数学二模模拟卷04（全国一卷通用）学易金卷：2026年高考第二次模拟考试

窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第二次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 7 P D C B D C B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AB ACD ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-2 13.0.171 14.640 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解析】(1)因为S+2 2 an’S1=a 所以令n=1,可得8+2 =a1,解得a1=2 2 当n≥2时， Sn1+2 2 三a-1’ 则8=a。-a1,即a,=2a 所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以数列{an}的通项公式为a,=2” (2)因为an=2", 所以log2an=log22”=n, 1/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 11 即bn=nn+1,, b.n.(n+1)' 11 所以T,=1x22×3 1 十·十 n(n+1 3++日 =11 n+1 因为n∈N,所以1>0，即1- <1, n+1 n+1 所以T<1 16.(15分) 【解析】(1)零假设H。：参与绿色出行与年龄群体无关， 则x2-10(35×30-15x202100 9.091>3.841， 55×45×50×50 11 根据小概率值0=0.05的独立性检验，H。不成立， 所以参与绿色出行与年龄群体有关， (2)设A,=“市民甲第i天参与了绿色出行”，A=“市民甲第天没有参与绿色出行”，i∈N. 由题意知：P叫4-子P(团=子P叫A4)=P(A同可列子 P=叫叫4+r国P4可=对号-是 P网-1是是 P4=叫42叫44+P川国P4国团-是号品 ∴市民甲第二天参与了绿色出行的概率为 ,第三天参与了绿色出行的：率为3 13 144 17.(15分) 【解析】(1)在平面PAE内过点P作PH⊥AE于点H,连接CH, 在梯形ABCD中，由∠ADC=90°，AD=2√5，DE=2, 易得∠DEA=60°，则EH=DE cos∠DEA=1,DH=√3，即PH=V3. 2/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在△CEH中，由余弦定理，得 CH2=EH2+EC2-2EH.EC.cos /HEC=1+16+4=21. PC=2W6,且PC2=PH2+CH2,∴.PH⊥HC,又AE∩CH=H, ∴.PH⊥平面ABCE, :PHC平面PAE,.平面PAE⊥平面ABCE; (2)过点H作AB的平行线交BC于点G,易得HG⊥AE, 以H为原点，分别以HA,G,HP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Hxyz, 由已知，得A(3,0,0),B(3,4V3,0),C(-3,2V3,0),E(-1,0,0),P(0,0,V3), 再设A,B,C,P在同一个球的球心坐标为O(x,y,z),半径为r, 0A=l3-x,-y,-2=V3-x)2+y2+22=r 08=3-x,43-⅓-z=V3-xP+(45-y+z2=r 则有 0C=(-3-x,23-y-z)=V3-xy+(23-2+2=r 0=-x,-y5-z=VR2+y2+(W3-y}=r x=1 求解可得y=2V3,即球心坐标为0L,2V3,0),所以点0在平面ABCE内： z=0 (3)设PF=元PB,(0≤元≤1)，由PB=(3,4V5,-√5)，得PF=(3,4V52,-√52)，则 F(32,43元，√3-√52). AF=(3元-3,4V3元，-√3+√3)，易知平面APE的法向量为i=(0,1,0) 直线AF与平面APE所成角的正弦值为 AF.n 4V3 25 sin(AF,n)》 AF n V3-3)2+(432)2+(-√3元+V5)2 5 3/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2 设平面AEF的法向量为n,=(x,y,z), AE·元=-4x=0 则 n名x+24白 ，令z=4,则x=0,y=-1,所以平面AEF的法向量为 2=0 2 n1=(0-1,4), 全面P8历=045一.F(259) 设平面PAB的法向量为元2=(x2,y2,22), 元，·P8=3x,+43y,-V3z,=0 所以 元P丽-5+25g+5,=0令5=1，得后=a, 2 平面AEF与平面PAB所成角的余弦值为 n1·n2 45 251 cosn,n2 %n2 V+42V1?+√5 17 18.(17分) 【解析】(1)设A(x,),B(x2,y2), 当AB不与x轴垂直时，直线AB的两点式方程为)-上=x-玉 y2-4x2-x 代入x= 立整理得4x-0y+)y+=0, 4 当AB与x轴垂直时也符合， 故直线AB的方程为4x-(y+y2)y+yy2=0. 由于直线AB过F(1,0),代入得yy2=-4, 若俏顿角为弩则n=5,则手-厅，万+为 y1+y2 3 4/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则4B卡x+5,+2=+经+2=+-2+2=16 4 4 (2)设D(x3,3),由(1)同理可得直线AD的方程为4x-(y+y3)y+y=0, 由于直线AD过点M2,0),代入得yy3=-8, 设E(x4,y4),则直线DE的方程为4x-(y+y4)y+y4=0, 由于直线DE过F1,0),代入得y4=-4,则y,=丛=-2， yiy3 直线BE的方程为4x-(y2+y4)y+y2y4=0, 即4x-(0,+)y-2=0,过定点（与0） (3)由1)(2，令y=21>0,则5=2， 则宁学经-0 2 设D与x轴交于N(xw,0),直线P的两点式方程为)-2=X-2 yo-yp Xo-xp 代入得xw-o--9-(+》. 4 Yo-yp 4 则sm=5m+5ew-,-o-e+号 设u=1+子之25，则产+兰-4，则sg=f0@)=6a2-5加. 由于u225,则fm=16-5u单调递增，则f≥f2V)=32 S,Mm的取值范围为[ 8,+oo) 5/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D 19.(17分) 【解析】(1)拿到编号为1的奖品，X=1,即至少有一次抽到1，所以P(X=)=1- G+ 拿到编号为2的奖品，X=2,即没有抽到1，且至少有一次抽到2， 2 1)2 没有抽到1的概率为 2 4 没有抽到1且全抽到3的概率为 1 9 3 P(X=2)= 411 993 所以拿到编号1的盲盒对应奖品的概率是 9 ，拿到编号2的盲盒对应奖品的概率是 3 (2)①拿到编号不小于k,X≥k,即每次抽到的编号都大于等于k ，k=1,2,3,4 ②因为事件X=k与事件X≥k+1互斥，所以P(X≥k)=P(X≥k+1+P(x=k), 即PX=A利=P叫X≥k-PX≥k+=4-k+14-,k=1234, 4m 所以随机变量x的期望EX=14-3）+2-3-2)+32-1)+4-0) +1-日 4" (3)PX==PX≥k-PX≥k+=I-k+-n-,k=L2,n, 随机变量X的期望E(X)=∑k·P(X=k) 6/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1[n-(n-1]+2-[n--(n-2]++(n-2-1）+n1 n 121旧j+。y n" 设fx=x+1-x，xe(0,,f"(x=mx-1-x)]， 当n=1时，P(X=1=1,E(X)=1×1=1,等号成立； =2时AX=2-1+2--AX-2-子 22 =1+2x 2×=,等号成立： 当n≥3时， 当xe0,嘴，f八<0，f八岸调避减： 当x∈2时，了八>0，f刘单调递塔： 所以f=+-≥f分是， 授M=日+++"2+ 因为w(ヅ2ヅ++ 所以2M≥a-小是，所M≥ 2” 综上所述，E(X)≥1+”- 2” 7/7 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 1 3.已知是第三象限角，，则（ ） A. B. C. D. 4.某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高（单位：cm）进行了测量，发现株高近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与圆交于两点，当的面积最大时，点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. “东数西算”是一项国家战略工程，旨在通过构建全国一体化算力网络体系，将东部算力需求有序引导到西部的资源优化配置策略．某人工智能公司有两种方式租赁算力方案可供选择，一种是仅根据单位算力支付费用，另一种是租用专用超级计算机，然后再根据单位算力支付费用，下表列出了该公司调查A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少的租赁方案，当他有算力需求时，最优方案所需费用为（ ） 公司 算力 租赁最少费用 A公司 120万元 B公司 180万元 C公司 220万元 A. 240万元 B. 280万元 C. 260万元 D. 300万元 7.设是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 样本数据的平均数是，方差是，极差为，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则的平均数为 B. 若，则的方差为0 C. 若的极差是，则 D. 若，则这组数据的第75百分位数是 10. 在锐角中，角的对边分别是，已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点P为C右支上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为2 D. 若M为圆上一点，则的最大值为7 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知平面向量，若，则实数___________． 13. CBA季后赛总决赛在甲、乙两支球队进行，总决赛采用七局四胜制（7场4胜），总决赛的主场优势授予常规赛排名更高的球队，采用“”的主客场安排（即排名高的球队先打两个主场，然后是对手的两个主场，之后若需要，交替进行一个主场）．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，若甲球队常规赛排名更高，那么甲队获胜的概率是______． 14. 庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为，广为，上袤是下袤的，和与底面所成角均为，则该刍甍的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式． （2）设，数列的前项和为，证明：． 16．（15分） 2025年我国多地推广“碳普惠”体系，鼓励市民参与绿色出行获取低碳积分．某社区随机抽取100名居民调查绿色出行情况，得到如下列联表（绿色出行定义为“日常通勤采用公交、骑行、步行”）： 参与绿色出行 不参与绿色出行 总计 青年群体（40岁） 35 15 50 中老年群体（40岁） 20 30 50 总计 55 45 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析参与绿色出行是否与年龄群体有关？ （2）若市民甲前一天参与了绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为；若前一天没有参与绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为．如果市民甲第一天参与了绿色出行的概率为，分别求出他在第二天、第三天参与了绿色出行的概率． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 17．（15分） 如图1，在直角梯形中，，，，，点E是上靠近点D的三等分点，现将沿着折起，使得点D到达点P的位置，且，如图2． （1）求证：平面平面； （2）若P，A，B，C在同一个球面上，设该球面所在球的球心为O，证明：点O在平面内； （3）若点F为线段上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 18．（17分） 设抛物线的焦点为，过的直线与交于两点（点在轴上方），点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为． （1）若倾斜角为，求； （2）探究直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由； （3）若线段的中点分别为，求的取值范围． 19．（17分） 学校社团准备了编号1到的个盲盒，不同的编号对应不同的奖品（编号越大，奖品越好）．规则如下：参与者有放回地抽取盲盒次，一次抽取一个盲盒，抽到的编号最小的盲盒对应的奖品即为最终奖品，设获得的奖品对应的盲盒编号为． （1）当，时，求最终拿到编号1的奖品的概率和拿到编号2的奖品的概率． （2）若． ①求最终拿到编号不小于的奖品的概率； ②用表示出期望． （3）当时，证明：期望． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 1.【答案】D 【解析】，，则或，. 故选：D. 2.设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 1 2.【答案】C 【解析】， 所以，解得． 故选：C 3.已知是第三象限角，，则（ ） A. B. C. D. 3.【答案】B 【解析】因为，所以． 故选：B． 4.某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高（单位：cm）进行了测量，发现株高近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（ ） A. B. C. D. 4.【答案】D 【解析】因为，则， 可得，解得， 即“过高”等级中的株高，结合选项可知D正确，ABC错误. 故选：D. 5. 已知直线与圆交于两点，当的面积最大时，点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 5.【答案】A 【解析】方法一：因为，所以当，即时，的面积最大，此时是等腰直角三角形，点到直线的距离为． 方法二：设点到直线的距离为，则， 因为与圆相交，且不经过点，所以，所以当时，取最大值，即取最大值，此时，即点到直线的距离为． 方法三：设点到直线的距离为． 则，联立化简，得， 则， 因为， 所以， 当时，取最大值，即取最大值，此时． 故选：A 6. “东数西算”是一项国家战略工程，旨在通过构建全国一体化算力网络体系，将东部算力需求有序引导到西部的资源优化配置策略．某人工智能公司有两种方式租赁算力方案可供选择，一种是仅根据单位算力支付费用，另一种是租用专用超级计算机，然后再根据单位算力支付费用，下表列出了该公司调查A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少的租赁方案，当他有算力需求时，最优方案所需费用为（ ） 公司 算力 租赁最少费用 A公司 120万元 B公司 180万元 C公司 220万元 A. 240万元 B. 280万元 C. 260万元 D. 300万元 6.【答案】C 【解析】设方案一，单位算力费用为万元，方案二，单位算力费用为万元， 租用一台超级计算机费用t万元 运算量付费 租赁方式付费 租赁最少费用 A公司 120万元 B公司 180万元 C公司 220万元 由于A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少，根据数据计算量支付费用分别为，，成等差数列，与租赁最少费用120万元，180万元，220万元矛盾，租用超级计算机分别为，，也成等差数列，与租赁最少费用120万元，180万元，220万元矛盾， 则必有某公司是根据数据计算量支付费用的．若根据数据计算量支付费用的是B公司则，则与A公司租赁最少费用120万元矛盾；若根据数据计算量支付费用的是C公司则，则与A公司租赁最少费用120万元矛盾；故根据数据计算量支付费用的是A公司，租用超级计算机的是B公司和C公司，则，，， 解得：，，，若某公司有算力需求时，最优方案需费用为万， 故选：C． 7.设是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.【答案】B 【解析】由已知条件及三角函数诱导公式得： 所以函数的周期， 在同一直角坐标系中作出函数的图象，如图所示： 因为为连续三交点，（不妨设在轴下方），为的中点，由对称性知，是以为底边的等腰三角形，所以，由展开整理得：，又，所以， 设点的纵坐标分别为，则，即， 要使为锐角三角形，则，又， 所以当且仅当时满足要求，此时，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8.【答案】D 【解析】由，则，即对于恒成立， 而函数和在上均为增函数，则函数和在上有共同的零点，即，则，即，设，则， 令，得或，令，得，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，又时，，时，，且， 则，即的取值范围是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 样本数据的平均数是，方差是，极差为，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则的平均数为 B. 若，则的方差为0 C. 若的极差是，则 D. 若，则这组数据的第75百分位数是 9.【答案】AB 【解析】对于A，由原数据的平均数， 可得新数据的平均数为， 故A正确； 对于B，由原数据的方差是， 可得新数据的方差为， 故B正确； 对于C，若样本数据为，则其极差为， 此时数据为，则其极差， 即，故C错误； 对于D，由，所以数据的第75百分位数是，故D错误； 故选：AB 10. 在锐角中，角的对边分别是，已知，则（ ） A. B. C. D. 10.【答案】ACD 【解析】对于A，因为，由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 即，可得， 因为，所以或， 即或（舍去），所以A正确； 对于B，由，可得， 由正弦定理得，因为，所以，所以，所以B错误； 对于C，由余弦定理得， 因为，代入可得， 整理得，即， 又因为，可得，所以， 所以，所以C正确； 对于D，由，可得，则， 因为，可得 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 令，可得在单调递增， 当时，；当时，， 所以， 因为，所以成立，所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点P为C右支上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为2 D. 若M为圆上一点，则的最大值为7 11.【答案】ABD 【解析】对于A：双曲线，，， 故渐近线方程为，即，双曲线，，， 故渐近线方程为，即，A正确； 对于B：由题意得，，， 由双曲线的定义得，，∵，∴，， 故的周长为，B正确； 对于C：P在右支上，设，则，， 因为，所以，解得（负值舍去）， 所以的面积为，故C错误； 对于D：圆的圆心E的坐标为，半径为1， 易知为双曲线的左焦点，故， 则， 当M为线段PE的延长线与圆的交点时等号成立， 所以的最大值为7，D正确． 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知平面向量，若，则实数___________． 12.【答案】 【解析】由向量，可得， 因为，所以，解得. 故答案为：. 13. CBA季后赛总决赛在甲、乙两支球队进行，总决赛采用七局四胜制（7场4胜），总决赛的主场优势授予常规赛排名更高的球队，采用“”的主客场安排（即排名高的球队先打两个主场，然后是对手的两个主场，之后若需要，交替进行一个主场）．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，若甲球队常规赛排名更高，那么甲队获胜的概率是______． 13.【答案】 【解析】甲队在前五场比赛中，赢3场输2场，第六场赢． 又前五场中甲队有三个主场，两个客场，第六场为客场． 甲队三个主场全胜，两个客场全负以获胜的概率是； 甲队三个主场2胜1负，两个客场1胜1负以获胜的概率是； 甲队三个主场1胜2负，两个客场2胜以获胜的概率是； 综上所述，甲队以获胜的概率. 故答案为： 14. 庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为，广为，上袤是下袤的，和与底面所成角均为，则该刍甍的体积为________． 14.【答案】640 【解析】如图，已知，，， 过点F作平面ABCD，垂足为O，连接OB，OC，Q为BC的中点，连接FQ， 因为，所以，，所以为平面BCF与底面所成的角，则，所以，则， 则该刍甍的体积． 故答案为：640 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式． （2）设，数列的前项和为，证明：． 15．（13分） 【解析】（1）因为 所以令，可得，解得. 当时，， 则，即， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）因为， 所以， 即， 所以 . 因为，所以，即， 所以. 16．（15分） 2025年我国多地推广“碳普惠”体系，鼓励市民参与绿色出行获取低碳积分．某社区随机抽取100名居民调查绿色出行情况，得到如下列联表（绿色出行定义为“日常通勤采用公交、骑行、步行”）： 参与绿色出行 不参与绿色出行 总计 青年群体（40岁） 35 15 50 中老年群体（40岁） 20 30 50 总计 55 45 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析参与绿色出行是否与年龄群体有关？ （2）若市民甲前一天参与了绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为；若前一天没有参与绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为．如果市民甲第一天参与了绿色出行的概率为，分别求出他在第二天、第三天参与了绿色出行的概率． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 16．（15分） 【解析】（1）零假设：参与绿色出行与年龄群体无关， 则， 根据小概率值的独立性检验，不成立， 所以参与绿色出行与年龄群体有关． （2）设“市民甲第天参与了绿色出行”，“市民甲第天没有参与绿色出行”，． 由题意知：， ∴， ∴， ∴． ∴市民甲第二天参与了绿色出行的概率为，第三天参与了绿色出行的概率为． 17．（15分） 如图1，在直角梯形中，，，，，点E是上靠近点D的三等分点，现将沿着折起，使得点D到达点P的位置，且，如图2． （1）求证：平面平面； （2）若P，A，B，C在同一个球面上，设该球面所在球的球心为O，证明：点O在平面内； （3）若点F为线段上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 17．（15分） 【解析】（1）在平面内过点P作于点H，连接， 在梯形中，由，，， 易得，则，，即． 在中，由余弦定理，得 ． ，且，，又， 平面， 平面，∴平面平面； （2）过点H作的平行线交于点G，易得， 以H为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 由已知，得，，，，， 再设A，B，C，P在同一个球的球心坐标为，半径为， 则有， 求解可得，即球心坐标为，所以点O在平面内； （3）设，，由，得，则． ，易知平面的法向量为 直线与平面所成角的正弦值为， 解得，， 平面中，，设平面的法向量为， 则，令，则，，所以平面的法向量为， 在平面中，，， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 平面与平面所成角的余弦值为 . 18．（17分） 设抛物线的焦点为，过的直线与交于两点（点在轴上方），点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为． （1）若倾斜角为，求； （2）探究直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由； （3）若线段的中点分别为，求的取值范围． 18．（17分） 【解析】（1）设， 当不与轴垂直时，直线的两点式方程为， 代入整理得， 当与轴垂直时也符合， 故直线的方程为. 由于直线过，代入得， 若的倾斜角为，则，则，， 则. （2）设，由（1）同理可得直线的方程为， 由于直线过点，代入得， 设，则直线的方程为， 由于直线过，代入得，则， 直线的方程为， 即，过定点. （3）由（1）（2），令，则，，， 则，， ，， 设与轴交于，直线的两点式方程为， 代入得， 则， 设，则，则， 由于，则单调递增，则， 的取值范围为. 19．（17分） 学校社团准备了编号1到的个盲盒，不同的编号对应不同的奖品（编号越大，奖品越好）．规则如下：参与者有放回地抽取盲盒次，一次抽取一个盲盒，抽到的编号最小的盲盒对应的奖品即为最终奖品，设获得的奖品对应的盲盒编号为． （1）当，时，求最终拿到编号1的奖品的概率和拿到编号2的奖品的概率． （2）若． ①求最终拿到编号不小于的奖品的概率； ②用表示出期望． （3）当时，证明：期望． 19．（17分） 【解析】（1）拿到编号为1的奖品，，即至少有一次抽到1，所以. 拿到编号为2的奖品，，即没有抽到1，且至少有一次抽到2， 没有抽到1的概率为，没有抽到1且全抽到3的概率为， . 所以拿到编号1的盲盒对应奖品的概率是，拿到编号2的盲盒对应奖品的概率是． （2）①拿到编号不小于，，即每次抽到的编号都大于等于. 所以，. ②因为事件与事件互斥，所以， 即 所以随机变量的期望 （3）， 随机变量的期望 . 设，，， 当时，，等号成立； 当时， ，等号成立； 当时， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 设， 因为， 所以，所以. 综上所述，. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 1 3.已知是第三象限角，，则（ ） A. B. C. D. 4.某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高（单位：cm）进行了测量，发现株高近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与圆交于两点，当的面积最大时，点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. “东数西算”是一项国家战略工程，旨在通过构建全国一体化算力网络体系，将东部算力需求有序引导到西部的资源优化配置策略．某人工智能公司有两种方式租赁算力方案可供选择，一种是仅根据单位算力支付费用，另一种是租用专用超级计算机，然后再根据单位算力支付费用，下表列出了该公司调查A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少的租赁方案，当他有算力需求时，最优方案所需费用为（ ） 公司 算力 租赁最少费用 A公司 120万元 B公司 180万元 C公司 220万元 A. 240万元 B. 280万元 C. 260万元 D. 300万元 7.设是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 样本数据的平均数是，方差是，极差为，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则的平均数为 B. 若，则的方差为0 C. 若的极差是，则 D. 若，则这组数据的第75百分位数是 10. 在锐角中，角的对边分别是，已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点P为C右支上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为2 D. 若M为圆上一点，则的最大值为7 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知平面向量，若，则实数___________． 13. CBA季后赛总决赛在甲、乙两支球队进行，总决赛采用七局四胜制（7场4胜），总决赛的主场优势授予常规赛排名更高的球队，采用“”的主客场安排（即排名高的球队先打两个主场，然后是对手的两个主场，之后若需要，交替进行一个主场）．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，若甲球队常规赛排名更高，那么甲队获胜的概率是______． 14. 庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为，广为，上袤是下袤的，和与底面所成角均为，则该刍甍的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式． （2）设，数列的前项和为，证明：． 16．（15分） 2025年我国多地推广“碳普惠”体系，鼓励市民参与绿色出行获取低碳积分．某社区随机抽取100名居民调查绿色出行情况，得到如下列联表（绿色出行定义为“日常通勤采用公交、骑行、步行”）： 参与绿色出行 不参与绿色出行 总计 青年群体（40岁） 35 15 50 中老年群体（40岁） 20 30 50 总计 55 45 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析参与绿色出行是否与年龄群体有关？ （2）若市民甲前一天参与了绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为；若前一天没有参与绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为．如果市民甲第一天参与了绿色出行的概率为，分别求出他在第二天、第三天参与了绿色出行的概率． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 17．（15分） 如图1，在直角梯形中，，，，，点E是上靠近点D的三等分点，现将沿着折起，使得点D到达点P的位置，且，如图2． （1）求证：平面平面； （2）若P，A，B，C在同一个球面上，设该球面所在球的球心为O，证明：点O在平面内； （3）若点F为线段上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 18．（17分） 设抛物线的焦点为，过的直线与交于两点（点在轴上方），点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为． （1）若倾斜角为，求； （2）探究直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由； （3）若线段的中点分别为，求的取值范围． 19．（17分） 学校社团准备了编号1到的个盲盒，不同的编号对应不同的奖品（编号越大，奖品越好）．规则如下：参与者有放回地抽取盲盒次，一次抽取一个盲盒，抽到的编号最小的盲盒对应的奖品即为最终奖品，设获得的奖品对应的盲盒编号为． （1）当，时，求最终拿到编号1的奖品的概率和拿到编号2的奖品的概率． （2）若． ①求最终拿到编号不小于的奖品的概率； ②用表示出期望． （3）当时，证明：期望． / 学科网（北京）股份有限公司 $