精品解析：河北邯郸市涉县2025-2026学年八年级上学期期末数学试题

八年级数学试题 （时间：90分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列叙述中正确的是（　　） A. 是9的平方根 B. 9的平方根是 C. 8的立方根是 D. 0.1的立方根是0.001 3. 如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（　　） A. B. C. D. 平分 4. 用四舍五入法按要求对0.15038分别取近似值，其中错误的是（ ） A. 0.2（精确到0.1） B. 0.1504（精确到万分位） C. 0.15（精确到千分位） D. 0.150（精确到0.001） 5. 使用如图所示的两根直铁丝做成一个等腰三角形框架，需要将其中的一根铁丝折成两段，小明认为：可将线段折成，；小亮认为：可将线段折成，，下列说法正确的是（ ） A. 只有小明正确 B. 只有小亮正确 C. 两人都正确 D. 两人都错误 6. 以下各组数为边长的三角形，其中构成直角三角形的一组是（ ） A. 4、5、6 B. 3、5、6 C. D. 7. 如图，在数轴上表示实数的可能是（ ） A. 点 B. Q点 C. M点 D. N点 8. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 9. 若分式中x和y都扩大为原来的5倍，分式的值扩大为原来的5倍，则“”中可以为（  ） A. 5 B. x C. xy D. 10. 如图，在四边形中，平分，，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 11. 如图，这是一个地铁站入口的双翼闸机的示意图，双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 4 D. 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分共12分，把答案直接写在答题纸的横线上） 13. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 14. 二次根式有意义的条件是__________． 15. 如图，在中，，，则___________． 16. 为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1_____．（填“＞”或“＜”或“=”） 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．要求写出文字说明、证明过程、演算步骤） 17. 计算 （1） （2） 18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、在正方形的顶点上． （1）已知与关于直线成轴对称，且点与点为对应点，请在图中画出对称轴直线和． （2）在直线上找到点，使的值最小．（在图中标出点，保留作图痕迹．）并直接写出的最小值． 19. 已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息， 的取值 1 c 不存在 分式的值 无意义 0 1 （1）根据表格中提供的信息，求出a、b、c的值． （2）根据表格中信息，求被遮盖的数字． 20. 在数学课上，老师给出了4张全等的直角三角形卡片（如图所示，两直角边长分别为，斜边为，要求同学们用这些卡片拼成含有正方形的图案，拼图时直角三角形卡片不能互相重叠． （1）佳佳用这4张卡片拼成了如图2所示的图形，她发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：大正方形的面积可表示为___________，也可表示为___________，因此可得___________． （2）一组同学也利用4张卡片拼成了如图3所示的三个图案，在图①③中，图___________可证明勾股定理． （3）聪聪用了2张卡片拼成如图4所示的图形，他认真观察后发现，虽然这个图形中没有正方形，但此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 21. 按要求解答下列各题 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲：过点作射线． ②过点B作于点． 在的延长线上截取，使得________．（只添加一个条件） 测量的长即可． 乙：在水池外过点作的垂线，在上取点，使得． 过作的垂线，使点在同一条直线上． 测量的长即可． 问题解决： （1）乙的方案是否可行，请说明理由； （2）补全甲方案，并说明可行的理由． 22. 某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车 燃油车油箱容积：50 新能源车电池容量：50 油价：6.6元/ 电价：0.36元/ 续航里程： 续航里程： 备注： 燃油车的续航里程是指：燃油车在最大燃料储备下可连续行驶的总里程． 新能源车的续航里程是指：电动车在充满电的情况下，能够行驶的最长距离． （1）根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为___________，新能源车每千米行驶的费用为___________．（用含的代数式表示） （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.49元，请分别求出这两款车的每千米行驶费用． （3）在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4000元和5470元，在不考虑其他因素时，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低．（年费用年行驶费用年其他费用） 23. 如图1和图2，在中，，，D为直线上的动点，连接，过点A在直线的右侧作，且． 【解题填空】（1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于点F，（）． ①图1中与相等的角是 ； ②用含m的式子表示线段的长度 ； 【类比探究】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接，试判断的面积是否为定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由； 【拓展应用】（3）当点D在射线上时，连接交直线于点M．若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 （时间：90分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：选项C中的图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其它选项中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形； 故选：C． 2. 下列叙述中正确的是（　　） A. 是9的平方根 B. 9的平方根是 C. 8的立方根是 D. 0.1的立方根是0.001 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是立方根、平方根的定义，根据平方根和立方根的定义判断各选项的正确性，平方根定义：一个数x的平方等于a，则x是a的平方根；立方根定义：一个数x的立方等于a，则x是a的立方根． 【详解】解：A、，所以是9的平方根，故A正确； B、，所以9的平方根是，故B错误； C、，所以8的立方根是2，故C错误； D、0.1的立方根不是0.001，而是，故D错误． 故选：A ． 3. 如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（　　） A. B. C. D. 平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 已知，，再根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A．添加，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意； B．添加，结合条件，，可以利用证明，故B不符合题意； C．添加，结合条件，，不可以证明，故C符合题意； D．添加平分，得，结合条件，，可以利用证明，故D不符合题意． 故选：C． 4. 用四舍五入法按要求对0.15038分别取近似值，其中错误的是（ ） A. 0.2（精确到0.1） B. 0.1504（精确到万分位） C. 0.15（精确到千分位） D. 0.150（精确到0.001） 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查近似数与有效数字，解题的关键是明确“精确到某一位”的含义，即对下一位数字进行四舍五入． 分别分析每个选项中“精确到某一位”的四舍五入规则，判断近似值是否正确． 【详解】解：已知原数为0.15038： A、精确到0.1（即十分位），需看百分位数字5，因为，所以向十分位进1，得0.2，正确； B、精确到万分位，需看十万分位数字8，因为，所以向万分位进1，得0.1504，正确； C、精确到千分位，需看万分位数字3，因为，所以舍去，结果应为0.150，而非0.15，错误； D．精确到0.001（即千分位），与选项C同理，结果为0.150，正确． 故选：C． 5. 使用如图所示的两根直铁丝做成一个等腰三角形框架，需要将其中的一根铁丝折成两段，小明认为：可将线段折成，；小亮认为：可将线段折成，，下列说法正确的是（ ） A. 只有小明正确 B. 只有小亮正确 C. 两人都正确 D. 两人都错误 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分别分析小明和小亮的折法，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），判断能否构成等腰三角形即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：小明的折法，将线段折成，，此时三角形三边为，，， 因为，满足三角形三边关系，能构成等腰三角形， 所以小明的折法正确； 小亮的折法，将线段折成，，此时三角形三边为，，， 因为，满足三角形三边关系，能构成等腰三角形， 所以小亮的折法也正确， 综上，两人都正确， 故选：． 6. 以下各组数为边长的三角形，其中构成直角三角形的一组是（ ） A. 4、5、6 B. 3、5、6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 【详解】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项错误； B、32+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项错误； C、()2+()2=()2，能构成直角三角形，故此选项正确； D、因为22+（）2≠（）2所以三条线段不能组成直角三角形, 故此选项错误. 故选C 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理的运用，解题时注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 7. 如图，在数轴上表示实数的可能是（ ） A. 点 B. Q点 C. M点 D. N点 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴；根据开方估算出在哪两个整数之间，再结合数轴得出答案即可． 【详解】解：， ， 数轴上表示实数的可能是Q点； 故选：B． 8. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 9. 若分式中x和y都扩大为原来的5倍，分式的值扩大为原来的5倍，则“”中可以为（  ） A. 5 B. x C. xy D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 设“”为，为“”扩大5倍后的内容，根据题意得到，化简得到，即的值需为值的5倍，逐项判断即可． 【详解】解：设原分式为，其中为“”内容， 由于x和y均扩大5倍，此时为“”扩大5倍后的内容， 则新分式为， 由于分式值扩大为原来的5倍， 则， 假设，约去得， 化简得， 解得， 即扩大5倍后等于， 选项A、，，不满足； 选项B、，，满足； 选项C、，，不满足； 选项D、，，不满足； 故选：B． 10. 如图，在四边形中，平分，，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形面积计算；在上截取，连接，易得，得到，即可求出. 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵平分， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 故选：B. 11. 如图，这是一个地铁站入口的双翼闸机的示意图，双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，过作于，过作于，可得，，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过作于， 在中，， ∴， 同理可得，， ∵点与之间的距离为， ∴通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：． 12. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与正方形面积公式的综合应用，解题的关键是利用勾股定理建立三个正方形面积的关系，结合已知条件求出． 先由勾股定理得出，再将该关系代入已知等式求出；最后根据阴影部分面积是的一半，计算出阴影面积，即可解题． 【详解】解：由勾股定理可知，， ， ， ， 解得， 则图中阴影部分的面积为； 故选：A． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分共12分，把答案直接写在答题纸的横线上） 13. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 14. 二次根式有意义的条件是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，x-2≥0， 解得x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件，被开方数是非负数． 15. 如图，在中，，，则___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解题关键是熟记等腰三角形三线合一的性质． 根据等腰三角形三线合一的性质得，由此即可解题． 【详解】解：在中，， ， ， ； 故答案为：． 16. 为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1_____．（填“＞”或“＜”或“=”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】依据勾股定理即可得到AD==，AB==，BD+AD=+1，再根据△ABD中，AD+BD＞AB，即可得到+1＞． 【详解】∵∠C=90°，BC=3，BD=AC=1， ∴CD=2，AD==，AB==， ∴BD+AD=+1， 又∵△ABD中，AD+BD＞AB， ∴+1＞， 故答案为＞． 【点睛】本题考查了三角形三边关系以及勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理以及三角形三边关系是解题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．要求写出文字说明、证明过程、演算步骤） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1）10 （2）0 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算、零指数幂、熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂、以及二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先利用二次根式的性质化简各项，再利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、在正方形的顶点上． （1）已知与关于直线成轴对称，且点与点为对应点，请在图中画出对称轴直线和． （2）在直线上找到点，使的值最小．（在图中标出点，保留作图痕迹．）并直接写出的最小值． 【答案】（1） 所作对称轴直线和如图所示： （2）点即为所求， 的最小值为 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，轴对称作图，轴对称性质，勾股定理，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． （1）连接，作的垂直平分线，该垂直平分线即为对称轴直线，再结合轴对称作图步骤作出，即可解题； （2）连接，交于点，连接，结合轴对称性质推出的最小值为，再结合勾股定理求出，即可解题。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，交于点，连接， 由轴对称性质可知，， ， 结合两点之间线段最短可知， 的最小值为， ， 的最小值为． 19. 已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息， 的取值 1 c 不存在 分式的值 无意义 0 1 （1）根据表格中提供的信息，求出a、b、c的值． （2）根据表格中信息，求被遮盖的数字． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的值、分式有意义和无意义的条件，分式方程无解的情况，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）先根据分式无意义的条件求出a的值，再根据时，分式的值为0求出b的值，最后根据分式的值为1求出x的值，即可得到c的值，即可解题； （2）设被遮盖的数字为，得到分式方程，结合表格信息推出该分式方程无解，将该分式方程去分母转化为整式方程后，分两种情况讨论：①整式方程的解是原分式方程的增根，②整式方程本身无解，即可解题． 【小问1详解】 解：分式无意义时，， ， 解得， 时，分式的值为0， ， 解得， 当时， 有， 解得， 经检验使得， 是方程的解， ， 综上所述，，，； 【小问2详解】 解：设被遮盖的数字为， 则有， ， ， ， ， 又此时的取值不存在，即该方程无解， ①当该方程有增根时，即时， 有， 该方程无解； ②当该方程本身无解时， ， ， 解得， 即被遮盖的数字为． 20. 在数学课上，老师给出了4张全等的直角三角形卡片（如图所示，两直角边长分别为，斜边为，要求同学们用这些卡片拼成含有正方形的图案，拼图时直角三角形卡片不能互相重叠． （1）佳佳用这4张卡片拼成了如图2所示的图形，她发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：大正方形的面积可表示为___________，也可表示为___________，因此可得___________． （2）一组同学也利用4张卡片拼成了如图3所示的三个图案，在图①③中，图___________可证明勾股定理． （3）聪聪用了2张卡片拼成如图4所示的图形，他认真观察后发现，虽然这个图形中没有正方形，但此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【答案】（1），， （2）① （3） 证明：图4中梯形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得， ． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，图形的面积计算，代数恒等变形，用两种方法表示图形面积是解题关键． （1）利用三角形与正方形面积公式表示出大正方形的面积，再建立等式化简，即可解题； （2）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示大正方形的面积，建立等式化简，即可解题； （3）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示梯形的面积，建立等式化简，即可解题． 【小问1详解】 解：大正方形的面积可表示为， 也可表示为：， 因此可得 ； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：图①中大正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得， 整理得， 故在图①③中，图①可证明勾股定理； 故答案为：①． 【小问3详解】 略 21. 按要求解答下列各题 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲：过点作射线． ②过点B作于点． 在的延长线上截取，使得________．（只添加一个条件） 测量的长即可． 乙：在水池外过点作的垂线，在上取点，使得． 过作的垂线，使点在同一条直线上． 测量的长即可． 问题解决： （1）乙的方案是否可行，请说明理由； （2）补全甲方案，并说明可行的理由． 【答案】（1） 乙的方案可行，理由如下， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可； （2） 添加，理由， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可； 或添加，理由， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可； 或添加，理由， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可． 【解析】 【分析】（）由，，得，然后通过“”证明即可； （）根据全等三角形的判定方法即可求解． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 22. 某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车 燃油车油箱容积：50 新能源车电池容量：50 油价：6.6元/ 电价：0.36元/ 续航里程： 续航里程： 备注： 燃油车的续航里程是指：燃油车在最大燃料储备下可连续行驶的总里程． 新能源车的续航里程是指：电动车在充满电的情况下，能够行驶的最长距离． （1）根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为___________，新能源车每千米行驶的费用为___________．（用含的代数式表示） （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.49元，请分别求出这两款车的每千米行驶费用． （3）在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4000元和5470元，在不考虑其他因素时，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低．（年费用年行驶费用年其他费用） 【答案】（1）元；元 （2）燃油车的每千米行驶费用为0.55元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元 （3）超过3000 【解析】 【分析】本题考查代数式表示，分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． （1）根据最大燃料储备时所用总费用除以其续航里程，以及充满电时所用总费用除以其续航里程，列式表示即可； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.49元，建立方程求解，进而算出这两款车的每千米行驶费用，即可解题； （3）设不考虑其他因素时，每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低，结合“年费用年行驶费用年其他费用”建立不等式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为：（元）， 新能源车每千米行驶的费用为：（元）， 故答案为：元，元； 【小问2详解】 解：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.49元， ， 解得， 经检验，使得， 是该方程的解， 燃油车每千米行驶的费用为：（元）， 新能源车每千米行驶的费用为：（元）， 答：燃油车的每千米行驶费用为0.55元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元； 【小问3详解】 解：设不考虑其他因素时，每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低， ， 解得， 答：每年行驶里程超过3000千米时，买新能源车的年费用更低． 23. 如图1和图2，在中，，，D为直线上的动点，连接，过点A在直线的右侧作，且． 【解题填空】（1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于点F，（）． ①图1中与相等的角是 ； ②用含m的式子表示线段的长度 ； 【类比探究】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接，试判断的面积是否为定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由； 【拓展应用】（3）当点D在射线上时，连接交直线于点M．若，请直接写出的值． 【答案】（1）①；②；（2）是定值，为；（3）或1 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． （1）①根据垂直的定义得到，求得，根据全等三角形的性质得到结论； ②根据全等三角形的性质得到，求得； （2）如图2，过点E作，交的延长线于点N，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形的面积公式得到结论； （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于M，过点E作，交的延长线于N，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，，求得，如图4，点D在线段上，过点E作，同理可得到，，，求得，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ②∵，， ∴， ∵， ∴， （2）如图2，过点E作，交的延长线于点N， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴的面积是定值，这个值为； （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于M，过点E作，交的延长线于N， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图4，点D在线段上，过点E作， 同理可得：，，， ∴，， ∴，， ∴， 综上，或1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $