专题05 正方形7重难点题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题05 正方形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据正方形的性质求角度 1 题型二、根据正方形的性质求线段长 2 题型三、根据正方形的性质求面积 3 题型四、根据正方形的性质证明 3 题型五、正方形中的旋转与翻折 5 题型六、证明四边形是正方形 7 题型七、根据正方形的性质与判定求值 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据正方形的性质求角度 1．如图，为正方形外一点，交于点，则 ． 2．（24-25八年级下·上海闵行·期末）如图，四边形是正方形，，，那么的度数为 ． 题型二、根据正方形的性质求线段长 3．（24-25八年级上·上海杨浦·月考）如图，在面积为的正方形中截得直角三角形的面积为，则长为 ． 4．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处（即里），出西门往前直走2里到B处（即里），此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A．如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，，那么这座方城每一面的城墙长是 里． 5．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，正方形的边长为2，对角线、交于点，为边上一点，如果，那么的长为 ． 6．（24-25八年级下·上海·月考）正方形面积为16，正方形内一点P到的距离与到点A、B的距离都是d，则 7．（24-25八年级下·上海·月考）正方形，对角线交于点，平分，与交于E，与交于P，若，则 ． 8．（24-25八年级下·上海青浦·期末）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点在边上，垂直平分线段，垂足为点，求的长． 题型三、根据正方形的性质求面积 9．（22-23八年级下·上海徐汇·月考）如图所示，在一个大正方形中有两个小正方形，它们的面积分别为、，则 ．    10．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，正方形边长为4，点E在边上一点（点E与点A、B不重合），过点A作，垂足为G，与边相交于点F．    (1)求证：； (2)连接、，如果的面积为，求的长． 题型四、根据正方形的性质证明 11．如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且，联结AE、AF、CE、CF．求证：四边形AECF是菱形． 12．（23-24八年级上·上海·单元测试）如图，在正方形中，点，分别在边，上，是等边三角形，如果，求的长． 13．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、和DA上，连接EG和FH小明和小亮对这个图形进行探索，发现了很多有趣的东西，同时他俩又进一步猜想 小明说：如果EG和HF互相垂直，那么EG和HF一定相等； 小亮说：如果EG和HF相等，那么EG和HF一定互相垂直； 请你对小明和小亮的猜想进行判断，并说明理由． 14．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在边AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F． (1)求证：PA＝PC； (2)求证：PC⊥PE． 15．（22-23八年级下·上海普陀·月考）如图，已知正方形边长为4，对角线交于点，分别是边上两点（、不与重合），且    (1)求证：； (2)若，求的长． 题型五、正方形中的旋转与翻折 16．如图正方形和正方形全等，把点A固定在正方形的中心，当正方形绕点A转动时，两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的（    ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中正确结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 18．如图，已知正方形ABCD的边长为，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为 ． 19.如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于G，连接，则的面积为 ． 20．（22-23八年级下·上海长宁·期中）如图，在边长为2的正方形中，E为边的中点，点Р在边上．如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处．那么的长为 ．    21．（2022八年级下·上海·专题练习）如图1，已知O为正方形ABCD对角线的交点，点E在边CB的延长线上，连结EO，OF⊥OE交BA延长线于点F，连结EF． (1)求证：EO＝FO； (2)若正方形的边长为2，OE＝2OA，求BE的长； (3)当OE＝2OA时，将△FOE绕点O逆时针旋转到△F1OE1，使得∠BOE1＝30°时，试猜想并证明△AOE1是什么三角形． 题型六、证明四边形是正方形 22．（2022八年级下·上海·专题练习）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，DF⊥AB，垂足为F，且DF＝CD，点E为线段AD的中点，过点F作FGCE交射线AD于G，联结CG． (1)求证：四边形CEFG是菱形． (2)当AC＝BC时，求证：四边形CEFG是正方形． 23．（22-23八年级下·上海黄浦·月考）如图，四边形是矩形，E是对角线上一点，且．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若F是对角线上一点，且，求证：． 24．（22-23八年级下·上海青浦·期末）如图，在三角形中，，分别是与它的邻补角的平分线，于点E．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接交AC于点O，若，求证：四边形是正方形． 25．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，菱形中，E是对角线上一点，，交边于点F，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是正方形． 26．（23-24八年级下·上海长宁·期末）已知：如图，在中，，是边上的高．H为线段上的点，以为邻边作矩形，连结交于点E，联结交于点F．    (1)如果，求证：四边形为正方形； (2)联结，如果，求证：四边形为矩形． 题型七、根据正方形的性质与判定求值 27．（22-23八年级下·上海浦东新·月考）在直角梯形中，（），，，是上一点，且，，，那么直角梯形的面积是 ．    28．（24-25八年级下·上海·期末）如图，中，，，垂足为点D，，，现将和分别沿着、翻折，得到和，延长、交于点G，则四边形的面积是 ． 29．（2023八年级下·上海·专题练习）如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么 °． 30．（24-25八年级下·上海金山·期末）如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以、、、为顶点的四边形的面积为时，直接写出的长． 一、单选题 1．（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，已知正方形的边长为，点在对角线上，且，，垂足为，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（    ）    A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 3．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）已知在四边形中，，对角线、交于点，且，则下列四个命题中真命题是（    ） A．若，则四边形一定是等腰梯形 B．若，则四边形一定是等腰梯形 C．若且，则四边形一定是正方形 D．若，则四边形一定是矩形 4．（22-23八年级下·上海长宁·期末）下列命题中，假命题的是（    ） A．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 B．一组对边相等，一个内角为直角的四边形是矩形 C．一组对边平行，一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 5．（24-25八年级下·上海闵行·月考）下列命题中，假命题的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线垂直的平行四边形是菱形 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线相等的平行四边形是正方形 二、填空题 6．（22-23八年级下·上海虹口·期末）以下说法中正确的是 （填序号） ①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形 ②一组对边相等、一组邻角相等的四边形是平行四边形 ③有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 ④对角线相等且相互垂直的四边形为正方形 ⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形 ⑥一组对边平行，另一组对边相等，且有一个角为直角的四边形是矩形 7．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为 ． 8．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）正方形的边长是，点在边上，且，P是正方形边上的一个动点，连接，当时，的长是 ． 9．（23-24八年级下·上海静安·期末）如图，正方形和正方形中，、、三点共线，点在上，，，是的中点，那么的长是 ． 10．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在正方形中，点E、F分别为边的中点，点P在边上，如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处，线段的长为1，那么正方形的边长为 ． 11．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在正方形中，点是对角线上一点，且，点为边上一点，连结、，已知，那么的值是 ． 12．（24-25八年级下·上海·期中）四边形是边长为4的正方形，点E在边所在的直线上，连接，以为边，作正方形（点D，点F在直线的同侧），连接，若，则的长为 ． 三、解答题 13．（24-25八年级下·上海·期末）如图，四边形为正方形，，且，直线交延长线于．求证：． 14．（24-25八年级下·上海·月考）已知：如图，在正方形中，点.分别在边.上，且．对角线分别交于点，联结．求证：四边形是菱形； 15．（24-25八年级下·上海·期中）我们知道平行四边形是中心对称图形．已知四边形是平行四边形，如图所示，请只用一把无刻度的直尺，按要求作出相应的图形．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，点E是边的中点，作出边的中点F； (2)如图2，在平行四边形的四边上各作一点，分别记为M、N、P、Q，使得四边形是平行四边形； (3)如图3，若四边形为正方形，点G在对角线上一点，作一个菱形，使得为菱形的一边． 16．（24-25八年级下·上海静安·期末）操作  现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形． (1)重叠部分四边形是什么形状的四边形？请说明理由， (2)重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？请直接填写：最小面积________，最大面积________． 17．如图，已知正方形ABCD，边长AB＝6，E是AB的中点，点F在边BC上，且BF＝2FC，点P在线段CD上，连接PE、EF、PF． (1)若△PEF为等腰三角形，求PC的长度； (2)若EF平分∠BEP，求PC的长度． 18．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，正方形和正方形有公共顶点O，，连接．    (1)如图1，线段与线段有交点H，求证：； (2)如图2，点E在的延长线上，求的长； (3)边与交于点G，当C，F，E三点共线时，请直接写出的值． 19.已知：正方形ABCD的边长为8，点E是BC边的中点，点F是边AB上的动点，联结DE、EF． （1）如图1，如果BF=2，求证：EF⊥DE； （2）如图2，如果BF=3，求证：∠DEF=3∠CDE； （3）联结DF，设DF的中点为G，四边形AFEG是否可能为菱形？请说明理由． 20．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，点M是正方形的边上的一点，过点B作交的延长线于点N，连接交于点E． (1)求的大小； (2)如果，求证：； (3)如果，当时，求的长． 21．（22-23八年级上·上海普陀·期中）（探索发现）如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接． (1)试判断之间的数量关系，并写出证明过程； (2)如图①如果正方形的边长为4，求三角形的周长； (3)如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程． 22．（24-25八年级下·上海普陀·期末）小普在综合与实践课上，参加了以“神奇的正方形”为主题的数学活动，通过“折、转、探”等方式研究有关正方形折纸的有趣结论． (1)折一折：如图-1，小普将正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，联结．那么___________度；如果，那么的长度等于___________； (2)转一转：小普将图-1中的绕点旋转，使它的两边分别交直线于点． ①如图-2，当点、在边、上，联结．如果，求的面积； ②探一探：联结，射线、分别交对角线所在直线于点、，且点在正方形内部．正方形的边长，联结．如果是等腰三角形，请直接写出线段的长度___________．（用含有字母的代数式表示） 23．（23-24八年级下·上海静安·期末）在等腰中，，直线垂直平分，交于点，点在直线上，且点与点关于点对称，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图1，当平分时，求菱形的周长； (3)当四边形为正方形时，请在图2中画出符合题意的正方形，再连接，求的长． 24．（22-23八年级下·上海长宁·期末）已知在四边形中，，，平分，交边于点．    (1)如图1，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； (2)如果，， ①如图2，当时，求的度数； ②当是直角三角形时，求的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 正方形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据正方形的性质求角度 1 题型二、根据正方形的性质求线段长 3 题型三、根据正方形的性质求面积 7 题型四、根据正方形的性质证明 9 题型五、正方形中的旋转与翻折 13 题型六、证明四边形是正方形 20 题型七、根据正方形的性质与判定求值 26 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据正方形的性质求角度 1．如图，为正方形外一点，交于点，则 ． 【答案】60° 【详解】解：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：60°． 1．（24-25八年级下·上海闵行·期末）如图，四边形是正方形，，，那么的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，把绕点顺时针旋转使得与重合，得到，连接．连接，则， 四边形为正方形， ，， ， ， ， 根据旋转， ， ∴， ，，在一条直线上， ， 在与中， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 又， ， ∵在正方形中，， ∴， 故答案为：． 题型二、根据正方形的性质求线段长 3．（24-25八年级上·上海杨浦·月考）如图，在面积为的正方形中截得直角三角形的面积为，则长为 ． 【答案】 【详解】解：正方形的面积为， ，， 直角三角形的面积， 即， 解得：． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处（即里），出西门往前直走2里到B处（即里），此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A．如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，，那么这座方城每一面的城墙长是 里． 【答案】8 【详解】解：设正方形是每一面城墙的长度为里， 正方形的中心为O， ， ， ， 解得：，或（不合题意，舍去）， ， 故答案为：8． 5．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，正方形的边长为2，对角线、交于点，为边上一点，如果，那么的长为 ． 【答案】 【详解】解：正方形的边长为， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·上海·月考）正方形面积为16，正方形内一点P到的距离与到点A、B的距离都是d，则 【答案】 【详解】解∶如图所示， ∵正方形面积为16， ∴正方形的边长为4，， ∵点P到的距离与到点A、B的距离都是d， ∴， ∴点P在的垂直平分线上， ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴，即， 解得． 故答案为∶． 7．（24-25八年级下·上海·月考）正方形，对角线交于点，平分，与交于E，与交于P，若，则 ． 【答案】 【详解】解：依题意，过点C作，交的延长线于点H，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， 则， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·上海青浦·期末）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点在边上，垂直平分线段，垂足为点，求的长． 【答案】的长为． 【详解】解：∵在边长为的正方形中，点为边的中点， ∴，，， 如图，连接，，设，则， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ 答：的长为． 题型三、根据正方形的性质求面积 9．（22-23八年级下·上海徐汇·月考）如图所示，在一个大正方形中有两个小正方形，它们的面积分别为、，则 ．    【答案】 【详解】解：如图：设， ∵正方形， ∴，, ∴，，， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．    故答案为． 10．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，正方形边长为4，点E在边上一点（点E与点A、B不重合），过点A作，垂足为G，与边相交于点F．    (1)求证：； (2)连接、，如果的面积为，求的长． 【详解】（1）∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， （2）∵， ∴设， ∴， ∴的面积 ， ∴， 解得，，， ∴或，      题型四、根据正方形的性质证明 11．如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且，联结AE、AF、CE、CF．求证：四边形AECF是菱形． 【详解】证明：如图，联结，交点为， 四边形为正方形， ，，， ， ， 四边形菱形（对角线平分且垂直的四边形为菱形）． 12．（23-24八年级上·上海·单元测试）如图，在正方形中，点，分别在边，上，是等边三角形，如果，求的长． 【答案】 【详解】解：在正方形中，， ∵是等边三角形， ， ， ， ， 设，则， 在中，由得， 解得(舍去)， 所以长是． 13．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、和DA上，连接EG和FH小明和小亮对这个图形进行探索，发现了很多有趣的东西，同时他俩又进一步猜想 小明说：如果EG和HF互相垂直，那么EG和HF一定相等； 小亮说：如果EG和HF相等，那么EG和HF一定互相垂直； 请你对小明和小亮的猜想进行判断，并说明理由． 【详解】证明：如图，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AB， ∵EM⊥CD， ∴四边形BCME是矩形， ∴EM＝BC， 同理HN＝AB， ∴EM＝HN， 由题意可知FH⊥EG，EM⊥HN， ∴∠FHN+∠HOG＝∠MEG+∠EON＝90°， ∵∠EON＝∠HOG， ∴∠FHN＝∠MEG， ∴△HFN≌△EGM， ∴EG＝HF， 小明的说法是正确的； 如图，在BC上找两个点F和F'，使BF'＝CF，取AD的中点H，连接FH和F'H， 过点作的垂线段于， ， ， 又BF'＝CF， KF＝KF'， HF＝HF'， 作EG⊥HF'，其中点E在AB上，点G在CD上， 由上题可知EG＝F'H＝FH， 但HF和EG不互相垂直， 小亮的猜想是错误的． 14．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在边AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F． (1)求证：PA＝PC； (2)求证：PC⊥PE． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP=45°， 在△ADP和△CDP中， ， ∴△ADP≌△CDP（SAS）， ∴PA＝PC； （2）解：过点P作PM⊥AE于M，PN⊥CD于N， ∵PD平分∠ADC， ∴PM＝PN， ∵∠ADC＝90°， ∵PA＝PE，PA＝PC ∴PE=PC ∴四边形PNDM是矩形， ∴∠MPN＝90°， 在Rt△PME和Rt△PNC中， ， ∴Rt△PME≌Rt△PNC（HL）， ∴∠MPE＝∠NPC， ∴∠MPN＝∠MPE+∠NPE＝∠NPC+∠NPE＝∠EPC＝90°． ∴PC⊥PE． 15．（22-23八年级下·上海普陀·月考）如图，已知正方形边长为4，对角线交于点，分别是边上两点（、不与重合），且    (1)求证：； (2)若，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 即， 解得：或， 即或3． 题型五、正方形中的旋转与翻折 16．如图正方形和正方形全等，把点A固定在正方形的中心，当正方形绕点A转动时，两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，AD与EH交于M，AB与GH交于N，连接AH，AG， ∵点A为正方形EFGH的中心， ∴AG=AH，∠HAG=90°，∠AHM=∠AGN=45°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DAB=90°， ∴∠HAM=∠GAN， 在△HAM和△GAN中， ， ∴△HAM≌△GAN（ASA）， ∴S△HAM=S△GAN， ∴S四边形AMHN=S△HAM+S△AHN=S△AHN+S△ANG=S△AGH=S正方形EFGH=． 故选：C． 17．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中正确结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质可得： 故，故①正确． 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ，故②错误． ， ，与同高， ，故③错误． ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， 故四边形是菱形，故④正确． 四边形是菱形， ， ， ， ， 同理可得．故⑤正确． 故选：C． 18．如图，已知正方形ABCD的边长为，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为 ． 【答案】 【详解】解：由轴对称可知： ∴阴影部分的周长为 ． 故答案为：． 19.如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于G，连接，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接AG，如图所示： 依题意知：， ∴AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG =90°， 又∵ABCD为正方形， ∴AD=AB，∠D=∠B=90°， ∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°， 在和中 ∴（HL） ∴BG=GF， ∵AB=BC=DC=15，CD=5DE， ∴DE=EF=3，EC=12， 设BG=x，则GF=x，GC=15-x，EG=EF+GF=3+x， 在中， 即， 解得：x=10， ∴GF=10，GC=5，GE=13， ∴GF:GE=10∶13， ∴， 故答案为：. 20．（22-23八年级下·上海长宁·期中）如图，在边长为2的正方形中，E为边的中点，点Р在边上．如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处．那么的长为 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：．    21．（2022八年级下·上海·专题练习）如图1，已知O为正方形ABCD对角线的交点，点E在边CB的延长线上，连结EO，OF⊥OE交BA延长线于点F，连结EF． (1)求证：EO＝FO； (2)若正方形的边长为2，OE＝2OA，求BE的长； (3)当OE＝2OA时，将△FOE绕点O逆时针旋转到△F1OE1，使得∠BOE1＝30°时，试猜想并证明△AOE1是什么三角形． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴，，∠OAB=∠OBC=45°． ∴∠BOE+∠EOA=90°，． ∵∠EOF＝∠AOF+∠EOA=90°， ∴． ∵，，， ∴． ∴OE＝OF． （2）∵正方形的边长为2， ∴由勾股定理得：． ∴． ∴． ∴在中，由勾股定理得：． 由（1）可得：． ∵在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：； （3）连接，过A做AM⊥，如图． ∵∠BOE1＝30°， ∴． 设，则，， 由勾股定理得：． ∴． ∴． ∴． ∴△AOE1是直角三角形． 题型六、证明四边形是正方形 22．（2022八年级下·上海·专题练习）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，DF⊥AB，垂足为F，且DF＝CD，点E为线段AD的中点，过点F作FGCE交射线AD于G，联结CG． (1)求证：四边形CEFG是菱形． (2)当AC＝BC时，求证：四边形CEFG是正方形． 【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，DF⊥AB， ∴∠DFA＝90°， 在Rt△ACD与Rt△AFD中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AFD（HL）， ∴∠CAD＝∠FAD，AC＝AF， 在△ACG与△AFG中， ， ∴△ACG≌△AFG（SAS）， ∴CG＝FG，∠CGA＝∠FGA， ∵FG//CE， ∴∠FGA＝∠CEG， ∴∠CGE＝∠CEG， ∴CE＝CG， ∵点E为线段AD的中点，∠ACB＝90°，∠DFA＝90°， ∴CE＝AD，EF＝AD，AE＝AD， ∴CE＝EF＝AE， ∴CE＝CG＝GF＝EF， ∴四边形CEFG是菱形． （2）∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠B， ∵∠CAB+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠CAB＝＝45°， 由（1）知，∠CAD＝∠FAD， ∴∠CAD＝∠FAD＝22.5°， ∵CE＝EF＝AE， ∴∠CAE＝∠ECA＝22.5°，∠FAE＝∠EFA＝22.5°， ∴∠CEG＝∠CAE+∠ECA＝45°，∠FEG＝∠FAE+∠EFA＝45°， ∴∠CEF＝∠CEG+∠GEF＝90°， ∵四边形CEFG是菱形， ∴四边形CEFG是正方形． 23．（22-23八年级下·上海黄浦·月考）如图，四边形是矩形，E是对角线上一点，且．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若F是对角线上一点，且，求证：． 【详解】（1）证明：连接，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵四边形是正方形 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 24．（22-23八年级下·上海青浦·期末）如图，在三角形中，，分别是与它的邻补角的平分线，于点E．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接交AC于点O，若，求证：四边形是正方形． 【详解】（1）解：∵ ∴是等腰三角形 ∵是的平分线 ∴， ∵是的平分线 ∴ ∴ ∵ ∴四边形是矩形； （2）解：如图所示，    ∵ ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴四边形是正方形． 25．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，菱形中，E是对角线上一点，，交边于点F，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是正方形． 【详解】（1）连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）过E点作，交于点M，交于点N，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 26．（23-24八年级下·上海长宁·期末）已知：如图，在中，，是边上的高．H为线段上的点，以为邻边作矩形，连结交于点E，联结交于点F．    (1)如果，求证：四边形为正方形； (2)联结，如果，求证：四边形为矩形． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形 ∴ ∵是边上的高． ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴四边形是正方形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 题型七、根据正方形的性质与判定求值 27．（22-23八年级下·上海浦东新·月考）在直角梯形中，（），，，是上一点，且，，，那么直角梯形的面积是 ．    【答案】27 【详解】解：过作，交延长线于，延长至，使，连接．    在直角梯形中，， ， 又，， 四边形为正方形． ，， ∴， ∴，，， ， ∴，即，即， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 即， 设，则，， 在中， ，即， 解得：或（舍去）， ， ． 故答案为：27． 28．（24-25八年级下·上海·期末）如图，中，，，垂足为点D，，，现将和分别沿着、翻折，得到和，延长、交于点G，则四边形的面积是 ． 【答案】36 【详解】解：中，，，，， ，， 由翻折得，，，，，， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ，， ， ∴四边形是正方形， 设正方形的边长为m，则，， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 故答案为：36． 29．（2023八年级下·上海·专题练习）如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么 °． 【答案】或 【详解】解：是四边形的美丽线， 是等腰三角形． ， 如图，当时， ，， 是正三角形， ． ， ， ， ． 如图，当时， ． ， 四边形是正方形， ， 综上，的度数为或． 故答案为：或． 30．（24-25八年级下·上海金山·期末）如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以、、、为顶点的四边形的面积为时，直接写出的长． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵四边形为正方形， ∴，， 如图，作于，于， ， 则，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形边长为1， ∴，， ∴， ∵点在边的延长线上， ∴如图所示，为钝角， ， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当点在线段上时，作于，于， ， 由（1）可得，四边形为矩形，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴，即， ∴， 由（2）可得：， ∴； 当点在的延长线上时，作于，延长交于， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 一、单选题 1．（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，已知正方形的边长为，点在对角线上，且，，垂足为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， 故选: C. 2．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（    ）    A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴和互相平分， ∵， ∴四边形是菱形， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形，符合题意； 故选D． 3．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）已知在四边形中，，对角线、交于点，且，则下列四个命题中真命题是（    ） A．若，则四边形一定是等腰梯形 B．若，则四边形一定是等腰梯形 C．若且，则四边形一定是正方形 D．若，则四边形一定是矩形 【答案】D 【详解】解：A：若，四边形可能是矩形（平行四边形对角线相等），不一定是等腰梯形，故A错误； B：若，可能通过全等三角形证明边相等，但若四边形为矩形时也满足条件，故B错误； C：若且，可构造等腰梯形满足条件（如对角线垂直且，但非正方形），故C错误； D：若，说明对角线被平分，结合，证明全等，并得到，四边形为平行四边形（对角线互相平分），结合，平行四边形对角线相等则为矩形，故D正确； 故选：D． 4．（22-23八年级下·上海长宁·期末）下列命题中，假命题的是（    ） A．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 B．一组对边相等，一个内角为直角的四边形是矩形 C．一组对边平行，一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】B 【详解】解：A. 一组对边平行，一组对角相等的四边形可得出两组对边平行，是平行四边形，故该选项是真命题，不符合题意； B. 一组对边相等，一个内角为直角的四边形不一定为矩形，是假命题，符合题意； C. 一组对边平行，一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形可得邻边相等的平行四边形，是菱形，是真命题，不符合题意； D. 对角线相等的菱形是正方形，是真命题，不符合题意； 故选：B． 5．（24-25八年级下·上海闵行·月考）下列命题中，假命题的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线垂直的平行四边形是菱形 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线相等的平行四边形是正方形 【答案】D 【详解】解；A、平行四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的性质定理，是真命题，故此选项不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，根据菱形的判定定理，是真命题，故此选项不符合题意； C、矩形的对角线互相平分且相等，根据矩形的性质定理，是真命题，故此选项不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，是假命题，故此选项符合题意； 故选：D． 二、填空题 6．（22-23八年级下·上海虹口·期末）以下说法中正确的是 （填序号） ①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形 ②一组对边相等、一组邻角相等的四边形是平行四边形 ③有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 ④对角线相等且相互垂直的四边形为正方形 ⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形 ⑥一组对边平行，另一组对边相等，且有一个角为直角的四边形是矩形 【答案】⑥ 【详解】解：①一组对边平行、一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可以是等腰梯形，原说法不正确，故不符合题意； ②一组对边相等，一组邻角相等的四边形不一定是平行四边形，可以是等腰梯形，原说法不正确，故不符合题意； ③两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，更不是矩形，故此说法不符合题意； ④对角线相等且相互垂直平分的四边形为正方形，故此说法不符合题意； ⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形可以是等腰梯形，故此说法不符合题意； ⑥一组对边平行且相等，且有一个角为直角的四边形是矩形，正确，故此说法不符合题意； 故答案为：⑥． 7．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∴正方形中，， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 由折叠的性质可知：，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）正方形的边长是，点在边上，且，P是正方形边上的一个动点，连接，当时，的长是 ． 【答案】或 【详解】解：根据题意画图如下： ，， ， ， ， 在以为圆心，为半径的圆上，如图中的和， ①，， ， 平行且等于， 四边形是矩形， ， ； ②，， ， 综上所述：的长是或． 故答案为：或． 9．（23-24八年级下·上海静安·期末）如图，正方形和正方形中，、、三点共线，点在上，，，是的中点，那么的长是 ． 【答案】 【详解】连接和，如图所示： 四边形和是正方形，， ，，， ， ，是的中点 故答案为：． 10．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在正方形中，点E、F分别为边的中点，点P在边上，如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处，线段的长为1，那么正方形的边长为 ． 【答案】 【详解】解：如图： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵点E、F分别为边的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵翻折， ∴， 设正方形的边长为，则，，， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：或（舍）， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在正方形中，点是对角线上一点，且，点为边上一点，连结、，已知，那么的值是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·上海·期中）四边形是边长为4的正方形，点E在边所在的直线上，连接，以为边，作正方形（点D，点F在直线的同侧），连接，若，则的长为 ． 【答案】1或 【详解】解：当点E在线段上时，过作交的延长线于点，作交延长线于，如图所示，则四边形是矩形，    ∴，， 四边形与四边形是正方形， ，， ， ， ，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 在中，由勾股定理得， ∴, ∴（舍去）或（舍去），故此种情况不成立； 如图所示，当点E在延长线上时，过作于点，作交延长线于， 同理可得，， ， 在中，由勾股定理得， ∴, 解得或（舍去）； 如图所示，当点E在延长线上时，过作交直线于点，作交延长线于， 同理可得，， ， 在中，由勾股定理得， ∴, 解得或（舍去）； 综上所述，的长为1或． 故答案为：1或． 三、解答题 13．（24-25八年级下·上海·期末）如图，四边形为正方形，，且，直线交延长线于．求证：． 【详解】证明：连接，作于， 在正方形中， ，， ， 四边形是正方形． 由， 在中， ， 在正方形中， ． 14．（24-25八年级下·上海·月考）已知：如图，在正方形中，点.分别在边.上，且．对角线分别交于点，联结．求证：四边形是菱形； 【详解】证明：连接交于点，如图所示： 四边形是正方形， ，，，，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又，， 四边形是菱形． 15．（24-25八年级下·上海·期中）我们知道平行四边形是中心对称图形．已知四边形是平行四边形，如图所示，请只用一把无刻度的直尺，按要求作出相应的图形．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，点E是边的中点，作出边的中点F； (2)如图2，在平行四边形的四边上各作一点，分别记为M、N、P、Q，使得四边形是平行四边形； (3)如图3，若四边形为正方形，点G在对角线上一点，作一个菱形，使得为菱形的一边． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）如图，四边形即为所求； （3）如图，菱形即为所求； 16．（24-25八年级下·上海静安·期末）操作  现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形． (1)重叠部分四边形是什么形状的四边形？请说明理由， (2)重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？请直接填写：最小面积________，最大面积________． 【详解】（1）解：四边形是菱形（特殊位置时为正方形）． 证明：两张完全相同的长方形纸条， ，， 四边形是平行四边形 过点A分别作，，垂足分别是点E、F， ，， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （特殊的，当，即时，菱形是正方形） （2）解：当两张纸条垂直时，重叠部分为正方形（此时菱形邻边与长方形宽重合 ），面积最小，正方形边长等于长方形纸条的宽，即， 所以最小面积为； 设菱形 的边长为，在由长方形长的剩余部分与宽构成的直角三角形中，一条直角边为长方形的宽 5cm，另一条直角边为，斜边为菱形边长， 根据勾股定理， 解得： 最大面积是以长方形宽 为高，菱形边长为底的四边形，最大面积为 ． 17．如图，已知正方形ABCD，边长AB＝6，E是AB的中点，点F在边BC上，且BF＝2FC，点P在线段CD上，连接PE、EF、PF． (1)若△PEF为等腰三角形，求PC的长度； (2)若EF平分∠BEP，求PC的长度． 【详解】（1）解：在正方形ABCD中， ∵AB＝6，E是AB的中点， ∴AE＝BE＝3， ∵BF＝2FC， ∴BF＝4，FC＝2， ∴EF＝， 设PC＝x，则PF， 如图，过点P作PG⊥AB于点G，得矩形ADPG， ∴AG＝DP＝DC−PC＝6−x， ∴GE＝AE−AG＝3−（6−x）＝x−3， ∴PE＝， ∵△PEF为等腰三角形， ∴分3种情况： ①EF＝PF， ∴5＝， 解得：x＝（负值已舍去）； ②EF＝PE， ∴5＝， 此方程无解，情况不存在； ③PE＝PF， ∴＝， 解得：x＝， ∵＞6， ∴点P在线段CD的延长线上，不符合题意，舍去． 综上所述：PC的长度为； （2）如图，过点F作FH⊥PE于点H， ∵EF平分∠BEP， ∴BF＝HF＝4 在Rt△BEF和Rt△HEF中，， ∴Rt△BEF≌Rt△HEF（HL）， ∴EH＝BE＝3， 设PC＝x， 由（1）可知PF，PE＝， ∴HP＝PE−EH＝， 在Rt△HPF中，根据勾股定理得：HP2＋FH2＝PF2， ∴， 解得x＝． ∴PC的长度为． 18．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，正方形和正方形有公共顶点O，，连接．    (1)如图1，线段与线段有交点H，求证：； (2)如图2，点E在的延长线上，求的长； (3)边与交于点G，当C，F，E三点共线时，请直接写出的值． 【详解】（1）证明：∵正方形和正方形，    ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （2）解：连接与交于点J，    ∵正方形中，， ∴，，， ∴； （3）解：如图，    同理，，， ∴， ∴， ∴ ． 19.已知：正方形ABCD的边长为8，点E是BC边的中点，点F是边AB上的动点，联结DE、EF． （1）如图1，如果BF=2，求证：EF⊥DE； （2）如图2，如果BF=3，求证：∠DEF=3∠CDE； （3）联结DF，设DF的中点为G，四边形AFEG是否可能为菱形？请说明理由． 【详解】解：（1）证明：如图1中，联结DF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=AD=8， ∵点E是BC边的中点， ∴BE=CE=4， ∵BF=2， ∴AF=6， ∴DF==10，EF==，DE==， ∴， ∴∠FED=90°， ∴EF⊥DE． （2）证明：如图中，过E作EH⊥AD于H，联结AE． ∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AD于H， ∴AB∥EH∥CD， ∴∠CDE=∠DEH， ∵E是BC中点， ∴AH=DH， ∴EH垂直平分AD， ∴∠AEH=∠DEH， ∴∠CDE=∠DEH=∠AEH， Rt△BEF中，BF=3，BE=4， ∴EF==5， ∴AF=AB-BF=5， ∴EF=AF， ∴∠FAE=∠FEA， 而∠FAE=∠AEH， ∴∠FEA=∠AEH， ∴∠CDE=∠DEH=∠AEH=∠FEA， ∴∠DEF=3∠CDE． （3）结论：四边形AFEG不可能是菱形． 理由：联结AE．假设四边形AFEG是菱形，则AE⊥DF， ∴∠BAE+AFD=90°，∠AFD+∠ADF=90°， ∴∠BAE=∠ADF， ∵AB=DA，∠B=∠DAF=90°， ∴△ABE≌△DAF（ASA）， ∴BE=AF， ∵BE=EC，BC=AB， ∴AF=BF， 在Rt△BEF中，EF＞BF， ∴EF＞AF，这与假设矛盾， ∴四边形AFEG不可能是菱形． 20．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，点M是正方形的边上的一点，过点B作交的延长线于点N，连接交于点E． (1)求的大小； (2)如果，求证：； (3)如果，当时，求的长． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解：在上截取点，使，连接， 由（1）知， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）知， ∴， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即是的角平分线， 作于点， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形，， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∴． 21．（22-23八年级上·上海普陀·期中）（探索发现）如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接． (1)试判断之间的数量关系，并写出证明过程； (2)如图①如果正方形的边长为4，求三角形的周长； (3)如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程． 【详解】（1）解：，理由如下， 证明：∵是绕点A顺时针旋转 得到， ∴，，， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ； ∴， ∵正方形的边长为4， ∴； （3）解：在上取，连接， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（24-25八年级下·上海普陀·期末）小普在综合与实践课上，参加了以“神奇的正方形”为主题的数学活动，通过“折、转、探”等方式研究有关正方形折纸的有趣结论． (1)折一折：如图-1，小普将正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，联结．那么___________度；如果，那么的长度等于___________； (2)转一转：小普将图-1中的绕点旋转，使它的两边分别交直线于点． ①如图-2，当点、在边、上，联结．如果，求的面积； ②探一探：联结，射线、分别交对角线所在直线于点、，且点在正方形内部．正方形的边长，联结．如果是等腰三角形，请直接写出线段的长度___________．（用含有字母的代数式表示） 【详解】（1）解：如图1，延长至点，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠得：， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形是正方形，且边长， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴（舍）， ∴， 故答案为：45，； （2）①如图2，由旋转得：， 延长至点Q，使，连接，过点A作于点E， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：（舍），， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积； ②分两种情况： i）如图3，，过点M作于点G，则， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ii）如图4，， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，线段的长度或． 23．（23-24八年级下·上海静安·期末）在等腰中，，直线垂直平分，交于点，点在直线上，且点与点关于点对称，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图1，当平分时，求菱形的周长； (3)当四边形为正方形时，请在图2中画出符合题意的正方形，再连接，求的长． 【详解】（1）证明：∵直线垂直平分，点在直线上， ∴， ∵点与点关于点对称， ∴， 又，即垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图所示，延长交于点， ∵， 当平分时， ∴，， 在中，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴菱形的周长为， （3）解：如图所示，过点分别作和的垂线，垂足分别为，过点作于点， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形为正方形 ∴， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 如图所示，当在的下方时， 同理可得：， ， 在中，， 综上所述，或． 24．（22-23八年级下·上海长宁·期末）已知在四边形中，，，平分，交边于点．    (1)如图1，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； (2)如果，， ①如图2，当时，求的度数； ②当是直角三角形时，求的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形； （2）①解：如图所示，过点作于点，    ∵，， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∵， ∴ 在中，， 取的中点，则 ∴ ∴是等边三角形， ∵ ∴ ∵平分， ∴； ②当时，如图所示，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，    ∵， ∴， ∵平分， ∴ 在和中， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴ ∴中， 即 解得： ∴； 当时，如图所示，过点作于点，    设，则, ∴ ∵ ∴，， ∴， ∴是的角平分线 ∴ 在和中， ∴ ∴ 又是的角平分线， ∴ ∴ 综上所述当是直角三角形时，的长为或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $