的元素，从中随机选取两种元素，则这两种元素恰好都是金属元素的概率为（   ）（注：锂和铍为金属元素） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】某马场有三匹马，按身体强壮程度分为上马，中马，下马，这三匹马随机住在三个不同的马厩，甲到该马场去租马，先到第一个马厩观察后不租，再到第二个马厩，若比第一个马厩的马强壮，就直接租第二个马厩的马，若比第一个马厩的马瘦弱，就租第三个马厩的马，按这种方式，甲租到上马的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】盒子中装有形状、大小完全相同的3个小球，球上分别标有数字﹣1，1，2，从中随机取出一个，其上的数字记为k1放回后再取一次，其上的数记为k2，则一次函数y＝k1x+b与第一象限内y＝的增减性一致的概率为（　　） A． B． C． D． 题型六 列表法或树状图法求概率 【例6】用如图所示的两个转盘（每个转盘均被等分）进行“配紫色”（红色加蓝色能配成紫色）游戏，配得紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图是正面写有元素周期表中相邻的四个元素的卡片，背面相同，正面朝下打乱放在桌面上，化学老师随机取一张卡片（不放回），小明再从剩下的卡片里随机取一张． (1)化学老师取出的卡片上所写的元素符号是N是 事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； (2)用列表或画树状图的方法，求化学老师与小明取出的卡片上所写的元素能组成“一氧化氮（）”（ 不考虑顺序）的概率． 【变式6-3】甲骨文是目前中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，嘉嘉在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)嘉嘉从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“自”的概率为______． (2)嘉嘉从中随机抽取一张卡片不放回，琪琪再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 题型七 概率的实际应用与决策 【例7】4张相同的卡片上分别写有数字，，，，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片的数字记录下来． (1)第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ； (2)小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字作为横坐标，第二次记录下来的数字作为纵坐标，若所得坐标位于坐标轴上时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表的方法说明理由） 【变式7-1】为增强学生的计算能力，提高学生的学习兴趣，某校举行了数学基本功竞赛，将所有参赛选手的成绩（均为整数）分成了四个层次八个等级，根据成绩绘制成如下统计表和如图所示的统计图（部分信息未给出）： 层次 等级 成绩n/分 频数 第一 A 2 B a 第二 C 6 D 14 第三 E 16 F b 第四 G 3 H 2 (1)本次参赛选手共有多少名？其中a，b的值分别是多少？ (2)赛前规定，成绩由高到低前的选手获奖，小明的成绩为86分，他是否获奖？说明理由； (3)学校准备从成绩为第一层次的选手中任选2名学生作为本校代表参加全市大赛，求选中的2名学生中至少有1名学生的成绩为A等级的概率． 【变式7-2】某学校为丰富课后服务内容，计划开设足球，篮球，乒乓球，跳绳，排球五项体育课程．为了解学生对这五项体育课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，完成下列问题 (1)本次调查共抽取了_______名学生；扇形统计图中“乒乓球”所对应扇形的圆心角度数为_______； (2)若全校共有1200名学生，请估计喜爱“排球”项目的学生人数； (3)在汇报展示中，甲同学从篮球项目标有“A运球”“B投篮”“C三步上篮”的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到“A运球”的概率． 【变式7-3】某电影公司随机收集了一些电影的有关数据，经分类整理得到下表，其中好评率是指某类电影中获得好评的部数与该类电影总部数的比值． 电影类型 历史类 恐怖类 喜剧类 科幻类 情感类 剧痛类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 (1)从该电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是科幻片中的好评电影的概率； (2)根据前期调查反馈： 历史类电影的上座率与好评率的关系约为：上座率=好评率； 恐怖类电影的上座率与好评率的关系约为：上座率=好评率． 现有一部历史类的A电影和一部恐怖类的B电影将同时在某影院上映，A电影的票价为45元，B电影的票价为40元．该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，排片经理要求将这两部电影安排在最大放映厅放映，且两部电影每天都要有排片．已知最大放映厅每天有7个场次可供排片，设其中A电影排了场． ①求出最大放映厅每天的票房收入与的函数关系式（不必写出的取值范围）； ②仅从最大放映厅票房收入的角度考虑，作为排片经理应如何分配A，B两部电影的场次，使得当天的票房收入最高？ 基础巩固通关测 1．（23-24·河北张家口·期末）若两张扑克牌的牌面数字相同，则可以组成一对．如图，是甲、乙同学手中的扑克牌．若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌组成一对的概率是（    ） A． B． C． D．1 2．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（   ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6 3．有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 4．（24-25河北保定·期末）为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如下表． 种子个数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子个数 94 337 530 664 858 951 发芽种子频率 0.940 0.843 0.883 0.949 0.953 0.951 由此估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率（精确到0.01）约为（   ） A．0.84 B．0.88 C．0.94 D．0.95 5．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值． 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 6．在“”中，任选一个字母，这个字母为“”的概率为 ． 7．（2025·河北唐山·三模）嘉淇的爸爸购买高铁票时，选定的车厢只剩一排的5个余座，如图所示．若购票系统随机分配座位，则嘉淇的爸爸购买到靠窗（紧邻窗户）座位的概率为 ． 8．如图，在轴上取点，在轴上取点，，，，，，现从这6条直线中任取一条，则该直线与反比例函数的图象有两个交点的概率是 ． 9．我区某校在今年的“数学π节”活动中开展了如下四项活动：A．趣味魔方；B．折纸活动；C．数独比赛；D．唱响数学．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图1和图2，请回答下列问题： (1)这次被调查的学生共有 人； (2)请补全条形统计图； (3)在数独比赛项目中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中随机选取两名参加数独决赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 10．（2025·广东深圳·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 能力提升进阶练 1．（2025·河北唐山·三模）下列事件中，属于随机事件的是（ ） A．若是实数，则 B．任取两个无理数，其差是无理数 C．已知，则 D．若、互为倒数，则 2．（2025·河北唐山·二模）如图，在的正方形网格中标记了8个格点，若在A，B，C，D，E五个点中随机选取一点与点M连接得到直线l，则l恰好将线段分成长度比为的两部分的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在3×3的方格中，A，B，C，D，E，F分别位于格点上，从C，D，E，F四点中任意取一点，与点A，B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是（     ） A．1 B． C． D． 5．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以闹息“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图（  ） 有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形；②使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动；③图2中，等边三角形的边长为，则勒洛三角形的周长为；④图3中，在中随机取一点，则该点取自勒洛三角形部分的概率为，上述结论中，所有正确结论的序号是(   ) A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 6．一张圆桌旁有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个座位上，则与不相邻而坐的概率为 ． 7．已知有一组不少于5个连续正整数组成的数据，从中随机抽取一个数字，是素数的概率为，则该组数据的标准差为 ． 8．已知满足，则使一次函数的图象经过一、二、四象限的的概率是 ． 9．（2025·河北·一模）河北梆子是中国传统戏曲艺术中的瑰宝，入选第一批国家级非物质文化遗产名录．嘉嘉和淇淇两人准备选择一个河北梆子的剧目参加学校举办的元旦晚会．她们设计了如下活动：在四张卡片的正面分别写上《宝莲灯》《秦香莲》《窦娥冤》《蝴蝶杯》，将这四张卡片背面朝上，洗匀． (1)嘉嘉从这四张卡片中随机抽取一张，正面所写的剧目是《窦娥冤》的概率是______； (2)嘉嘉从这四张卡片中随机抽取一张，记下卡片正面所写的剧目后放回，背面朝上，洗匀，然后淇淇再从中随机抽取一张并记下卡片正面所写的剧目，求两人抽到同一个剧目的概率． 10．张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十一章 随机事件的概率（复习讲义） 一、基础目标（阶段考必考点，中考基础得分点）​ 概念认知：能准确区分必然事件、不可能事件（确定事件）与随机事件，结合生活实例清晰判断事件类型，掌握三类事件的本质特征。​ 概率定义：理解概率的含义，知道随机事件的概率取值范围是，其中必然事件概率为 1，不可能事件概率为 0，能结合简单情境说明概率的实际意义。​ 简单计算：熟练掌握等可能事件的概率公式（n为所有等可能结果数，m为事件A包含的结果数），能计算一步试验的等可能事件概率，结果可表示为分数、小数或百分数。 频率与概率：了解频率的定义，知道在大量重复试验中频率会逐渐稳定在某个常数附近，能根据给定的试验数据（如掷硬币试验结果）计算频率，初步体会频率对概率的估计作用。​ 基础应用：能解决教材中基础题型，如判断事件类型、直接运用概率公式计算简单事件概率、根据频率估计概率的简单填空或选择题，确保阶段考基础题不丢分，中考基础得分点全掌握。 二、进阶目标（阶段考重点难点，中考高频考点） 列举法应用：熟练掌握列表法和树状图法，能根据事件的步骤数选择合适的列举方法，不重不漏列出所有等可能结果，准确计算复杂等可能事件的概率。​ 频率估计概率：深入理解频率与概率的关系，能通过设计简单试验收集数据，计算频率并估计概率；能结合实际问题，运用频率估计概率的思想解决实际应用问题。​ 分类讨论与逻辑推理：在概率计算中能运用分类讨论思想，处理结果存在多种情况的事件，通过逻辑推理分析所有可能结果，避免重复或遗漏。​ 实际情境建模：能将生活中的实际问题抽象为概率模型，运用概率知识分析问题，解决阶段考重点题型和中考高频应用题。​ 规范表达：在解题过程中，能规范书写列举过程（列表或树状图）、概率计算公式和步骤，清晰阐述推理依据，避免因表达不规范丢分。 三、拓展目标（阶段考拓展题，中考区分度考点）​ 复杂情境概率计算：能处理含限制条件的多步随机事件概率问题，灵活选择列举法或分类讨论思想，准确计算概率。​ 概率与统计综合应用：能结合统计图表提取数据信息，计算相关事件的频率，进而估计概率；或根据概率设计统计试验方案，解决概率与统计融合的综合题。​ 概率决策与优化：能运用概率知识进行合理决策，体会概率在实际生活中的优化作用，解决中考区分度较高的决策类问题。​ 创新题型突破：能应对开放型、探究型概率题型，具备独立分析、探究和解决创新问题的能力。​ 跨学科与实际应用拓展：能将概率知识与其他学科或复杂生活场景结合，解决跨学科综合题；能通过分析复杂实际问题的本质，建立概率模型，突破阶段考拓展题和中考压轴题中的概率考点，拉开分数差距。 知识点 重点归纳 常见易错点 确定事件与随机事件 1. 确定事件：必然事件（一定发生，）、不可能事件（一定不发生，） 2. 随机事件：可能发生也可能不发生，. 3.事件类型判断依据：是否在一定条件下具有确定性 1. 混淆 “随机事件” 与 “必然事件 / 不可能事件”，如将 “掷骰子点数为 7” 误判为随机事件 2. 忽略 “一定条件”，脱离条件判断事件类型（如 “标准大气压下，水加热到 100℃沸腾” 是必然事件，改变条件则不成立） 概率的定义与性质 1. 概率定义：刻画随机事件发生可能性大小的数值，记为 2. 基本性质：；； 3. 概率反映的是 “可能性大小”，不代表具体试验结果 1. 认为 “概率接近 1 就一定发生”“概率接近 0 就一定不发生”，忽略随机事件的不确定性2. 错误计算概率范围，如得出 或 的结果 等可能事件概率公式 1. 公式： 2. 适用条件：所有结果出现的可能性相等，结果总数有限 1. 未判断 “等可能性”，直接套用公式（如 “掷一枚图钉，针尖朝上” 的结果不具有等可能性，不能用公式计算）2. 漏数或重复计数 “所有等可能结果总数”，导致分母错误 用列举法求概率（列表法） 1. 适用场景：两步试验（如两次掷骰子、两次摸球） 2. 操作：用表格列出所有等可能结果，再统计符合条件的结果数 3. 核心：保证结果不重不漏 1. 列表时遗漏部分结果，或重复记录相同结果 2. 未区分 “有序” 与 “无序”，如 “先摸红球再摸白球” 和 “先摸白球再摸红球” 视为同一结果（需根据题目要求判断） 用列举法求概率（树状图法） 1. 适用场景：两步及以上试验（如三次抛硬币、三步摸球） 2. 操作：用树状图分层展示每一步的所有可能结果，再统计符合条件的结果数 3. 核心：分层清晰，覆盖所有可能 1. 树状图分层错误，少画某一步的分支，导致结果总数遗漏 2. 未注意 “不放回” 与 “有放回” 的区别，如摸球后不放回时，下一次分支数应减少 用频率估计概率 1. 原理：大量重复试验中，随机事件的频率会稳定在某个常数附近，该常数即为概率2. 方法：用频率的稳定值估计概率， 3. 频率是试验数据，概率是理论值 1. 用少量试验的频率直接等同于概率（如抛硬币 2 次，1 次正面，就认为正面概率为 0.5，缺乏依据） 2. 混淆 “频率” 与 “概率”，认为频率会随试验次数增加完全等于概率 题型一 随机事件与确定事件 【例1】下列事件中，是必然事件的是（    ） A．任意买一张电影票，座位号是偶数 B．抽查背诵，刚好抽到学号是5的同学 C．对顶角相等 D．打开收音机，正好播放音乐《一路山程》 【答案】C 【解析】解：∵对顶角相等是几何基本定理， ∴选项C是必然事件； 其他选项：A中座位号可能为奇数或偶数；B中抽查可能抽到其他学号；D中收音机播放内容随机，均不一定发生； 故选C． 【变式1-1】下列事件是随机事件的是（    ） A．一元一次方程的解为 B．几个单项式相加的和为一个单项式 C．一个奇数加一个偶数的和为偶数 D．一个三项式加一个单项式的和是一个单项式 【答案】B 【解析】A、一元一次方程 （）的解总是 ，是必然事件，不是随机事件，不符合题意； B、几个单项式相加，如果它们是同类项，则和为单项式，否则为多项式，因此可能发生也可能不发生，是随机事件，符合题意； C、奇数加偶数的和总是奇数，不可能是偶数，是不可能事件，不是随机事件，不符合题意； D、一个三项式加一个单项式，和至少有两个项，不可能是单项式，是不可能事件，不是随机事件，不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】有四个盒子，随机从盒子中摸出1个球，摸出红球可能性最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A、摸出红球的概率为； B、摸出红球的概率为； C、摸出红球的概率为； D、摸出红球的概率为； ∵， ∴A选项摸出红球可能性最大， 故选：A； 【变式1-3】在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【解析】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 题型二 随机事件的概率 【例2】如图，任意掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数大于等于4的可能性是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：任意掷一枚质地均匀的骰子点数朝上共有种结果，其中朝上的点数大于等于4的结果有、、，共种结果， 朝上的点数大于等于4的可能性是， 故选：A． 【变式2-1】小明和小强分别从同一个袋子里有放回地摸出一个球，摸到黑球时小明获胜，摸到白球时小强获胜．若小明想获胜，选择（   ）机会最大． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：选项中，摸到黑球的概率为，摸到白球的概率为； 选项中，摸到黑球的概率为，摸到白球的概率为； 选项中，摸到黑球的概率为，摸到白球的概率为； 选项中，摸到黑球的概率为，摸到白球的概率为； 由题可知：摸到黑球时小明获胜， 根据所求数据可得：， 选择获胜几率最大； 故选． 【变式2-2】一个不透明的盒子里有5个红球、3个黄球和2个蓝球，这些球仅颜色不同．从中任意摸出一球，则下列说法中错误的是（   ） A．摸到红球的概率最大 B．摸到蓝球的概率最小 C．摸到黄球的概率为 D．摸到蓝球的概率为 【答案】C 【解析】解：A、因为盒子里红球数量最多，所以摸到红球的概率最大，该选项说法正确，不符合题意； B、 因为盒子里蓝球数量最少，摸到蓝球的概率最小，该选项说法正确，不符合题意； C、因为盒子里共装有个球，3个黄球，所以摸到黄球的概率为，该选项说法错误，符合题意； D、摸到蓝球的概率为，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2-3】从，，这三个数中不重复地任取两个数分别作为，的值，则关于的一元二次方程有实数根的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵方程有实数根， ∴且， 有序对所有可能：，，，，，， 当有序对为时，，成立； 当有序对为时，成立； 当有序对为时，不成立； 当有序对为时，成立； 当有序对为时，不成立； 当有序对为时，不成立； 故满足条件的有3种，概率为， 故选：B． 题型三 几何概型概率计算 【例3】如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、指针落在阴影区域内的概率为； B、指针落在阴影区域内的概率是； C、指针落在阴影区域内的概率为； D、指针落在阴影区域内的概率为， ， 指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是D选项． 故选：D． 【变式3-1】如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半， 设圆的半径为1，则正方形的面积为4， 所以黑色部分的面积为， 则所求的概率， 故选：B 【变式3-2】我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现 分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图， 由题意可知，，， ∴， ∴， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， ∴阴影部分的面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为． 故选：D． 【变式3-3】如图所示，在两个全等的正方形纸片上，分别绘有大小不等的圆，其中正方形甲中圆的直径与正方形的边长相等，正方形乙中的四个圆互不重叠，其直径均为正方形边长的一半，所有圆均在相应正方形的内部．若向每个正方形中随机投掷一个点，在甲、乙两个正方形中点落在阴影部分的概率分别为、，则（     ） A． B． C． D．与正方形的边长有关，无法判断 【答案】C 【解析】解：∵甲中圆的直径与正方形的边长相等， ∴甲中圆的面积为：， ∵乙中圆的直径为正方形边长的一半， ∴乙中圆的面积为：， ∴， ∴， 故选：C． 题型四 用频率估计概率 【例4】为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获条鱼，在每一条鱼身上做好机．后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有记得做频率稳定在左右，则估计鱼塘中鱼的数量为（    ）条． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设鱼塘中有鱼条， 根据题意得，， 解得，， 估计鱼塘中鱼的数量为条， 故选：B． 【变式4-1】小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制成如图所示的统计图，则符合这一试验结果的可能是（   ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反 C．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是4 D．小明、小红玩“石头、剪刀、布”游戏，小明获胜 【答案】D 【解析】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，不符合题意； B、掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反的概率为，不符合题意； C、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是4的概率为，不符合题意； D、小明、小红玩“石头、剪刀、布”游戏，共有9种等可能的结果，其中小明获胜的情况有3种， 故小明获胜的概率为，符合题意； 故选：D． 【变式4-2】二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为． 故选：A． 【变式4-3】如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率． 设不规则图案的面积为xcm2，则有 解得：x=14 即不规则图案的面积为14cm2． 故选：B． 题型五 列举法求概率 【例5】如图，是化学元素周期表中原子序数为1~5的元素，从中随机选取两种元素，则这两种元素恰好都是金属元素的概率为（   ）（注：锂和铍为金属元素） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意得： 从这5种元素中任取两种元素的可能性有：（氢，氦），（氢，锂），（氢，铍），（氢，硼），（氦，锂），（氦，铍），（氦，硼），（锂，铍），（锂，硼），（铍，硼），其中两种元素都为金属元素的只有一种，故抽取到两种元素都为金属元素的概率为； 故选C． 【变式5-1】如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵从红、蓝两种颜色中随机选取一种， ∴有红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝， ∴故相邻两个方格所涂颜色不同的概率是， 故选：． 【变式5-2】某马场有三匹马，按身体强壮程度分为上马，中马，下马，这三匹马随机住在三个不同的马厩，甲到该马场去租马，先到第一个马厩观察后不租，再到第二个马厩，若比第一个马厩的马强壮，就直接租第二个马厩的马，若比第一个马厩的马瘦弱，就租第三个马厩的马，按这种方式，甲租到上马的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设上马为，中马为，下马为， 三种马排列情况共有，，，，，， 符合要求的有，，， 所以租到是A类即租到上马的概率为． 故选：A． 【变式5-3】盒子中装有形状、大小完全相同的3个小球，球上分别标有数字﹣1，1，2，从中随机取出一个，其上的数字记为k1放回后再取一次，其上的数记为k2，则一次函数y＝k1x+b与第一象限内y＝的增减性一致的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】盒子中装有形状、大小完全相同的3个小球，球上分别标有数字-1，1，2， 从中随机取出一个，其上的数字记为，放回后再取一次，其上的数记为， 则共有9种情况，分别为： （-1，-1），（-1，1），（-1，2），（1，-1），（1，1），（1，2），（2，-1），（2，1），（2，2）， 一次函数y＝k1x+b与第一象限内y＝的增减性一致的有： （-1，1），（-1，2）， 一次函数y＝k1x+b与第一象限内y＝的增减性一致的概率为 故选B． 题型六 列表法或树状图法求概率 【例6】用如图所示的两个转盘（每个转盘均被等分）进行“配紫色”（红色加蓝色能配成紫色）游戏，配得紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意可得： 红 红 蓝 红 红红 红红 蓝红 蓝 红蓝 红蓝 蓝蓝 由表可得一共有6种等可能情况，其中一红一蓝的情况有3种， ∴紫色的概率为：， 故选：C． 【变式6-1】在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为：． 故选：B． 【变式6-2】如图是正面写有元素周期表中相邻的四个元素的卡片，背面相同，正面朝下打乱放在桌面上，化学老师随机取一张卡片（不放回），小明再从剩下的卡片里随机取一张． (1)化学老师取出的卡片上所写的元素符号是N是 事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； (2)用列表或画树状图的方法，求化学老师与小明取出的卡片上所写的元素能组成“一氧化氮（）”（ 不考虑顺序）的概率． 【答案】(1)随机 (2) 【解析】（1）解：化学老师取出的卡片上所写的元素符号是N是随机事件， 故答案为：随机； （2）解：画树状图如下： 由图可知共有12种等可能的结果，其中能组成“”（一氧化氮）的结果有2种， ∴化学老师与小明摸出的卡片上写的元素能组成“”（一氧化氮）的概率为． 【变式6-3】甲骨文是目前中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，嘉嘉在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)嘉嘉从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“自”的概率为______． (2)嘉嘉从中随机抽取一张卡片不放回，琪琪再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：一共有文、明、自、由，4张卡片，嘉嘉从中随机抽取一张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“自”的概率为， 故答案为：； （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词结果有2种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词）． 题型七 概率的实际应用与决策 【例7】4张相同的卡片上分别写有数字，，，，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片的数字记录下来． (1)第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ； (2)小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字作为横坐标，第二次记录下来的数字作为纵坐标，若所得坐标位于坐标轴上时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表的方法说明理由） 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【解析】（1）解：∵4张相同的卡片上分别写有数字0、1、、3， ∴第一次抽取的卡片上数字是负数的结果有1种 ∴第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为， 故答案为：； （2）解：小敏设计的游戏规则公平，理由如下： 列表如下： 0 1 3 0 1 3 由表可知，共有12种等可能结果，其中结果所得坐标位于坐标轴上的有6种结果， 甲获胜的概率乙获胜的概率， 小敏设计的游戏规则公平． 【变式7-1】为增强学生的计算能力，提高学生的学习兴趣，某校举行了数学基本功竞赛，将所有参赛选手的成绩（均为整数）分成了四个层次八个等级，根据成绩绘制成如下统计表和如图所示的统计图（部分信息未给出）： 层次 等级 成绩n/分 频数 第一 A 2 B a 第二 C 6 D 14 第三 E 16 F b 第四 G 3 H 2 (1)本次参赛选手共有多少名？其中a，b的值分别是多少？ (2)赛前规定，成绩由高到低前的选手获奖，小明的成绩为86分，他是否获奖？说明理由； (3)学校准备从成绩为第一层次的选手中任选2名学生作为本校代表参加全市大赛，求选中的2名学生中至少有1名学生的成绩为A等级的概率． 【答案】(1)50名，2，5 (2)获奖，理由见解析 (3) 【解析】（1）解：本次参赛选手共有（名）． 第一层次的选手有（名）， ． 第三层次的选手有（名）． ． （2）解：获奖．理由如下： 选手小明的成绩为86分， 在范围内，第一层次的选手有4名， 小明应排在前10名． （名）； 成绩由高到低的前15名选手都获奖． ∴小明应获奖； （3）解：将A等级的两人分别记为，，B等级的两人分别记为，，画树状图如图所示． 共有12种等可能的结果，其中选中的2名学生中至少有1名学生的成绩为A等级的结果有10种， 选中的2名学生中至少有1名学生的成绩为A等级的概率是． 【变式7-2】某学校为丰富课后服务内容，计划开设足球，篮球，乒乓球，跳绳，排球五项体育课程．为了解学生对这五项体育课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，完成下列问题 (1)本次调查共抽取了_______名学生；扇形统计图中“乒乓球”所对应扇形的圆心角度数为_______； (2)若全校共有1200名学生，请估计喜爱“排球”项目的学生人数； (3)在汇报展示中，甲同学从篮球项目标有“A运球”“B投篮”“C三步上篮”的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到“A运球”的概率． 【答案】(1) (2)估计喜爱“排球”项目的学生人数约为200人 (3) 【解析】（1）解：抽样中跳绳的有人，所占百分比为， ∴（人）， ∴本次调查共抽取了名学生， 抽样中乒乓球的有人， ∴对应的圆心角的度数为， 故答案为：； （2）解：抽样中排球的人数是人， ∴（人）， ∴估计喜爱“排球”项目的学生人数约为200人； （3）解：运用列表或画树状图的方法把所有等可能结果表示如下， 共有9种等可能结果，其中甲乙两人至少有一人抽到“A运球”的，共5中， ∴甲乙两人至少有一人抽到“A运球”的概率为． 【变式7-3】某电影公司随机收集了一些电影的有关数据，经分类整理得到下表，其中好评率是指某类电影中获得好评的部数与该类电影总部数的比值． 电影类型 历史类 恐怖类 喜剧类 科幻类 情感类 剧痛类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 (1)从该电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是科幻片中的好评电影的概率； (2)根据前期调查反馈： 历史类电影的上座率与好评率的关系约为：上座率=好评率； 恐怖类电影的上座率与好评率的关系约为：上座率=好评率． 现有一部历史类的A电影和一部恐怖类的B电影将同时在某影院上映，A电影的票价为45元，B电影的票价为40元．该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，排片经理要求将这两部电影安排在最大放映厅放映，且两部电影每天都要有排片．已知最大放映厅每天有7个场次可供排片，设其中A电影排了场． ①求出最大放映厅每天的票房收入与的函数关系式（不必写出的取值范围）； ②仅从最大放映厅票房收入的角度考虑，作为排片经理应如何分配A，B两部电影的场次，使得当天的票房收入最高？ 【答案】(1) (2)①；②排片经理应排A电影6场，B电影1场，可使得当天的票房收入最高 【解析】（1）解：由题意， （部）， 共有2000部电影，其中科幻类中的好评电影的数量为（部）， 从该电影公司收集的电影中随机选取1部，这部电影是科幻片中的好评电影的概率为． （2）解：①A电影的上座率为，B电影的上座率为， 最大放映厅每天有7个场次可供排片，其中A电影排了场，则B电影排了场， ， ∴最大放映厅每天的票房收入与的函数关系式为； ②最大放映厅每天有7个场次可供排片，两部电影每天都要有排片， ，且为正整数， ，， 随的增大而增大， 当时，有最大值． 排片经理应排A电影6场，B电影1场，可使得当天的票房收入最高． 基础巩固通关测 1．（23-24·河北张家口·期末）若两张扑克牌的牌面数字相同，则可以组成一对．如图，是甲、乙同学手中的扑克牌．若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌组成一对的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】解：共4张牌，其中能与手中牌组成一对的有5，8，共2种情况， ∴； 故选C． 2．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（   ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6 【答案】D 【解析】解：A、在＂石头、剪刀、布＂的游戏中，小明随机出的是＂剪刀＂的概率为，故A选项不符合题意； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故B选项不符合题意； C、暗箱中有 1 个红球和 2 个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故C选项不符合题意； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6 的概率为，故D选项符合题意． 故选：C． 3．有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 【答案】A 【解析】解：画树状图如下： A、由树状图可知，共有16可能的结果，其中在直线上的点有、、、，在直线上的点有、、， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 而，故选项A符合题意； B、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积不大于15的结果有8种，乘积大于15的结果有8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项B不符合题意； C、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积大于等于20时甲得5分的结果有6种，乙得3分的结果有10种，， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项C不符合题意； D、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中得到的和为奇数的结果8种，得到的和为偶数的结果8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项D不符合题意； 故选：A． 4．（24-25河北保定·期末）为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如下表． 种子个数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子个数 94 337 530 664 858 951 发芽种子频率 0.940 0.843 0.883 0.949 0.953 0.951 由此估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率（精确到0.01）约为（   ） A．0.84 B．0.88 C．0.94 D．0.95 【答案】D 【解析】由试验数据可知，当种子数量较大时（如700、900、1000），发芽频率分别为0.949、0.953、0.951，均稳定在0.95左右． 根据频率估计概率的原理，大样本量的频率更接近真实概率． 因此，发芽概率约为0.95，对应选项D． 故选：D． 5．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值． 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1， 可以用图中正方形区域表示， ∴， 再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形， 则需满足x2＋y2＞1， 可以用图中（3）区域表示， ∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积， ∴， 设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A， ∴根据①概率计算方法可以得到： ， 又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份， ∴， 解得， 故选：D． 6．在“”中，任选一个字母，这个字母为“”的概率为 ． 【答案】 【解析】解：在“”中，共有14个字母，其中“”出现4次，那么这个字母为“”的概率为． 故答案为：． 7．（2025·河北唐山·三模）嘉淇的爸爸购买高铁票时，选定的车厢只剩一排的5个余座，如图所示．若购票系统随机分配座位，则嘉淇的爸爸购买到靠窗（紧邻窗户）座位的概率为 ． 【答案】 【解析】解：选定的车厢只剩一排的5个余座，靠窗（紧邻窗户）座位只有2个， ∴嘉淇的爸爸购买到靠窗（紧邻窗户）座位的概率为， 故答案为：． 8．如图，在轴上取点，在轴上取点，，，，，，现从这6条直线中任取一条，则该直线与反比例函数的图象有两个交点的概率是 ． 【答案】 【解析】解：设其中，直线的解析式为， 将代入得，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， ∵该直线与反比例函数的图象有两个交点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴该直线与反比例函数的图象有两个交点的个数有和两条， ∴该直线与反比例函数的图象有两个交点的概率是． 故答案为：． 9．我区某校在今年的“数学π节”活动中开展了如下四项活动：A．趣味魔方；B．折纸活动；C．数独比赛；D．唱响数学．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图1和图2，请回答下列问题： (1)这次被调查的学生共有 人； (2)请补全条形统计图； (3)在数独比赛项目中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中随机选取两名参加数独决赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】(1)200 (2)见解析 (3) 【解析】（1）解：被调查的学生共有：（人． 故答案为：200； （2）解：参加数独比赛的人数为：（人， （3）解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲，乙两位同学的结果有2种， 则． 10．（2025·广东深圳·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】(1)，， (2)估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 (3)图见解析， 【解析】（1）解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即． 故答案为：，，． （2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． （3）解：画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 能力提升进阶练 1．（2025·河北唐山·三模）下列事件中，属于随机事件的是（ ） A．若是实数，则 B．任取两个无理数，其差是无理数 C．已知，则 D．若、互为倒数，则 【答案】B 【解析】解：选项A：实数的绝对值必定非负，故恒成立，属于必然事件． 选项B：任取两个无理数，其差可能是无理数（如与的差为），也可能是有理数（如与的差为）．结果具有不确定性，属于随机事件． 选项C：根据平方根的定义，存在的前提是，故必然成立，属于必然事件． 选项D：若、互为倒数，则，而显然矛盾，属于不可能事件． 综上，只有选项B是随机事件． 故选：B 2．（2025·河北唐山·二模）如图，在的正方形网格中标记了8个格点，若在A，B，C，D，E五个点中随机选取一点与点M连接得到直线l，则l恰好将线段分成长度比为的两部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：在A，B，C，D，E五个点中随机选取一点与点M连接得到直线l，则l恰好将线段分成长度比为的两部分的点有B、E两个， ∴概率为， 故选：B． 3．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴，， 点落在阴影部分的概率是 故选：B． 4．如图，在3×3的方格中，A，B，C，D，E，F分别位于格点上，从C，D，E，F四点中任意取一点，与点A，B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是（     ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形， 故P（所作三角形是等腰三角形）=． 故选D． 5．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以闹息“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图（  ） 有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形；②使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动；③图2中，等边三角形的边长为，则勒洛三角形的周长为；④图3中，在中随机取一点，则该点取自勒洛三角形部分的概率为，上述结论中，所有正确结论的序号是(   ) A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 【答案】C 【解析】解：①勒洛三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故①错误； ②夹在平行线之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故②正确； ③设等边三角形DEF的边长为2， ∴勒洛三角形的周长=，圆的周长=，故③正确； ④设等边三角形DEF的边长为， ∴阴影部分的面积为：； △ABC的面积为：， ∴概率为：，故④错误； ∴正确的选项有②③； 故选：C． 6．一张圆桌旁有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个座位上，则与不相邻而坐的概率为 ． 【答案】 【解析】解：由于A的位置已经确定，B、C、D随机而坐的情况共有6种（如图所示）：6种情况出现的可能性相同．其中A与B不相邻而坐的情况共有2种，所以所求概率是： ． 故答案为：． 7．已知有一组不少于5个连续正整数组成的数据，从中随机抽取一个数字，是素数的概率为，则该组数据的标准差为 ． 【答案】或或或 【解析】解：∵从中随机抽取一个数字，是素数的概率为， ∴数据中素数、合数各一半，数据个数为偶数， 以1开头，满足条件的是1-8一种情况， 当取得数是1-8时，平均数为4.5，则标准差为, 以2开头，满足条件的是2-9,2-11,2-13三种情况， 当取得数是2-9时，平均数为5.5，则标准差为, 当取得数是2-11时，平均数为6.5，则标准差为, 当取得数是2-13时，平均数为7.5，则标准差为, 以3开头，满足条件的是3-8一种情况， 当取得数是3-8时，平均数为5.5，则标准差为, 以4及以上数字开头，均不满足题意. 综上所述，标准差为或或或， 故答案为：或或或． 8．已知满足，则使一次函数的图象经过一、二、四象限的的概率是 ． 【答案】． 【分析】根据的值不是1就是－1，得出有6个是负数，2006个是正数，再根据一次函数经过一、二、四象限得出一次项系数小于0，即可求出概率． 【解析】解：∵的值不是1就是－1， 且满足， ∴，，， ∴有6个是负数，2006个是正数， ∵时直线的图象经过一、二、四象限， ∴使直线的图象经过一、二、四象限的概率是． 故答案为：． 9．（2025·河北·一模）河北梆子是中国传统戏曲艺术中的瑰宝，入选第一批国家级非物质文化遗产名录．嘉嘉和淇淇两人准备选择一个河北梆子的剧目参加学校举办的元旦晚会．她们设计了如下活动：在四张卡片的正面分别写上《宝莲灯》《秦香莲》《窦娥冤》《蝴蝶杯》，将这四张卡片背面朝上，洗匀． (1)嘉嘉从这四张卡片中随机抽取一张，正面所写的剧目是《窦娥冤》的概率是______； (2)嘉嘉从这四张卡片中随机抽取一张，记下卡片正面所写的剧目后放回，背面朝上，洗匀，然后淇淇再从中随机抽取一张并记下卡片正面所写的剧目，求两人抽到同一个剧目的概率． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：在四张卡片的正面分别写上《宝莲灯》《秦香莲》《窦娥冤》《蝴蝶杯》， 嘉嘉从这四张卡片中随机抽取一张，正面所写的剧目是《窦娥冤》的概率是， 故答案为：； （2）解：《宝莲灯》《秦香莲》《窦娥冤》《蝴蝶杯》这四张卡片分别记为，，，， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两人抽到同一个剧目的结果有4种， 两人抽到同一个剧目的概率为． 10．张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 【答案】(1) (2)选择小彤的方法说明，理由见解析 【解析】（1）解：用表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3种， ∴小明和小峰选择同一种方法的概率为； （2）选择小彤的方法说明，理由如下： 连接，如下图， 由折叠的性质可得，，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $