第三十一章 随机事件的概率（知识清单）数学冀教版九年级下册

第三十一章 随机事件的概率 一、事件的分类 1.确定事件 必然事件：在一定条件下， 的事件，概率 。 不可能事件：在一定条件下， 的事件，概率 。 2.随机事件 在一定条件下， 的事件，概率范围 。 注意：事件类型的判断 ，条件改变，事件类型可能改变。 二、概率的核心概念与性质 1.概率的定义 概率是 ，记为 （A 表示随机事件）。 2.概率的基本性质 对任意事件 A， ； P(必然事件)= ，P(不可能事件)= ； 概率是 ，反映可能性大小，不代表某次试验的具体结果。 三、等可能事件的概率计算 1. 核心公式 ​ 适用条件：所有结果出现的可能性 ，且结果总数 。 2. 列举法求概率 （1）列表法 适用场景： （如两次掷骰子、两次摸球）。 操作要点：用表格列出所有等可能结果，确保 ，再统计符合条件的结果数。 注意：需区分 “有序” 与 “无序”，如 “先红后白” 和 “先白后红” 是否为不同结果，要依题目判断。 （2）树状图法 适用场景： （如三次抛硬币、三步摸球）。 操作要点：分层画出每一步的所有可能分支，清晰展示所有结果，再统计符合条件的结果数。 注意：区分 “有放回” 与 “不放回” 试验，不放回时，下一次分支数会减少。 四、用频率估计概率 1.核心原理 在 中，随机事件的 会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的 。 2.频率与概率的关系 （频率是试验数据，是随机的）； 概率是 ，是固定的； 试验次数越多，频率越接近概率，但 。 五、关键注意事项 1.计算概率前，必须先判断结果是否 ，不等可能的事件不能直接套用公式； 2.列举所有结果时，要保证 ，列表法和树状图法是避免遗漏的有效工具； 3.频率估计概率的前提是 ，少量试验的频率不能作为概率的依据。 一、 随机事件概念的辨析 1. 混淆 “必然事件”“不可能事件” 与 “随机事件” 的定义 错误：认为 “可能性很小的事件就是不可能事件”，如将 “掷骰子掷出点数 7” 误判为随机事件； 把 “随机事件” 等同于 “不确定事件”，忽略其核心是 “可能发生也可能不发生” 的本质，误将必然事件或不可能事件归为随机事件。 注意：必然事件：在一定条件下必然会发生的事件，概率为 P=1（如 “太阳从东方升起”）。 不可能事件：在一定条件下必然不会发生的事件，概率为 P=0（如 “掷一枚硬币正面朝上”，若硬币只有正面，则为不可能事件）。 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，概率 0<P<1（如 “掷一枚骰子点数为 3”）。 关键：判断事件类型需结合条件，同一事件在不同条件下类型可能不同（如 “下雨” 在 “晴天” 条件下是不可能事件，在 “阴天” 条件下是随机事件）。 2. 对 “频率” 与 “概率” 的概念混淆 错误：认为 “频率就是概率”，如通过多次试验得到 “掷硬币正面朝上的频率为 0.5”，就直接说 “概率为 0.5”；忽略 “频率是概率的近似值”，误将概率当作固定值，认为试验次数越多，频率与概率的差距一定越小 注意：频率：在多次重复试验中，某事件发生的次数与试验总次数的比值，是试验结果，具有随机性（不同次试验频率可能不同）。 概率：事件发生的可能性大小的数值，是理论值，具有确定性（如 “掷均匀硬币正面朝上的概率为 0.5”）。 关系：频率是概率的近似值，试验次数越多，频率越接近概率（大数定律），但频率≠概率。 二、 概率的计算 1. “等可能事件” 的判断错误 错误：计算概率时，未判断事件是否为 “等可能”，如将 “掷一枚质地不均匀的骰子” 的点数概率直接按 “点数 1-6 概率相等” 计算； 混淆 “基本事件” 与 “复合事件”，将非等可能的基本事件当作等可能事件计算（如 “掷两枚硬币，出现‘正正’‘正反’‘反正’‘反反’的概率是否相等”，若硬币质地均匀，则相等；若质地不同，则不等）。 注意：古典概型的两个条件：① 试验中所有可能的结果是有限个；② 每个结果出现的可能性相等。 计算步骤： 确定基本事件总数 n（如 “掷两枚骰子，基本事件总数为 6×6=36”）； 确定事件 A 包含的基本事件数 m； 概率​（仅当基本事件等可能时成立）。 2. 几何概型中 “测度” 的选取错误 错误：几何概型中，误将 “长度”“面积”“体积” 等测度选错，如 “在一个边长为 2 的正方形内随机取点，求点落在对角线的概率”，误将 “正方形面积” 当作测度（正确测度是 “对角线长度” 或 “对角线所在线段的长度”）； 忽略 “几何概型的等可能性”，如 “在一个圆内随机取点，求点落在圆内某扇形的概率”，若扇形的弧长或面积不明确，直接用 “角度” 计算。 注意：几何概型的核心：试验的结果是无限个，且每个结果出现的可能性相等，概率与 “测度”（长度、面积、体积等）成正比。 常见类型及测度选取： 一维问题（如 “在数轴上 [0,1] 区间内随机取点”）：测度为长度； 二维问题（如 “在平面图形内随机取点”）：测度为面积； 三维问题（如 “在立体图形内随机取点”）：测度为体积。 计算步骤： 确定试验的全部结果所对应的几何区域的测度； 确定事件 A 对应的几何区域的测度； 概率 。 三、随机事件的应用 1. 用概率判断事件发生的 “可能性大小” 时的误区 错误：认为 “概率大的事件一定发生”，如 “某事件概率为 0.9”，就认为在一次试验中该事件必然发生； 认为 “概率小的事件一定不发生”，如 “某事件概率为 0.01”，就认为在一次试验中该事件一定不发生。 注意：概率仅表示事件发生的可能性大小，不表示事件 “一定发生” 或 “一定不发生”。 概率大的事件：发生的可能性大，但仍有 “不发生” 的可能（如 “概率 0.9” 的事件，在一次试验中仍有 10% 的概率不发生）； 概率小的事件：发生的可能性小，但仍有 “发生” 的可能（如 “概率 0.01” 的事件，在一次试验中仍有 1% 的概率发生）。 2. 设计概率试验时的 “公平性” 判断错误 错误：设计游戏规则时，未保证双方的概率相等，如 “两人玩游戏，一方用‘掷骰子点数大于 3’的规则，另一方用‘点数小于 3’的规则”，未判断规则的公平性； 忽略 “试验的随机性”，认为 “多次试验后，事件发生的频率一定等于概率”，从而误判试验的公平性。 注意：公平性判断：设计游戏规则时，需保证双方获胜的概率相等（如 “掷一枚均匀硬币，正面朝上甲胜，反面朝上乙胜”，概率均为 0.5，规则公平）。 试验的随机性：即使概率相等，多次试验后频率也可能与概率有偏差，需通过大量重复试验验证公平性。 3. 对 “随机事件的概率” 的定义理解不透彻 错误：认为 “概率是事件发生的次数”，如 “掷硬币 10 次，正面朝上 5 次，概率为 5”； 忽略 “概率的取值范围”，认为 “概率可以大于 1 或小于 0”，如 “某事件的概率为 1.2”。 注意：概率的取值范围：0≤P(A)≤1，不可能事件的概率为 0，必然事件的概率为 1，随机事件的概率在 0 到 1 之间。 概率的本质：概率是事件发生的可能性大小的数值，与试验次数无关（如 “掷硬币正面朝上的概率为 0.5”，与掷的次数无关）。 1．任意翻开人教版九年级上册数学课本，正好是第页．这个事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上选项均不正确 2．在英语单词中任意选出一个字母，选出的字母为的概率是（    ） A． B． C． D． 3．秦腔，别称“梆子腔”中国汉族最古老的戏剧之一，起于西周，源于西府，成熟于秦，是中国国家级非物质文化遗产之一．如图是某同学收藏的秦腔邮票，分别是《火焰驹》《三滴血》和《游西湖》，它们除正面外完全相同．把这三张邮票背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（    ） A． B． C． D． 4．足球队员小航每场比赛的进球率约为，若他明天将参加一场足球比赛，则下列说法正确的是（   ） A．小航明天肯定进球 B．小航明天每射球10次必进球1次 C．小航明天一定不能进球 D．小航明天有可能进球 5．一个不透明的袋中只装有1个红球和2个蓝球，它们除颜色外其余均相同，现随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在“扫雷”游戏中，“3”相邻的空格中隐含有3个“雷”，那么随机点击其中一个空格，恰好点击到“雷”的概率是（    ） A． B． C． D． 7．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（    ） A． B． C． D． 8．电路图是人们为研究工程规划的需要，用物理电学标准化的符号绘制的一种表示各元器件组成及器件关系的原理布局图．如图所示，电路图上有3个开关，，和2个小灯泡、，同时闭合开关．，，可以使小灯泡、发光．对于“小灯泡发光”这个事件，下列结论错误的是（    ） A．闭合开关，，中的1个，灯泡发光是不可能事件 B．闭合开关，，中的2个，灯泡发光是随机事件 C．闭合开关，，中的2个，灯泡发光是必然事件 D．闭合开关，，中的2个，灯泡、发光的概率相同 9．如图所示的两个转盘面积均被等分，用这两个转盘进行“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色．另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 10．一个不透明的口袋中装有4个白球、8个红球，这些球除颜色外完全相同，现将口袋中加入若干个同样的白球摇匀后，某同学从口袋中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，摇匀后再从口袋中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中……，如果这样摸出100个球，发现有40次找到红球，则加入白球的个数是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 11．小明收集了二十四节气的卡片，卡片背面完全相同，小明将“立春、雨水、春分、谷雨”四张卡片单独拿出，邀请小亮和小华同时在其中各抽取一张，则两人抽到的卡片上的节气有相同汉字的概率为（   ） A． B． C． D． 12．从同一副扑克牌中挑出张红桃、张黑桃、张方块，将这张扑克牌洗匀后背面朝上，再从中抽出张牌，抽出的这张牌中恰好有张红桃的概率是（　　） A． B． C． D． 13．掷一枚均匀的骰子，点数为3的概率是 ． 14．有三张背面完全相同的卡片，正面分别画了线段，平行四边形，正五边形，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，恰好是轴对称图形的概率为 ． 15．有四张完全一样正面分别写着汉字“我”“爱”“八”“中”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，求抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 ． 16．生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因控制的．如人的眼皮性状由常染色体的一对基因控制，双眼皮由显性基因（A）控制，单眼皮由隐性基因（a）控制．当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮；当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．父母分别将他们一对基因中的一个等可能地遗传给子女．若父母都是双眼皮，且他们的基因都是，则他们的子女是单眼皮的概率为 ． 17．如图，对于下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥．从中任意选取一个，能判断的概率是 ． 18．笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（或），再经过第二道门（或或）才能出去． (1)松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是_____； (2)请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过门出去的概率． 19．体育老师对九年级一个班级的学生进行了立定跳远项目的测试，得到一组测试分数的数据，并将测试所得分数绘制成如图所示的统计图，图中从左到右的学生人数之比为，且成绩为8分的学生有12人．请根据信息解答下列问题： (1)这个班级有　　　　名学生． (2)这组数据的众数是　　　　，中位数是　　　　． (3)班级准备从获得满分10分的同学中选拔一男一女两名同学参加学校举行的田径运动会，体育老师发现获得满分的男女生人数相同，且甲男生和丙女生都在其中，求甲和丙同时被选中的概率． 20．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来都有吃“粽子”的习俗．某食品厂为了解去年销售最好的肉馅粽、豆沙粽、红枣粽、蛋黄馅粽（分别用表示）这四种不同口味粽子的喜爱程度，在节前对某地区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下统计图． (1)本次调查的人数共___________人； (2)小星根据调查结果，给食品厂提出以下建议，你认为食品厂会采纳的是___________（填序号） ①在四种粽子中，少生产粽子； ②生产粽子的数量大约是粽子的2倍； ③由于喜欢粽子的人数最少，所以不生产粽子． (3)小红在四种口味的粽子中，最喜欢和这两种．现有外型完全相同的，这四种口味的粽子各一个，煮熟后，小红随机拿了两个，用列表或画树状图的方法，求她刚好拿到自己最喜欢的这两种口味粽子的概率． 21．随着时代发展，人们乘坐公交车支付车票的方式更加多样、便捷，某校数学实践小组设计了一份公交车票支付方式调查问卷，要求每位被调查人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： (1)这次活动共调查了___________人；在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为___________； (2)将条形统计图补充完整； (3)小明和小亮都没有公交卡，在乘车中，想从“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率 22．阅读是人类获取知识、理解世界的重要途径．某学校为了解学生每周的阅读情况，随机调查了七年级部分学生每周阅读时间（单位：小时），并进行整理和分析（时间x分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：），C档从小到大排列后部分数据是：2，，，，，，…，绘制不完整统计图如图所示： 根据以上信息，回答下列问题： 七年级部分学生每周阅读时间条形统计图七年级部分学生每周阅读时间扇形统计图      (1)本次调查的样本容量为______，m的值为______，补全条形统计图； (2)调查的七年级学生每周阅读时间的中位数为______； (3)若E档4名学生恰为两男两女，现从中随机抽取两人进行阅读经验汇报，请用画树状图的方法求抽取的两人都为男生的概率． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十一章 随机事件的概率 一、事件的分类 1.确定事件 必然事件：在一定条件下，一定发生的事件，概率 P=1。 不可能事件：在一定条件下，一定不发生的事件，概率 P=0。 2.随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，概率范围 0<P<1。 注意：事件类型的判断依赖于具体条件，条件改变，事件类型可能改变。 二、概率的核心概念与性质 1.概率的定义 概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，记为 P(A)（A 表示随机事件）。 2.概率的基本性质 对任意事件 A，0≤P(A)≤1； P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0； 概率是理论值，反映可能性大小，不代表某次试验的具体结果。 三、等可能事件的概率计算 1. 核心公式 ​ 适用条件：所有结果出现的可能性相等，且结果总数有限。 2. 列举法求概率 （1）列表法 适用场景：两步试验（如两次掷骰子、两次摸球）。 操作要点：用表格列出所有等可能结果，确保不重不漏，再统计符合条件的结果数。 注意：需区分 “有序” 与 “无序”，如 “先红后白” 和 “先白后红” 是否为不同结果，要依题目判断。 （2）树状图法 适用场景：两步及以上试验（如三次抛硬币、三步摸球）。 操作要点：分层画出每一步的所有可能分支，清晰展示所有结果，再统计符合条件的结果数。 注意：区分 “有放回” 与 “不放回” 试验，不放回时，下一次分支数会减少。 四、用频率估计概率 1.核心原理 在大量重复试验中，随机事件的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率。 2.频率与概率的关系 （频率是试验数据，是随机的）； 概率是理论值，是固定的； 试验次数越多，频率越接近概率，但频率≠概率。 五、关键注意事项 1.计算概率前，必须先判断结果是否等可能，不等可能的事件不能直接套用公式； 2.列举所有结果时，要保证不重不漏，列表法和树状图法是避免遗漏的有效工具； 3.频率估计概率的前提是大量重复试验，少量试验的频率不能作为概率的依据。 一、 随机事件概念的辨析 1. 混淆 “必然事件”“不可能事件” 与 “随机事件” 的定义 错误：认为 “可能性很小的事件就是不可能事件”，如将 “掷骰子掷出点数 7” 误判为随机事件； 把 “随机事件” 等同于 “不确定事件”，忽略其核心是 “可能发生也可能不发生” 的本质，误将必然事件或不可能事件归为随机事件。 注意：必然事件：在一定条件下必然会发生的事件，概率为 P=1（如 “太阳从东方升起”）。 不可能事件：在一定条件下必然不会发生的事件，概率为 P=0（如 “掷一枚硬币正面朝上”，若硬币只有正面，则为不可能事件）。 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，概率 0<P<1（如 “掷一枚骰子点数为 3”）。 关键：判断事件类型需结合条件，同一事件在不同条件下类型可能不同（如 “下雨” 在 “晴天” 条件下是不可能事件，在 “阴天” 条件下是随机事件）。 2. 对 “频率” 与 “概率” 的概念混淆 错误：认为 “频率就是概率”，如通过多次试验得到 “掷硬币正面朝上的频率为 0.5”，就直接说 “概率为 0.5”；忽略 “频率是概率的近似值”，误将概率当作固定值，认为试验次数越多，频率与概率的差距一定越小 注意：频率：在多次重复试验中，某事件发生的次数与试验总次数的比值，是试验结果，具有随机性（不同次试验频率可能不同）。 概率：事件发生的可能性大小的数值，是理论值，具有确定性（如 “掷均匀硬币正面朝上的概率为 0.5”）。 关系：频率是概率的近似值，试验次数越多，频率越接近概率（大数定律），但频率≠概率。 二、 概率的计算 1. “等可能事件” 的判断错误 错误：计算概率时，未判断事件是否为 “等可能”，如将 “掷一枚质地不均匀的骰子” 的点数概率直接按 “点数 1-6 概率相等” 计算； 混淆 “基本事件” 与 “复合事件”，将非等可能的基本事件当作等可能事件计算（如 “掷两枚硬币，出现‘正正’‘正反’‘反正’‘反反’的概率是否相等”，若硬币质地均匀，则相等；若质地不同，则不等）。 注意：古典概型的两个条件：① 试验中所有可能的结果是有限个；② 每个结果出现的可能性相等。 计算步骤： 确定基本事件总数 n（如 “掷两枚骰子，基本事件总数为 6×6=36”）； 确定事件 A 包含的基本事件数 m； 概率​（仅当基本事件等可能时成立）。 2. 几何概型中 “测度” 的选取错误 错误：几何概型中，误将 “长度”“面积”“体积” 等测度选错，如 “在一个边长为 2 的正方形内随机取点，求点落在对角线的概率”，误将 “正方形面积” 当作测度（正确测度是 “对角线长度” 或 “对角线所在线段的长度”）； 忽略 “几何概型的等可能性”，如 “在一个圆内随机取点，求点落在圆内某扇形的概率”，若扇形的弧长或面积不明确，直接用 “角度” 计算。 注意：几何概型的核心：试验的结果是无限个，且每个结果出现的可能性相等，概率与 “测度”（长度、面积、体积等）成正比。 常见类型及测度选取： 一维问题（如 “在数轴上 [0,1] 区间内随机取点”）：测度为长度； 二维问题（如 “在平面图形内随机取点”）：测度为面积； 三维问题（如 “在立体图形内随机取点”）：测度为体积。 计算步骤： 确定试验的全部结果所对应的几何区域的测度； 确定事件 A 对应的几何区域的测度； 概率 。 三、随机事件的应用 1. 用概率判断事件发生的 “可能性大小” 时的误区 错误：认为 “概率大的事件一定发生”，如 “某事件概率为 0.9”，就认为在一次试验中该事件必然发生； 认为 “概率小的事件一定不发生”，如 “某事件概率为 0.01”，就认为在一次试验中该事件一定不发生。 注意：概率仅表示事件发生的可能性大小，不表示事件 “一定发生” 或 “一定不发生”。 概率大的事件：发生的可能性大，但仍有 “不发生” 的可能（如 “概率 0.9” 的事件，在一次试验中仍有 10% 的概率不发生）； 概率小的事件：发生的可能性小，但仍有 “发生” 的可能（如 “概率 0.01” 的事件，在一次试验中仍有 1% 的概率发生）。 2. 设计概率试验时的 “公平性” 判断错误 错误：设计游戏规则时，未保证双方的概率相等，如 “两人玩游戏，一方用‘掷骰子点数大于 3’的规则，另一方用‘点数小于 3’的规则”，未判断规则的公平性； 忽略 “试验的随机性”，认为 “多次试验后，事件发生的频率一定等于概率”，从而误判试验的公平性。 注意：公平性判断：设计游戏规则时，需保证双方获胜的概率相等（如 “掷一枚均匀硬币，正面朝上甲胜，反面朝上乙胜”，概率均为 0.5，规则公平）。 试验的随机性：即使概率相等，多次试验后频率也可能与概率有偏差，需通过大量重复试验验证公平性。 3. 对 “随机事件的概率” 的定义理解不透彻 错误：认为 “概率是事件发生的次数”，如 “掷硬币 10 次，正面朝上 5 次，概率为 5”； 忽略 “概率的取值范围”，认为 “概率可以大于 1 或小于 0”，如 “某事件的概率为 1.2”。 注意：概率的取值范围：0≤P(A)≤1，不可能事件的概率为 0，必然事件的概率为 1，随机事件的概率在 0 到 1 之间。 概率的本质：概率是事件发生的可能性大小的数值，与试验次数无关（如 “掷硬币正面朝上的概率为 0.5”，与掷的次数无关）。 1．任意翻开人教版九年级上册数学课本，正好是第页．这个事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上选项均不正确 【答案】C 【易错点】对随机事件，必然事件，不可能事件的概念的混淆 【解析】解：任意翻开人教版九年级上册数学课本，正好是第页，这个事件是随机事件， 故选：C． 2．在英语单词中任意选出一个字母，选出的字母为的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【易错点】计算概率时要统计清符合事件的结果和所有可能的结果. 【解析】解：在英语单词中任意选出一个字母，选出的字母为的概率为， 故选：． 3．秦腔，别称“梆子腔”中国汉族最古老的戏剧之一，起于西周，源于西府，成熟于秦，是中国国家级非物质文化遗产之一．如图是某同学收藏的秦腔邮票，分别是《火焰驹》《三滴血》和《游西湖》，它们除正面外完全相同．把这三张邮票背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【易错点】注意是抽取一张后放回再抽取. 【解析】令三张邮票的正面是A，B，C，列表如下： A B C A B C 由表格可知，一共有9种可能出现的结果，3种符合条件的结果，所以两次抽取的卡片正面相同的概率是． 故选：A． 4．足球队员小航每场比赛的进球率约为，若他明天将参加一场足球比赛，则下列说法正确的是（   ） A．小航明天肯定进球 B．小航明天每射球10次必进球1次 C．小航明天一定不能进球 D．小航明天有可能进球 【答案】D 【易错点】错误认为 “概率是事件发生的次数”． 【解析】解：根据以往比赛数据统计，小航进球率为，他明天将参加一场比赛小航明天有可能进球． 故选：D． 5．一个不透明的袋中只装有1个红球和2个蓝球，它们除颜色外其余均相同，现随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【易错点】随机从袋中同时抽取两个球，应当和不放回抽取情况相同 【解析】解：由题意可得， ， 总共有6种情况，一红一蓝的有4种， ∴， 故选：C． 6．如图，在“扫雷”游戏中，“3”相邻的空格中隐含有3个“雷”，那么随机点击其中一个空格，恰好点击到“雷”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【易错点】注意相邻的空格是8个，而非9个 【解析】解：“3”相邻的空格有8个，其中隐含有3个“雷”， 故随机点击其中一个空格，恰好点击到“雷”的概率是， 故选：C． 7．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【易错点】注意是不放回抽取 【解析】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A，B，C，D，画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即A）和《大学》（即C）的可能结果有2种可能， ∴P（抽取的两本恰好是《论语》和《大学》）， 故选：C． 8．电路图是人们为研究工程规划的需要，用物理电学标准化的符号绘制的一种表示各元器件组成及器件关系的原理布局图．如图所示，电路图上有3个开关，，和2个小灯泡、，同时闭合开关．，，可以使小灯泡、发光．对于“小灯泡发光”这个事件，下列结论错误的是（    ） A．闭合开关，，中的1个，灯泡发光是不可能事件 B．闭合开关，，中的2个，灯泡发光是随机事件 C．闭合开关，，中的2个，灯泡发光是必然事件 D．闭合开关，，中的2个，灯泡、发光的概率相同 【答案】C 【易错点】本题与物理知识结合，要熟悉电路知识，且要注意细分情况 【解析】对于A，闭合开关，，中的任何1个，灯泡都不发光， 所以灯泡发光是不可能事件，故选项A不符合题意； 对于B，闭合开关，，灯泡不发光； 闭合开关，，灯泡发光； 闭合开关，，灯泡不发光， 所以灯泡发光是随机事件，故选项B不符合题意； 对于C，闭合开关，，灯泡发光； 闭合开关，，灯泡不发光； 闭合开关，，灯泡不发光， 所以灯泡发光是随机事件，不是必然事件，故选项C符合题意； 对于D，由图可知，闭合开关，能让灯泡发光，闭合开关，能让灯泡发光， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有2种，灯泡发光的结果有2种， 所以灯泡发光的概率灯泡发光的概率， 即灯泡、发光的概率相同，故选项D不符合题意． 故选：C． 9．如图所示的两个转盘面积均被等分，用这两个转盘进行“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色．另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【易错点】注意第一个转盘和第二个转盘分别转出红色和蓝色的概率并不相等 【解析】解：列表如下： 红 黄 蓝 红 （红，红） （红，黄） （红，蓝） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） 绿 （绿，红） （绿，黄） （绿，蓝） 由表格可知，共有12种等可能的情况，其中可配成紫色的情况有2种， 则配成紫色的概率是， 故选：C． 10．一个不透明的口袋中装有4个白球、8个红球，这些球除颜色外完全相同，现将口袋中加入若干个同样的白球摇匀后，某同学从口袋中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，摇匀后再从口袋中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中……，如果这样摸出100个球，发现有40次找到红球，则加入白球的个数是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【易错点】要用频率估计概率，注意是放回抽取 【解析】解：设加入白球的个数为x个，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 则加入白球的个数是8个． 故选：A． 11．小明收集了二十四节气的卡片，卡片背面完全相同，小明将“立春、雨水、春分、谷雨”四张卡片单独拿出，邀请小亮和小华同时在其中各抽取一张，则两人抽到的卡片上的节气有相同汉字的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【易错点】两个人分别抽取，等同于不放回抽取 【解析】解：将 “立春、雨水、春分、谷雨”分别用A，B，C，D表示， 根据题意画出树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片上的节气有相同汉字的结果有4种，则两人抽到的卡片上的节气有相同汉字的概率为：． 故选：B． 12．从同一副扑克牌中挑出张红桃、张黑桃、张方块，将这张扑克牌洗匀后背面朝上，再从中抽出张牌，抽出的这张牌中恰好有张红桃的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【易错点】此题考查概率的计算公式，设抽出的牌中有张红桃、张黑桃、张方块，根据，，得出，则的可能取值有，，，最后逐一计算即可，熟记公式是解题的关键． 【解析】设抽出的牌中有张红桃、张黑桃、张方块，则都为正整数，且，， ∵， ∴， ∴的可能取值有，，，， 当时，， ∴，只有种可能； 当时，， ∴，或，，有种可能； 当时，， ∴，，或，或，，有种可能； 当时，， ∴，或，或，或，，有种可能， 共种可能，其中恰好有张红桃的可能有种， ∴所求概率为， 故选：． 13．掷一枚均匀的骰子，点数为3的概率是 ． 【答案】 【易错点】要熟练掌握古典概型的概率公式．先确定掷均匀骰子的所有可能结果数，再找出点数为3的结果数，最后根据概率公式计算． 【解析】解：掷一枚均匀的骰子，所有可能的结果有6种（点数1、2、3、4、5、6），其中点数为3的结果有1种． ∴， 故答案为：． 14．有三张背面完全相同的卡片，正面分别画了线段，平行四边形，正五边形，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，恰好是轴对称图形的概率为 ． 【答案】 【易错点】要先判断出轴对称图形有，线段、正五边形两个 【解析】解：将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张共有3种等可能结果，其中恰好是轴对称图形的有线段和正五边形2种结果， 所以恰好是轴对称图形的概率为， 故答案为：． 15．有四张完全一样正面分别写着汉字“我”“爱”“八”“中”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，求抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，利用列表法列出所有等可能结果，再找出两次汉字相同的情况数，利用概率公式计算 【解析】解：列表如下： 我 爱 八 中 我 我我 我爱 我八 我中 爱 爱我 爱爱 爱八 爱中 八 八我 八爱 八八 八中 中 中我 中爱 中八 中中 共有16种等可能性结果，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的结果有4种（我我、爱爱、八八、中中），因此概率为． 故答案为：． 16．生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因控制的．如人的眼皮性状由常染色体的一对基因控制，双眼皮由显性基因（A）控制，单眼皮由隐性基因（a）控制．当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮；当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．父母分别将他们一对基因中的一个等可能地遗传给子女．若父母都是双眼皮，且他们的基因都是，则他们的子女是单眼皮的概率为 ． 【答案】/ 【易错点】根据题意，注意到单眼皮是指（a，a）这种情况 【解析】解：列表如下： 父亲母亲 A a A a 由表格中，一共有四种等可能性的结果数，其中他们子女是单眼皮的结果数有1种， ∴他们子女可以是双眼皮的概率为． 故答案为：． 17．如图，对于下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥．从中任意选取一个，能判断的概率是 ． 【答案】 【易错点】平行线的判定定理及概率公式是解题的关键． 要先根据平行线的判定定理得出能判断的结论，然后求出概率即可． 【解析】解：①，不能判定， 故①不符合题意， ②∵∠3＝∠4； ∴， 故②不合题意， ③∵； ∴， 故③符合题意， ④∵； ∴， 故④不合题意， ⑤∵， ∴， 故⑤不符合题意， ⑥∵∠1＝∠2； ∴， 故⑥符合题． 故符合题意的有③⑥， 从中任意选取一个，能判断的概率是． 故答案为：． 18．笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（或），再经过第二道门（或或）才能出去． (1)松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是_____； (2)请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过门出去的概率． 【答案】(1) (2) 【易错点】注意画树状图时，不重复.最后概率要化简. 【解析】（1）解：∵松鼠经过第一道门时，要么选择，要么选择， ∴松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是， 故答案为： （2）解：画树状图如下： 共有6种等可能的情况，其中松鼠经过门出去的情况有2种， ∴松鼠经过门出去的概率是 19．体育老师对九年级一个班级的学生进行了立定跳远项目的测试，得到一组测试分数的数据，并将测试所得分数绘制成如图所示的统计图，图中从左到右的学生人数之比为，且成绩为8分的学生有12人．请根据信息解答下列问题： (1)这个班级有　　　　名学生． (2)这组数据的众数是　　　　，中位数是　　　　． (3)班级准备从获得满分10分的同学中选拔一男一女两名同学参加学校举行的田径运动会，体育老师发现获得满分的男女生人数相同，且甲男生和丙女生都在其中，求甲和丙同时被选中的概率． 【答案】(1)40 (2)9， (3) 【易错点】本题考查了树状图法求概率，条形统计图，众数，中位数，理解条形统计图中数据的含义，众数，中位数的概念． （1）根据得7分、8分、9分和10分的人数之比为，且成绩为8分的学生有12人，求得8分的学生占比为，即可求得该班的总人数； （2）根据（1）中所求得的总人数即可求出得分分别为7分、9分和10分的人数，结合中位数和众数的定义即可确定出这组数据的中位数和众数； （3）根据题意，根据画树状图法求概率即可求解． 【解析】（1）解：立定跳远测试成绩得7分、8分、9分和10分的人数之比为，且成绩为8分的学生有12人， 得8分的学生占比为， 这个班级总人数为：（人）； 故答案为：40； （2）解：这个班级总人数为40人，立定跳远测试成绩得7分、8分、9分和10分的人数之比为， 得分为7分的人数； 得分为9分的人数， 得分为10分的人数， 得分为8分的有12人， 该班立定跳远成绩的众数是9分， 将成绩按从小到大排列后，第20个和21个成绩分别为8分和9分， 该班立定跳远成绩的中位数是分． 故答案为：9，； （3）解：由（2）知获得满分10分的同学有4名，其中两男两女， 画树状图如图所示，    共有12种等可能结果，其中甲和丙同时被选中的有2种， ∴甲和丙同时被选中的概率是． 20．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来都有吃“粽子”的习俗．某食品厂为了解去年销售最好的肉馅粽、豆沙粽、红枣粽、蛋黄馅粽（分别用表示）这四种不同口味粽子的喜爱程度，在节前对某地区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下统计图． (1)本次调查的人数共___________人； (2)小星根据调查结果，给食品厂提出以下建议，你认为食品厂会采纳的是___________（填序号） ①在四种粽子中，少生产粽子； ②生产粽子的数量大约是粽子的2倍； ③由于喜欢粽子的人数最少，所以不生产粽子． (3)小红在四种口味的粽子中，最喜欢和这两种．现有外型完全相同的，这四种口味的粽子各一个，煮熟后，小红随机拿了两个，用列表或画树状图的方法，求她刚好拿到自己最喜欢的这两种口味粽子的概率． 【答案】(1)700 (2)①② (3) 【易错点】本题考查了条形统计图、借助调查做决策、概率的计算，读懂统计图获取必要的信息是解题的关键． （1）结合条形统计图，将喜欢四种粽子的人数相加即可得出调查的人数； （2）借助调查结果，逐项分析即可判断； （3）根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可．注意不重复. 【解析】（1）解：（人）， 本次调查的人数共700人． 故答案为：700． （2）解：根据调查结果，喜欢粽子的人最少， 所以在四种粽子中，少生产粽子的建议比较合理，故①符合题意； 根据调查结果，喜欢粽子的人大约是喜欢粽子的人的2倍， 所以生产粽子的数量大约是粽子的2倍的建议合理，故②符合题意； 由于喜欢粽子的人数最少，所以不生产粽子的建议不合理，故③不符合题意； 综上所述，食品厂会采纳的是①②． 故答案为：①②． （3）解：列表如下： 由表格可得，共有12种等可能的结果，拿到自己最喜欢的这两种口味粽子的情况有2种， 拿到自己最喜欢的这两种口味粽子的概率． 21．随着时代发展，人们乘坐公交车支付车票的方式更加多样、便捷，某校数学实践小组设计了一份公交车票支付方式调查问卷，要求每位被调查人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： (1)这次活动共调查了___________人；在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为___________； (2)将条形统计图补充完整； (3)小明和小亮都没有公交卡，在乘车中，想从“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率 【答案】(1)200， (2)见解析 (3) 【易错点】 本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本容量，圆心角的计算，列表或画树状图法求概率，要熟练掌握统计图的意义，概率计算，正确计算样本容量，计算概率． 【解析】（1）解：根据题意，得， 故表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：200， （2）解：公交卡的人数为：(人)， 现金人数为(人)， 补图如下： ． （3）解：小明和小亮用甲和乙表示，“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式分别用A，B，C，D表示，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果数，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的有4种结果， 所以两人恰好选择同一种支付方式的概率为． 22．阅读是人类获取知识、理解世界的重要途径．某学校为了解学生每周的阅读情况，随机调查了七年级部分学生每周阅读时间（单位：小时），并进行整理和分析（时间x分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：），C档从小到大排列后部分数据是：2，，，，，，…，绘制不完整统计图如图所示： 根据以上信息，回答下列问题： 七年级部分学生每周阅读时间条形统计图七年级部分学生每周阅读时间扇形统计图      (1)本次调查的样本容量为______，m的值为______，补全条形统计图； (2)调查的七年级学生每周阅读时间的中位数为______； (3)若E档4名学生恰为两男两女，现从中随机抽取两人进行阅读经验汇报，请用画树状图的方法求抽取的两人都为男生的概率． 【答案】(1)，，图见解析 (2) (3) 【易错点】本题考查条形统计图，扇形统计图和概率的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据的人数和在扇形统计图中所占的比例，可求解样本容量，进而求得m的值； （2）根据和档人数共人，然后在档中找到按照从小到大排列后的第5人和第6人，然后即可求解； （3）本题需先将树状图画出，然后通过树状图即可求解抽取的两人都为男生的概率； 【解析】（1）解：由题得：的人数为4人，在扇形统计图中所占的比例为， ∴， ∴本次调查的样本容量为， 由题得：的人数为人，的人数为6人，的人数为人， ∴的人数为， 即； 条形统计图： （2）解：∵总人数人，和档人数共人， ∴将学生每周的阅读情况从小到大排列后，排在第和第的都在C档， ∵C档从小到大排列后部分数据是：2，，，，，，…， ∴可得排在第和第的数据分别是：，，； ∴中位数为； （3）解：设两位男生为男1和男2，两位女生为女1和女2，依据题意得树状图： 由图可得：共有12种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都是男生的结果有2种， 所选两名学生恰好都是男生的概率为； 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $