数学二模模拟卷02（天津专用）学易金卷：2026年高考第二次模拟考试

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.下列说法中，不正确的是（ ） A. 在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8 B. 分类变量A与B的统计量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大 C. 根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则 D. 两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好 3.已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需时间（单位：小时），其中为常数.在此条件下，训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 8倍 5.已知，，则（ ） A. B. C. D. 6.某圆台形无盖水桶的表面积为，水桶下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，则该水桶的容积为（ ）（水桶壁与底的厚度忽略不计） A. B. C. D. 7.已知，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的一点，点在轴上，满足.若，则椭圆的离心率为（   ） A. B. C. D. 8.函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9.已知函数，若不等式 在 上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共105分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.若复数 满足 ( 为虚数单位)，则 ___________； 11.在的展开式中，的系数为___________； 12.已知直线与圆相交于两点， 则劣弧的长为___________； 13.为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________； 14. 如图，△是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，那么______；点M为线段CE上的动点，则的最小值为______． 15.在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知数列满足，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）记，数列的前项和为，证明：. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，平面平面. （1）证明：. （2）点在线段上，若平面，求. （3）求二面角的正弦值. 18．（15分） 在中，角的对边分别是，且，且． （1）求角的大小； （2）D为AC过上的一点，，且_____，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． ①BD是角B的平分线； ②D为线段AC的中点． （3） 若为锐角三角形，求AC边上的高取值范围． 19． （15分） 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，点的坐标为，且为的中点. （1）求椭圆的方程； （2）斜率不为0的动直线过点交椭圆于，两点，直线，交于点，直线AD，BC交于点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，证明为定值； （ii）以为直径的圆被轴所截得的弦长是否为定值?如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说明理由. 20.（16分） 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，判断函数的单调性； （3）讨论函数的零点个数． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第二次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 3 4 6 7 8 9 D D A B B C C A 第二部分（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.√5 12. 4π 11.-3 3 25 13. 14.①.6 ②.- (或者6.25)15.x+y+3=0 4 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(14分) 【解析】(1)由an+2+3an=4an+1,得an+2-a+1=3a1-3an=3(a+1-an), 1 3 3_1=1≠0 又4=2a,=2所以a,-a=22 所以a1-0,≠0,02-0u=3, an+l-an 即{a+1-an}是以1为首项，3为公比的等比数列： (2)由(1)知a1-an=1×3”-1=3-1, 当n≥2时，an=(an-an-i)+(an-1-an-2+(an-2-an-3）+…+(a2-a)+a1 3+3+++3+ 也成立，所以{a,的通碳公式为0，=3 3-1 当n=1时，an= 2 (3)由(2)得bn=2an+1=3”-+1, 1/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 防以0g训 3- 1(11 断-)产+】 阳4 显然{Sn}是递增数列，所以Sn≥S= 16 因为3+1 111 1 之0，所以S，4×2=8,所以≤S 16 8 17.(15分) 【解析】(1)作PE⊥AD,垂足为E,连接CE 在△PAD中，cos∠PDA=PD'+AD2-PA-V 2PD·AD 2 ,sin∠PDA= 2 .PE=PD-sin LPDA-22.4E=PA-PE=1 所以AE=BC,四边形ABCE是正方形 所以CE⊥AD 因为CE⌒PE=E,所以AD⊥平面PCE 因为PC∈平面PCE,所以AD⊥PC (2)因为四边形ABCE是正方形，所以AB∥CE 因为ABc平面PAB,所以CE/平面PAB 若CM//平面PAB,因为CE∩CM=C,所以平面CEM//平面PAB 因为平面PADO平面CEM=EM,平面PADO平面PAB=PA,所以EM∥PA, 防以05因为PM+0=25,所M2 3 (3)以E为坐标原点，EC,ED,EP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(1,-1,0),C(1,0,0),D0,2,0),P(0,0,2,则PC=(1,0,-2),BC=(0,1,0,CD=-1,2,0) 2/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 设平面PBC的法向量为m=（x1,y,2), 则 mPC=x-2名=0取m=(20, m·BC=y=0, 设平面PCD的法向量为i=（x2,y2,z2), i.PC=x2-2z2=0, 则 取苏=(2,1， i.CD=-x2+2y2=0, 2×2+1 cosm,n= V30 V22+1×V22+1+1 6 /30 /6 .sinm,n 6 6 即二面角B-PC-D的正弦值为6 18.(15分) 【解析】()在ABC中，C=sinA+2 sin Bcos4 a 2sinA ∴.结合正弦定理可得： sin C sinA+2sin BcosA sinA 2sinA 由A∈0，π得sinA>0,.2sinC=sinA+2 sinBcosA, .'2sin(A+B)=sinA+2sinBcosA, .2sinAcosB+2 cos Asin B=sinA+2cos Asin B, .2sinAcosB sinA, .sinA(2cos B-1)=0, 又sn4>0:cosB-7又Be0,所以B=子 2 3/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)若选①：由BD平分∠ABC得：S△BC=S△HBD+S△BcD, 2acsin x3csinx3asin ac-(a+c). 32 62 6 在ABC中，由余孩定理得62=d+e2-2acos号，则d2+c2-ac=12, ac=v3(a+c) 联立 a2+c2-ac=12' 得(ac-9ac=36,解得ac=12, 5e-csm812x9-=3v5: 2 2 若达g:由题段D-8+8C 则8D-8A+8c=+28a-8c+B8c） p9=号e2+28+al,所以02+e2+ac=36 在ABC中，由余弦定理得=a2+2-2acos骨.则a2+c2-ac=12, a2+c2+ac=36 联立 a2+c2-ac=12' 得ac=12, .5uc-aesinx 1 2 2 3》由正弦定理有2R=6=2V5 sinB√3 4a=4sin 4.c-4sin C. 2 sindsinc-1sindsinsinsin+co -8n4+8wsco=8x1-g24+45n24=n24-8}-4, 2 0<A< 2 由于ABC为锐角三角形，故 ，故A< 0 2π-A< 6 3 2 图24后）n24-副2，n4-君引4e回 4/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 因此8<ac≤12， 设AC边上的高为a,Sac=号acsinB=bh→h=C, 1 4 所以h∈(2,3 19.(15分) 【解析】(1)因为点E的坐标为(1,0)，且E为OB的中点， 所以B(2,0),即a=2 又离心*e=-5,所以c=5, 所以b2=a2-c2=4-3=1, 所以椭圆G消方程为士十y=1 4 (2)(1)因为直线I过点E1,0)，可设直线的方程为x=my+1,C(x,y),D(x2,y2), x2 +少=1消去x得4+m2)y2+2my-3=0 由4 x=my+1 所以△=(2m)2-44+m2）×(-3)=16m2+48>0,y+y2= -2m -3 4+m2%5= 4+m2 因为直线BC的斜率为k,直线BD的斜率为k2, 所以k=当，k,=少 x-2’ x2-2 所以k,=出上」 yiy2 x-2x2-2(x-2(x2-2 -2m -3 将x=my+1,片+%4+m4+m 代入得 yiy2 yiy2 yiy2 my+1-2(my2+1-2(my,-1(my2-1)m2yy2-m(y+2)+1 5/8 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 -3 4+m 3 m2.-3 4+m2 4+m2+14 -m -2m 即k,为定值-3 4 (i)定值 因为A-2,0),C(x,y小，由两点式可得直线4C的方程为y=片，(x+2: 七+2 因为B(2,0),D(x2,小，由两点式可得直线BD的方程为y=,x-2) 七3-2 因为直线4C,0交于点M,所以十2+2引=产2-2引 将=yl优入+引w2小. 整理得xM= 4my y2-2y+6y2 3y2+y1 -2m 3 图少+244+m2得m)4+)了 所以22少士6+-2+6 =4 3y2+y 3y2+y 固鹿直线4D的方程为y三x+2,直线BC的方程为少-2》 x2+2 我克可4,2步+6.4以+小-2%+6 =4 3y+y2 3y+y2 因此M(4,yM),N(4,yN),所以直线MN垂直于x轴， 以MN为直径的圆的圆心为 2 ,半径r=w-w 2 6/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所方R小（产- , 将，=4代入线4C倒方程y22到为m年2 x+2 同理得w=6少 my2+3 则w少w=6、62 36y1y2 my1+3my2+3m2y1y2+3my1+y2+9 -2m 36.3 将+y2三4+m2y2=4+2 2代入得yMyN= 4+m2 -=-3, 4+m2+3m.-2m m2.3 +9 4+m2 所以(x-4)2=-yMyw=3,解得x=4±V5, 故弦长为4+V3-(4-5=25,是定值， 即以MN为直径的圆被x轴所截得的弦长是定值，为2√3 20.(16分) 【解折】①)当a=0时，f(x=(x2-nx,f=2xnx+-1, f①)=0，f'(1=0,所以曲线y=f(x)在点1，f1)处的切线方程为y=0 1 (2)定义域为(0，+o),f'(x)=2xlnx+3ax2-2ax+x-二-a, 整理程f(y=2xn+2a(x-l+a-1+-1. 当x>1时，2xnx>0,-1 >0,因为a≥0，所以2ax-120,ax2-1≥0， 所以f'x>0,f(x)为增函数 7/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当x<1时，2xhr<0,-1<0,因为a≥0，所以2ax-1s0,ax-小≤0， 所以'x)<0,fx)为减函数 综上可得，当x∈(0,1时，f(x)为减函数，当x∈(1，+o)时，fx)为增函数 (3)设gx)=lnx+a(x-1,由f(x)=0得x=1或gx)=0; 当a≥0时，g(x)=1+a>0,gx)为增函数，又g)=0,此时f(x)仅有一个零点： 当ac0时g到=士+a=1“,xe0-日时，g>0,8为描属数 x(合+灯时、g<0,8到为减福数，8创的鼓大值为8 1 =-In(-a)-a-1; 若a=-1,gx)的最大值为g(1)=0,此时f(x)仅有一个零点； 若1<0，则合>1 g山=0且x趋近于+0时，gx)趋近于-0， > 故在区间1，+o)内，gx)有且仅有一个零点，此时f(x有两个零点： 若a<-1,则-c0,8 > g(1)=0且x趋近于0时，g(x)趋近于-0， 故在区间(0，)内，g(x)有且仅有一个零点，此时f(x)有两个零点； 综上可得，当a≥0或a=-1时，fx)有一个零点，当-1<a<0或a<-1时，fx有两个零点. 8/8 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．__________ _________ 14．____________________ 15.__________ _________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（14分） 15．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.下列说法中，不正确的是（ ） A. 在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8 B. 分类变量A与B的统计量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大 C. 根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则 D. 两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好 3.已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需时间（单位：小时），其中为常数.在此条件下，训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 8倍 5.已知，，则（ ） A. B. C. D. 6.某圆台形无盖水桶的表面积为，水桶下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，则该水桶的容积为（ ）（水桶壁与底的厚度忽略不计） A. B. C. D. 7.已知，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的一点，点在轴上，满足.若，则椭圆的离心率为（   ） A. B. C. D. 8.函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9.已知函数，若不等式 在 上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共105分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.若复数 满足 ( 为虚数单位)，则 ___________； 11.在的展开式中，的系数为___________； 12.已知直线与圆相交于两点， 则劣弧的长为___________； 13.为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________； 14. 如图，△是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，那么______；点M为线段CE上的动点，则的最小值为______． 15.在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知数列满足，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）记，数列的前项和为，证明：. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，平面平面. （1）证明：. （2）点在线段上，若平面，求. （3）求二面角的正弦值. 18．（15分） 在中，角的对边分别是，且，且． （1）求角的大小； （2）D为AC过上的一点，，且_____，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． ①BD是角B的平分线； ②D为线段AC的中点． （3）若为锐角三角形，求AC边上的高取值范围． 19． （15分） 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，点的坐标为，且为的中点. （1）求椭圆的方程； （2）斜率不为0的动直线过点交椭圆于，两点，直线，交于点，直线AD，BC交于点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，证明为定值； （ii）以为直径的圆被轴所截得的弦长是否为定值?如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说明理由. 20.（16分） 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，判断函数的单调性； （3）讨论函数的零点个数． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 1.【答案】D 【解析】因为，所以或， 所以. 故选：D. 2.下列说法中，不正确的是（ ） A. 在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8 B. 分类变量A与B的统计量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大 C. 根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则 D. 两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好 2.【答案】D 【解析】对A：因为，所以这组数据的第50百分位数为：，故A选项内容正确； 对B：根据统计量的意义可知，B选项内容正确； 对C：根据线性回归方程必过得：，故C选项内容正确； 对D：因为残差平方和越小，模型拟合的效果越好，故D选项内容错误. 故选：D 3.已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3，【答案】A 【解析】由， 所以. 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 4.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需时间（单位：小时），其中为常数.在此条件下，训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 8倍 4.【答案】B 【解析】设训练及个单位的数据量所需时间分别为，， ， 所以训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的3倍. 故选：B 5.已知，，则（ ） A. B. C. D. 5.【答案】C 【解析】A：当时，，所以不正确； B：， 因为，，所以当时，， 当时，，当时，，因此不正确； C：因为，，所以有，正确； D：因为，，所以有， 即，所以不正确. 故选：C 6.某圆台形无盖水桶的表面积为，水桶下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，则该水桶的容积为（ ）（水桶壁与底的厚度忽略不计） A. B. C. D. 6.【答案】B 【解析】水桶是一个倒立的圆台，设母线长为， 因为表面积为，下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm， 所以，解得， 设水桶的高为，如图所示： ， 所以水桶的容积为. 故选：B 7.已知，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的一点，点在轴上，满足.若，则椭圆的离心率为（   ） A. B. C. D. 7.【答案】C 【解析】∵点在椭圆上，∴. 由知，直线平分，所以与共线， ∵，∴存在实数，使得， 整理得，∵不共线， ∴，解得，∴，. 在中，由余弦定理得. ∵，∴.化简得， ∴椭圆的离心率. 故选：C. 8.函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8.【答案】C 【解析】因为 ， 令，依题意与在上有两个交点， 由，则， 令，解得，所以在上单调递减， 且，； 令，解得，所以在上单调递增，且； 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：C 9.已知函数，若不等式 在 上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 9.【答案】A 【解析】由函数， 则（当且仅当时，等号成立）， 所以在上恒成立，所以函数是增函数， 因为，所以是奇函数， 因为在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则在上恒成立， 令，则，且函数等价于， 因为，令，可得；令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以函数的最小值为， 即的最小值为，所以，即实数的取值范围是. 故选：A. 第二部分（非选择题 共105分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.若复数 满足 ( 为虚数单位)，则 ___________； 10.【答案】 【解析】由复数 满足 为虚数单位)， 可得 ， 所以 . 11.在的展开式中，的系数为___________； 11.【答案】 【解析】因为含项是由的6项中取5个x，取1个常数， 所以的系数为. 12.已知直线与圆相交于两点， 则劣弧的长为___________； 12.【答案】 【解析】圆化为标准方程为：， 圆心，半径， 如图所示： 则点到直线的距离为：， 而，，得， 则劣弧的长为：， 13.为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________； 13.【答案】 【解析】从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测， 则每一类都被抽到的方法共有种， 而所有的抽取方法共有种， 故每一类都被抽到的概率为＝＝， 故答案为：． 14. 如图，△是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，那么______；点M为线段CE上的动点，则的最小值为______． 14.【答案】 ①. ②. ## 【解析】由题设，且，， 所以 ； 由题设，则， 若，则且， 所以， 当时，的最小值为. 故答案为：， 15.在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． 15.【答案】 【解析】由双曲线的方程可知,设， 则，两式相减可得，即， 所以， 因为直线斜率为，所以,所以， 直线的方程为，即，经检验符合题意. 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知数列满足，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）记，数列的前项和为，证明：. 16．（14分） 【解析】（1）由，得， 又，，所以， 所以，， 即是以1为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）知， 当时， . 当时，也成立，所以的通项公式为； （3）由（2）得， 所以， 所以， 显然是递增数列，所以. 因为，所以，所以. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，平面平面. （1）证明：. （2）点在线段上，若平面，求. （3）求二面角的正弦值. 17．（15分） 【解析】（1）作，垂足为，连接. 在中，. ，. 所以，四边形是正方形. 所以. 因为，所以平面. 因为平面，所以. （2）因为四边形是正方形，所以. 因为平面，所以平面. 若平面，因为，所以平面平面. 因为平面平面，平面平面，所以， 所以.因为，所以. （3）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，. 设平面的法向量为， 则取. 设平面的法向量为， 则取. ， ， 即二面角的正弦值为. 18．（15分） 在中，角的对边分别是，且，且． （1）求角的大小； （2）D为AC过上的一点，，且_____，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． ①BD是角B的平分线； ②D为线段AC的中点． （3）若为锐角三角形，求AC边上的高取值范围． 18．（15分） 【解析】（1）在中，， 结合正弦定理可得：． 由得， ， ∴， ∴， ， 又，，又，所以； （2）若选①：由平分得：， ，即． 在中，由余弦定理得，则， 联立，得，解得， ； 若选②：由题设， 则， 即，所以， 在中，由余弦定理得，则， 联立，得， ． （3）由正弦定理得，故， 故 ， 由于为锐角三角形，故，故， 因此，， 因此， 设边上的高为，， 所以. 19． （15分） 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，点的坐标为，且为的中点. （1）求椭圆的方程； （2）斜率不为0的动直线过点交椭圆于，两点，直线，交于点，直线AD，BC交于点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，证明为定值； （ii）以为直径的圆被轴所截得的弦长是否为定值?如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说明理由. 19．（15分） 【解析】（1）因为点的坐标为，且为的中点， 所以，即. 又离心率，所以， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）（i）因为直线过点，可设直线的方程为，， 由消去得. 所以，. 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 所以， 所以.， 将，代入得 ， 即为定值. （ii）定值. 因为，由两点式可得直线的方程为； 因为，，由两点式可得直线的方程为. 因为直线，交于点，所以， 将代入得， 整理得. 由得， 所以. 同理，直线的方程为，直线的方程为， 联立可解得， 因此，所以直线垂直于轴， 以为直径的圆的圆心为，半径， 所以圆的方程为， 令，可得. 将代入直线的方程得， 同理得. 则. 将代入得， 所以，解得， 故弦长为，是定值， 即以为直径的圆被轴所截得的弦长是定值，为. 20.（16分） 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，判断函数的单调性； （3）讨论函数的零点个数． 20.（16分） 【解析】（1）当时，，， ，所以曲线在点处的切线方程为. （2）定义域为，， 整理得， 当时，，因为，所以， 所以，为增函数. 当时，，因为，所以， 所以，为减函数. 综上可得，当时，为减函数，当时，为增函数. （3）设，由得或； 当时，，为增函数，又，此时仅有一个零点； 当时，，时，，为增函数， 时，，为减函数，的最大值为； 若，的最大值为，此时仅有一个零点； 若，则，且趋近于时，趋近于， 故在区间内，有且仅有一个零点，此时有两个零点； 若，则，且趋近于0时，趋近于， 故在区间内，有且仅有一个零点，此时有两个零点； 综上可得，当或时，有一个零点，当或时，有两个零点. / 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.1 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5. 正确填涂 -、 选择题（每小题5分，共45分） 1[A]B][C[D] 6[A][B][C]D] 探 2[A][B][CI[D] 7 [A][B][C][D] 3[AB][C[D] 8[A][B][C[D] 4[A]B][C[D] 9[A][B][CD] 5 [A][B][C][D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 11 的妇 12 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.（14分) 15.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）