第16章 相交线与平行线 章节复习（12知识详解+31典例分析）2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册同步讲义与测试

第16章 相交线与平行线 章节（12知识详解+31典例分析） 【知识点01】：邻补角及其性质 1.定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。 2.邻补角的性质:邻补角互补,即互为邻补角的两个角之和为180° 【知识点02】：对顶角及其性质 1.定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。 2.对顶角性质:对顶角相等。 【知识点03】：垂线 1.垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线， 2.垂线的性质： 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)。 【知识点04】：垂线段及点到直线的距离 1.垂线段定义：以已知直线的垂线上的一点（不是垂足，点在直线外）与垂足为端点的线段，叫点到直线的垂线段； 2.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 3.点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度 4.垂线的画法：借助三角尺或量角器来画垂线。 【知识点05】平行线的意义和基本性质 1、平行线的定义 同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 2、平行线的基本性质 （1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； （2）平行线之间的距离处处相等； （3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）． （4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． （5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等． 【知识点06】同位角、内错角、同旁内角(三线八角) 若直线a，b被直线所截： （1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．（如） （2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角 叫做内错角．（如） （3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的 一对角互为同旁内角．（如） 注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系． 【知识点07】平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【知识点08】平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 【知识点09】平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 【知识点10】命题 用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题. 数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 【知识点11】互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题就叫作它的逆命题. 原命题是真命题时，其逆命题不一定是真命题. 【知识点12】证明 1.证明：除了公理之外，真命题需要经过证明才能确认. 证明一个命题为真，先明确“已知”“求证”,再“证明”.其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，“证明”是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程.在初中平面几何中，通常遵循步骤： (1)根据题意画出示意图； (2)根据条件和结论，参照示意图，写出“已知”和“求证”; (3)写出由条件推出结论的完整过程. 2.反例：要判定一个命题是假命题，有时只需举出一个符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子.这样的例子通常称为反例. 【题型一】两点确定一条直线 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）经过三点中的任意两点，可作的直线（   ） A．只有一条 B．一定有三条 C．有三条以上 D．有一条或者三条 【答案】D 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题主要是考查了直线，两点可确定一条直线，注意分类讨论是解决本题的关键． 分两种情况：1、三点在同一直线上时；2、三点不在同一直线上时，进行判断即可． 【详解】解：当三点在同一直线上时，只能作出一条直线； 三点不在同一直线上时，每两点可作一条，共3条； 故选D． 2．（23-24七年级下·上海·期中）如图，木匠师傅经过刨平的木板上的，两点，可以弹出一条笔直的墨线，请你解释这一实际应用的数学基本事实是 ． 【答案】两点确定一条直线 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题考查了两点确定一条直线，根据题意木匠师傅经过刨平的木板上的，两点，可以弹出一条笔直的墨线，即可求解． 【详解】解：木匠师傅经过刨平的木板上的，两点，可以弹出一条笔直的墨线，请你解释这一实际应用的数学基本事实是两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【题型二】对顶角的定义 3．（24-25七年级下·上海·期中）下列图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的定义，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角，由此逐项分析即可得解． 【详解】解：A、和不是对顶角，故不符合题意； B、和不是对顶角，故不符合题意； C、和不是对顶角，故不符合题意； D、和是对顶角，故符合题意； 故选：D． 4．（22-23七年级下·上海·期中）9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有 对． 【答案】72 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 【详解】解：①两条直线相交共2对对顶角； ②三条直线相交，在2对的基础上再加4对，共6对； ③四条直线相交，在6对的基础上再加6对，共12对； ④五条直线相交，在12对的基础上再加8对，共20对； 即对顶角的对数为，2，6，12，20……， 以此类推，当n条直线相交时，对顶角的总对数为：  ； 根据n条直线相交于一点，构成对对顶角的规律可知， 当时，=（92-9）=72（对）， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了对顶角的定义及n条直线相交于一点，构成对顶角的规律，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角． 【题型三】对顶角相等 5．（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线、相交于点，平分，且，那么 【答案】36 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，先利用对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 平分， ， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线、相交于点，，求的度数． 【答案】 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角相等的定义，熟悉掌握其知识点是解题关键. 【详解】解：∵直线、相交于点， ∴与是对顶角． ∴． 【题型四】垂线的定义理解 7．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，已知与交于点，且，垂足为，若，则 度． 【答案】/125度 【知识点】对顶角相等、垂线的定义理解 【分析】本题考查垂直的定义，角的和差关系，对顶角相等等知识，利用垂直的定义可知，再运用求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 8．如图，已知直线、相交于点，，是的角平分线，请说明的理由． 解：直线、相交于点（已知） （______） （已知） （______） （______） 是的角平分线（已知） （______） （______） 【答案】平角的定义；垂线的性质；等量代换；角平分线的定义；等量代换 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】根据垂线，角平分线的定义进行判定即可得出答案． 【详解】解：直线、相交于点，（已知） ，（平角的定义） ，（已知） ，（垂线的性质） ，（等量代换） 是的角平分线，（已知） ，（角平分线的定义） ，（等量代换） 故答案为：平角的定义，垂线的性质，等量代换，角平分线的定义，等量代换． 【点睛】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，熟练掌握垂线，角平分线的定义进行求解是解决本题的关键． 【题型五】画垂线 9．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【答案】D 【知识点】画垂线 【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：． 10．如图所示，是钝角.（不写作图过程，保留作图痕迹）    (1)画出点A到的垂线段. (2)过点C画的垂线. 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【知识点】画垂线 【分析】（1）根据题意画出点A到的垂线段即可； （2）根据题意过点C画的垂线即可． 【详解】（1）如图，线段即为点A到的垂线段， （2）如图，线段即为所作的垂线，    【点睛】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解垂线段的概念及作法． 【题型六】垂线段最短 11．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，是直线外一点，过点作于点，在直线上取一点，连接，使，在线段上连接．若，则线段的长不可能是（    ） A．3.5 B．4 C．5.5 D．6.5 【答案】D 【知识点】垂线段最短 【分析】此题主要考查了垂线段最短，直接利用垂线段最短以及结合已知得出的取值范围进而得出答案． 【详解】解：过点作于点，，在线段上连接，， ， ， 故不可能是6.5， 故选：D． 12．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处开始挖渠才能使水渠的长度最短，请作出图形，并说明这样做依据的几何学原理． 【答案】图见解析，垂线段最短 【知识点】垂线段最短 【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段的性质，可得答案． 【详解】解：过点A作CD的垂线段AB，则AB的长度最短，依据为：垂线段最短， ． 【点睛】本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上所有点的连线中，垂线段最短． 【题型七】点到直线的距离 13．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，，，点B到边的距离是线段 的长． 【答案】 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离． 根据点到直线的距离定义进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴点B到边的距离是线段的长， 故答案为：． 14．（23-24七年级下·上海金山·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点，    (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F； (3)点M到点N之间的距离是线段________的长； (4)点O到直线的距离是线段________的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【知识点】点到直线的距离、画垂线 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离，点到点的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）根据点到点的距离的定义，判断即可． （4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图所示：直线即为所求：    （2）解：如上图所示，直线即为所求： （3）解：点M到点N之间的距离是线段的长 故答案为：， （4）解：点O到直线的距离是线段的长， 故答案为： 【题型八】平面内两直线的位置关系 15．（24-25七年级下·上海闵行·月考）下列语句中，正确的有（　　）个． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ④垂直于同一条直线的两条直线垂直． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】垂线的定义理解、平面内两直线的位置关系 【分析】本题主要考查了两直线的位置关系，同一平面内，两直线只有相交和平行两种位置关系，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此可得答案． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； ③在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，原说法正确； ④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原说法错误． 故选：A． 16．（2024七年级下·上海·专题练习）在同一平面内，两条直线有 种位置关系，它们是 ． 【答案】 两 相交和平行 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查了在同一平面内两条直线之间的位置关系，较简单，要注意垂直只是属于相交的一种特殊情况．在同一平面内，两条直线有两种位置关系，它们是相交和平行，其中垂直是相交的一种特殊情况． 【详解】解：在同一平面内，两条不重合直线有两种位置关系，它们是相交和平行， 故答案为：两，相交和平行． 【题型九】用直尺、三角板画平行线 17．（2022七年级下·上海·专题练习）下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　） A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸 【答案】C 【知识点】画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】根据直线与平面垂直的意义进行判断即可． 【详解】解：铅垂线、三角尺、合页型折纸可以检验直线与平面垂直，而长方形纸片比较单薄，不适合支撑检测直线与面之间的垂直度， 故选：C． 【点睛】本题考查垂线，掌握直线与平面垂直的意义是正确判断的前提． 18．（24-25七年级下·上海·月考）如图，平面上有两条直线、，点在直线上，按要求画图（不写结论）并填空： (1)过点画直线的垂线，垂足为点； (2)过点画直线交直线于点； (3)过点画直线．由图可知：点到直线距离为线段______的长度． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析， 【知识点】画垂线、点到直线的距离、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线段的定义画出即可； （2）根据垂线的定义画出即可； （3）根据平行线的定义画出即可，根据点到直线间的距离求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：直线即为所求； （3）解：直线即为所求，由图可知：点到直线距离为线段的长度． 故答案为：． 【题型十】平行公理的应用 19．（22-23七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（　　） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离 D．三角形任意两边之和小于第三边，任意两边之差大于第三边 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解、点到直线的距离、平行公理的应用 【分析】本题主要考查垂直的定义，点到直线的距离，平行线的性质以及三角形的三边关系．熟练掌握性质定理是解题的关键． 【详解】解：A、在同一平面上，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故说法错误； B、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故说法正确；； D、三角形两边之和大于第三边，故说法错误；； 故选：C． 20．（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知直线a、b、c在同一平面内，如果，，那么直线a、b的位置关系是 ． 【答案】（或垂直）． 【知识点】平行公理的应用、垂线的定义理解 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂线的性质，解题的关键是根据平行和垂直的传递性判断直线、的位置关系． 利用平行线的性质和垂线的定义，通过分析直线、与直线的关系，得出直线、的位置关系． 【详解】，， ，即直线、的位置关系是垂直． 故答案为：（或垂直）． 【题型十一】平行公理推论的应用 21．若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（   ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交 D．以上都有可能 【答案】A 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】此题主要考查了平行公理的推论，根据平行公理的推论直接判断直线c与直线a的位置关系即可． 【详解】解：∵互不重合的三条直线，，之间满足：， ∴直线与平行， 故选：A． 22．（22-23七年级下·上海·期末）已知直线a、b、c，满足，，那么直线b、c的位置关系是 ． 【答案】/ 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，根据平行公理的推论解答即可． 【详解】解∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行公理，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理的推论可以看作是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 【题型十二】反证法证明中的假设 23．（24-25七年级下·上海·期中）反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】此题考查了反证法的证明的第一步，注意从结论的反面出发假设是解题关键．反证法即假设结论的反面成立，即可得出答案． 【详解】解：用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设． 故选：B． 24．（24-25七年级下·上海·期末）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：如图，“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，应先应假设 ． 【答案】 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：反证法证明命题“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，首先应假设与平行，即． 故答案为：． 【题型十三】用反证法证明命题 25．（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空： 证明：假设a，b，c都不是 ， 不全为0， 中至少有一个为正数， 0，这与已知相 ， ∴ ，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 【答案】 负数 矛盾 假设不成立 【知识点】用反证法证明命题 【分析】本题主要考查了反证法的应用，准确分析判断是解题的关键． 首先假设a，b，c都不是负数，然后证明出a，b，c这三个数中至少有一个负数即可求解． 【详解】证明：假设a，b，c都不是负数， 不全为0， 中至少有一个为正数， ，这与已知相矛盾， ∴假设不成立，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 故答案为：负数，，矛盾，假设不成立． 26．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 【答案】见解析 【知识点】用反证法证明命题 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 利用等腰三角形的性质和大边对大角进行分析作答． 【详解】证明：假设， （等边对等角）． 假设， （大边对大角）． 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ． 【题型十四】同位角、内错角、同旁内角 27．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图所示，下列说法正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义解答即可． 本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 与是同旁内角，错误，不符合题意， B. 与是内错角，错误，不符合题意， C. 与是同位角，错误，不符合题意， D. 与是同旁内角，正确，符合题意， 故选：D． 28．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，的同位角是 ；的内错角是 ；的同旁内角是 ．（每空各填一个符合要求的角） 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题涉及到三线八角的知识，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义求解即可，“两直线被第三条直线所截，同位角位于两直线同侧，第三条直线的同旁；内错角位于两直线之间，第三条直线的两侧；同旁内角位于两直线之间，第三条直线的同侧．” 【详解】解：的同位角是；的内错角是或；的同旁内角是或或或， 故答案为：；（答案不唯一）；（答案不唯一）． 【题型十五】同位角相等两直线平行 29．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知点A、、和点、、分别在同一直线上，，那么 ． 【答案】 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，对顶角性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：如图，设交于点M， ∵，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；． 30．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图所示，已知，垂足为B，，垂足为D，．试说明直线与平行． 解，（已知）， ，（____________）， 即、 又（____________）， _____=____________， （____________）． 【答案】见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、垂线的定义理解 【分析】本题考查的是平行线的判定，垂直的定义，根据题干信息的提示，逐步完善推理过程与推理依据即可. 【详解】解：，（已知）， ，（垂直的定义）， 即、， 又（已知）， （等角的余角相等） ∴（同位角相等，两直线平行）． 【题型十六】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 31．在同一平面内有两两不重合的直线、和，，，则直线、的位置关系是（    ） A．互相平行 B．互相垂直 C．相交但不垂直 D．无法判断 【答案】A 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】根据平行的判定方法：垂直于同一条直线的两条直线平行可知． 【详解】解：∵， ∴（垂直于同一直线的两条线平行）． 故选：A． 【点睛】本题考查平行的判定方法，关键是掌握平行的判定方法：垂直于同一条直线的两条直线平行． 【题型十七】两直线平行同位角相等 32．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，直线m、n被直线l所截，已知 那么 【答案】/105度 【知识点】两直线平行同位角相等、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了平行线的性质，由得到，由，得到，即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（22-23七年级下·上海·期中）按下列要求画图并填空：如图，直线与直线相交于O，根据下列语句画图：    (1)过点P作，垂足为E． (2)过点P作，交于点F． (3)若，则 度． (4)点F到直线的距离是线段 的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)40 (4) 【知识点】画垂线、两直线平行同位角相等、点到直线的距离 【分析】（1）根据垂线的定义画出直线即可； （2）根据平行线的定义画出直线即可； （3）利用邻补角及平行线的性质即可求解； （4）根据点到直线的距离判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求，    （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40； （4）解：点F到直线的距离是线段的长度． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的作图，垂线的作图，利用平行线的性质求角度，正确掌握平行线的作图及平行线的性质是解题的关键． 【题型十八】内错角相等两直线平行 34．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，可以判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定，内错角相等，两直线平行，即可解答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项错误； B、根据，不能判定，故该选项错误； C、∵，∴，故该选项正确； D、根据，不能判定，故该选项错误； 故选：C． 35．（22-23七年级下·上海静安·期末）如图，已知点E、D、C、F在一条直线上，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与的位置关系如何？为什么？ 注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式； 解：（1），理由如下： ∵（平角的定义）， （已知）， ∴ （       ）， ∴ （       ）． （2）与的位置关系是： ． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴ ， ∴ （       ）． 【答案】见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定．掌握平行线的判定方法，是解题的关键． （1）根据同角的补角相等，以及同位角相等，两直线平行，作答即可； （2）根据角平分线的定义以及内错角相等，两直线平行，作答即可． 【详解】解：解：（1），理由如下： ∵（平角的定义）， （已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴ （同位角相等，两直线平行）． （2）与的位置关系是：． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 【题型十九】两直线平行内错角相等 36．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，已知，下列说法中正确的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行内错角相等 【分析】根据平行线的性质对每一项判断即可解答． 【详解】解：项∵由得不到，故项不符合题意； 项∵由得不到，故项不符合题意； 项∵由得不到，故项不符合题意； 项∵由可得到，故项符合题意． 故选． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 37．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，四边形中，，则图中所标的四个角中 ． 【答案】 2 3 【知识点】两直线平行内错角相等 【分析】题目主要考查平行线的性质，结合图形，利用两直线平行，内错角相等求解即可，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：2；3 【题型二十】同旁内角互补两直线平行 38．（23-24七年级下·上海·月考）如图，，则当 时，．    【答案】 【知识点】对顶角相等、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角相等，根据同旁内角互补两直线平行即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵ ∴时，， ∴ 故答案为：． 39．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，请说明AB//EF的理由． 【答案】见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、平行公理的应用 【分析】根据同位角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行、平行公理即可得出AB∥EF． 【详解】解：， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了平行线的判定，用到的知识点是同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、熟练运用平行公理是解决此题的关键． 【题型二十一】两直线平行同旁内角互补 40．已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴∠1+∠2=180°， ∵∠1 =95°， ∴∠2=180°-∠1=180°-95°=85°． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 41．（22-23七年级下·上海宝山·期末）如图，直线、被直线所截，如果，，那么 ．    【答案】 【知识点】对顶角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】根据平行线的性质得出，然后根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【题型二十二】根据平行线的性质探究角的关系 42．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在直线上． (1)试说明，，之间的关系式；（要求写出推理过程） (2)如果点P在A、B两点之间（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系是否发生变化？（只回答） (3)如果点P在A、B两点外侧（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系．（要求写出推理过程） 【答案】(1)，见解析 (2)不变化 (3)或，见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）过点P作，利用平行线的判定和性质，角的和解答即可． （2）过点P作，利用平行线的判定和性质，角的和解答即可． （3）利用分类思想，结合平行线的判定和性质解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的和，分类思想，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：； 理由：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解： ，不会变化，其证明与第一问相同． （3）证明：或； 理由：当点P在下侧时，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴． 当点P在上侧时，同理可得：． 【题型二十三】根据平行线的性质求角的度数 43．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知直线、被直线所截，，且，，那么 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、两直线平行同位角相等 【分析】此题考查平行线的性质，关键根据两直线平行，同旁内角互补解答． 根据两直线平行，同旁内角互补解答即可． 【详解】解：， ， 即， 解得：， ， 故答案为：． 44．（24-25七年级下·上海普陀·期中）我们知道，插入水中的筷子，从水面上看，水下部分看上去向上弯折了，这是因为光从水中进入空气时发生了折射现象．如图1，线段表示筷子，筷子的底部点A发出的入射光线、进入空气时发生折射，变为折射光线、，两条折射光线的反向延长线的交点D即为我们眼睛看到的筷子底部，所以看上去筷子向上弯折即折线了．如图2，已知，，折射角，折射光线时，求的大小． 解：∵， ∴______°， ∴． ∵， ∴______°．（完成以下解题过程） 【答案】见解析 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂线，平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 由垂直的定义得，可得，根据平行线的性质得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【题型二十四】平行线的性质在生活中的应用 45．（24-25七年级下·上海·月考）如图所示，直线、所成的角跑到画板外面去了，如何量出这两条直线所成角的度数．下列几种方法：①在直线上任取一点，过点作直线的平行线，量出与直线所成锐角的度数即为；②在直线上任取一点，过点作直线的垂线交直线于点，量出与直线所成锐角的度数即为；③在画板上任取一点，过点分别作直线、的平行线，量出它们所成锐角的度数即为．可行的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理． 分别画出图形，再根据平行线的性质、三角形内角和定理，逐个判断即可． 【详解】解：①如图， ∵ ∴，故①正确； ②如图， ∵ ∴ ∴，故②错误； ③如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故③正确． ∴正确的有①③， 故选：C． 46．（24-25七年级下·上海·月考）如图所示，修高速公路需开凿隧道，为节省时间，现从山的两侧、处同时开工．如果在处测得隧道的走向是北偏东，那么在处应按 方向开工，才能使隧道准确接通． 【答案】南偏西 【知识点】方向角的表示、平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查平行线的性质和方向角在实际生活中的运用，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，利用平行线的性质解答． 如图，根据根据平行线的性质得出，再根据方位角的概念，表示出方位角，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴按南偏西的方向开工． 故答案为：南偏西． 【题型二十五】根据平行线判定与性质求角度 47．（23-24七年级下·上海·期末）如图，，，，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了垂线的定义、平行线的判定与性质，由垂线的定义得出，再由平行线的判定与性质得出，即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 48．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）某小区车库门口需要用到曲臂直杆道闸，模型如图所示．如果，，，那么 °． 【答案】127 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、垂直的定义、角的和差等知识； 过点B作，如图，根据平行线的性质和垂直的定义可得，进而可得，证明即可得解． 【详解】解：过点B作，如图， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：127． 【题型二十六】根据平行线判定与性质证明 49．如图，AB∥CD，EF⊥DB，垂足为点E，则∠1与∠2的关系是 ． 【答案】∠1+∠2＝90°或互余 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明 【分析】根据平行线的性质可得∠2＝∠CDE，根据垂直的定义可得∠1+∠FDE＝90°，即可求解． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠2＝∠CDE． ∵EF⊥BD， ∴∠FED＝90°． ∴∠1+∠FDE＝90°． ∴∠1+∠2＝90°． 故答案为：∠1+∠2＝90°或互余． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 50．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，垂足为点，，，求证：． 证明：， __________（ ）， ， ， （______）， （______）， ， ． ____________（______） （______） 【答案】 ， 垂直的定义， 同位角相等，两直线平行； 两直线平行，同旁内角互补； ； ， 内错角相等，两直线平行； 两直线平行，同位角相等 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】证明：， （垂直的定义）， ， ， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【题型二十七】判断是否是命题 51．（24-25七年级下·上海·月考）下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．和相等吗？ C．对顶角相等 D．若，求a的值 【答案】C 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了命题与定理，根据命题的定义对各选项进行判断，熟知判断一件事情的语句，叫做命题是解题的关键． 【详解】解：A、“作两条相交直线”为描述性语言，它不是命题，所以A选项不符合题意； B、“和相等吗？”为疑问句，它不是命题，所以B选项不符合题意； C、对顶角相等，它是命题，所以C选项符合题意； D、“若，求的值”为描述性语言，它不是命题，所以D选项不符合题意． 故选：C． 52．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列定义不合理的是 （填序号）． ①能被2整除的整数叫作“偶数”； ②能写成（n是整数）的数叫作“偶数”； ③1，3，5，7，……叫作“单数”； ④两个数的所有公约数中比较大的公约数叫作“大公约数”． 【答案】③④ 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题主要考查定义的相关知识，根据偶数、奇数、最大公约数的定义解答即可． 【详解】解：①能被2整除的整数叫作“偶数”，正确； ②能写成（n是整数）的数叫作“偶数”，正确； ③1，3，5，7，……叫作“奇数”，故原说法不合理； ④两个数的所有公约数中最大的公约数叫作“最大公约数”，故原说法不合理； 故答案为：③④． 【题型二十八】写出命题的题设与结论 53．探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 【答案】(1)图①：，图②：，见解析 (2)如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、写出命题的题设与结论 【分析】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）如图①根据平行线的性质得出，可得；如图②根据平行线的性质得出，可得； （2）根据（1）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【详解】（1）关系是：图①：，图②：， 如图①∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 如图②∵， ∴ ∵， ∴ ∴． （2）命题：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 【题型二十九】判断命题真假 54．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，已知点、分别在、上，连接、交于点、．有以下三个论断：①；②，③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、判断命题真假 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定： （1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的命题，再判断真假即可； （2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详解】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， ，， ， ， ， ， ， ； 选择①③为题设，②为结论， ，， ， ， ， ∴， ， ； 选择②③为题设，①为结论， ， ， ， ， ， ， 又， ． 【题型三十】举例说明假（真）命题 55．（24-25七年级下·上海青浦·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】B 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题主要考查了假命题，熟练掌握假命题是解题的关键．要说明命题“如果，那么”是假命题，需找到满足条件但结论不成立的例子。 【详解】解：，和为且两角相等，满足命题结论，不能作为反例，故选项A不符合题意； ，，和为，但两角不相等，满足条件且结论不成立，故选项B符合题意； ，，和为，不满足条件，无法作为反例，故选项C不符合题意； ，不满足条件，无法作为反例，故选项D不符合题意； 故选B． 56．说明命题“若，则”是假命题的一个反例的c的值可以是 ． 【答案】 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可． 【详解】解：证明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：， ，则， 命题“若，则”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型三十一】写出命题的逆命题 57．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】不等式的性质、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】此题考查了真假命题和逆命题，不等式的性质等知识．写出逆命题，根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； B. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； C. 原命题的逆命题是：若，则，是假命题； D. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； 故选：C 58．（24-25七年级下·上海·期中）命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是 ．（用“如果…那么…”的形式写出）． 【答案】如果两个角都是锐角，那么这两个角互余 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查了命题的逆命题．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答． 【详解】解：命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是“如果两个角都是锐角，那么这两个角互余”． 故答案为：如果两个角都是锐角，那么这两个角互余． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16章 相交线与平行线 章节（12知识详解+31典例分析） 【知识点01】：邻补角及其性质 1.定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。 2.邻补角的性质:邻补角互补,即互为邻补角的两个角之和为180° 【知识点02】：对顶角及其性质 1.定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。 2.对顶角性质:对顶角相等。 【知识点03】：垂线 1.垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线， 2.垂线的性质： 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)。 【知识点04】：垂线段及点到直线的距离 1.垂线段定义：以已知直线的垂线上的一点（不是垂足，点在直线外）与垂足为端点的线段，叫点到直线的垂线段； 2.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 3.点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度 4.垂线的画法：借助三角尺或量角器来画垂线。 【知识点05】平行线的意义和基本性质 1、平行线的定义 同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 2、平行线的基本性质 （1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； （2）平行线之间的距离处处相等； （3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）． （4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． （5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等． 【知识点06】同位角、内错角、同旁内角(三线八角) 若直线a，b被直线所截： （1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．（如） （2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角 叫做内错角．（如） （3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的 一对角互为同旁内角．（如） 注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系． 【知识点07】平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【知识点08】平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 【知识点09】平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 【知识点10】命题 用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题. 数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 【知识点11】互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题就叫作它的逆命题. 原命题是真命题时，其逆命题不一定是真命题. 【知识点12】证明 1.证明：除了公理之外，真命题需要经过证明才能确认. 证明一个命题为真，先明确“已知”“求证”,再“证明”.其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，“证明”是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程.在初中平面几何中，通常遵循步骤： (1)根据题意画出示意图； (2)根据条件和结论，参照示意图，写出“已知”和“求证”; (3)写出由条件推出结论的完整过程. 2.反例：要判定一个命题是假命题，有时只需举出一个符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子.这样的例子通常称为反例. 【题型一】两点确定一条直线 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）经过三点中的任意两点，可作的直线（   ） A．只有一条 B．一定有三条 C．有三条以上 D．有一条或者三条 2．（23-24七年级下·上海·期中）如图，木匠师傅经过刨平的木板上的，两点，可以弹出一条笔直的墨线，请你解释这一实际应用的数学基本事实是 ． 【题型二】对顶角的定义 3．（24-25七年级下·上海·期中）下列图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·上海·期中）9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有 对． 【题型三】对顶角相等 5．（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线、相交于点，平分，且，那么 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线、相交于点，，求的度数． 【题型四】垂线的定义理解 6．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，已知与交于点，且，垂足为，若， 则 度． 8．如图，已知直线、相交于点，，是的角平分线，请说明的理由． 解：直线、相交于点（已知） （______） （已知） （______） （______） 是的角平分线（已知） （______） （______） 【题型五】画垂线 9．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 10．如图所示，是钝角.（不写作图过程，保留作图痕迹）    (1)画出点A到的垂线段. (2)过点C画的垂线. 【题型六】垂线段最短 11．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，是直线外一点，过点作于点，在直线上取一点，连接，使，在线段上连接．若，则线段的长不可能是（    ） A．3.5 B．4 C．5.5 D．6.5 12．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处开始挖渠才能使水渠的长度最短，请作出图形，并说明这样做依据的几何学原理． 【题型七】点到直线的距离 13．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，，，点B到边的距离是线段 的长． 14．（23-24七年级下·上海金山·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点，    (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F； (3)点M到点N之间的距离是线段________的长； (4)点O到直线的距离是线段________的长． 【题型八】平面内两直线的位置关系 15．（24-25七年级下·上海闵行·月考）下列语句中，正确的有（　　）个． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ④垂直于同一条直线的两条直线垂直． A．1 B．2 C．3 D．4 16．（2024七年级下·上海·专题练习）在同一平面内，两条直线有 种位置关系，它们是 ． 【题型九】用直尺、三角板画平行线 17．（2022七年级下·上海·专题练习）下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　） A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸 18．（24-25七年级下·上海·月考）如图，平面上有两条直线、，点在直线上，按要求画图（不写结论）并填空： (1)过点画直线的垂线，垂足为点； (2)过点画直线交直线于点； (3)过点画直线．由图可知：点到直线距离为线段______的长度． 【题型十】平行公理的应用 19．（22-23七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（　　） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离 D．三角形任意两边之和小于第三边，任意两边之差大于第三边 20．（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知直线a、b、c在同一平面内，如果，，那么直线a、b的位置关系是 ． 【题型十一】平行公理推论的应用 21．若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（   ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交 D．以上都有可能 22．（22-23七年级下·上海·期末）已知直线a、b、c，满足，，那么直线b、c的位置关系是 ． 【题型十二】反证法证明中的假设 23．（24-25七年级下·上海·期中）反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（   ） A． B． C． D． 24．（24-25七年级下·上海·期末）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：如图，“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，应先应假设 ． 【题型十三】用反证法证明命题 25．（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空： 证明：假设a，b，c都不是 ， 不全为0， 中至少有一个为正数， 0，这与已知相 ， ∴ ，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 26．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 【题型十四】同位角、内错角、同旁内角 27．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图所示，下列说法正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 28．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，的同位角是 ；的内错角是 ；的同旁内角是 ．（每空各填一个符合要求的角） 【题型十五】同位角相等两直线平行 29．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知点A、、和点、、分别在同一直线上，，那么 ． 30．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图所示，已知，垂足为B，，垂足为D，．试说明直线与平行． 解，（已知）， ，（____________）， 即、 又（____________）， _____=____________， （____________）． 【题型十六】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 31．在同一平面内有两两不重合的直线、和，，，则直线、的位置关系是（    ） A．互相平行 B．互相垂直 C．相交但不垂直 D．无法判断 【题型十七】两直线平行同位角相等 32．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，直线m、n被直线l所截，已知 那么 33．（22-23七年级下·上海·期中）按下列要求画图并填空：如图，直线与直线相交于O，根据下列语句画图：    (1)过点P作，垂足为E． (2)过点P作，交于点F． (3)若，则 度． (4)点F到直线的距离是线段 的长度． 【题型十八】内错角相等两直线平行 34．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，可以判定的是（    ） A． B． C． D． 35．（22-23七年级下·上海静安·期末）如图，已知点E、D、C、F在一条直线上，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与的位置关系如何？为什么？ 注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式； 解：（1），理由如下： ∵（平角的定义）， （已知）， ∴ （       ）， ∴ （       ）． （2）与的位置关系是： ． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴ ， ∴ （       ）． 【题型十九】两直线平行内错角相等 36．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，已知，下列说法中正确的是（     ）    A． B． C． D． 37．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，四边形中，，则图中所标的四个角中 ． 【题型二十】同旁内角互补两直线平行 38．（23-24七年级下·上海·月考）如图，，则当 时，．    39．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，请说明AB//EF的理由． 【题型二十一】两直线平行同旁内角互补 40．已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 41．（22-23七年级下·上海宝山·期末）如图，直线、被直线所截，如果，，那么 ．    【题型二十二】根据平行线的性质探究角的关系 42．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在直线上． (1)试说明，，之间的关系式；（要求写出推理过程） (2)如果点P在A、B两点之间（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系是否发生变化？（只回答） (3)如果点P在A、B两点外侧（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系．（要求写出推理过程） 【题型二十三】根据平行线的性质求角的度数 43．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知直线、被直线所截，，且，，那么 44．（24-25七年级下·上海普陀·期中）我们知道，插入水中的筷子，从水面上看，水下部分看上去向上弯折了，这是因为光从水中进入空气时发生了折射现象．如图1，线段表示筷子，筷子的底部点A发出的入射光线、进入空气时发生折射，变为折射光线、，两条折射光线的反向延长线的交点D即为我们眼睛看到的筷子底部，所以看上去筷子向上弯折即折线了．如图2，已知，，折射角，折射光线时，求的大小． 解：∵， ∴______°， ∴． ∵， ∴______°．（完成以下解题过程） 【题型二十四】平行线的性质在生活中的应用 45．（24-25七年级下·上海·月考）如图所示，直线、所成的角跑到画板外面去了，如何量出这两条直线所成角的度数．下列几种方法：①在直线上任取一点，过点作直线的平行线，量出与直线所成锐角的度数即为；②在直线上任取一点，过点作直线的垂线交直线于点，量出与直线所成锐角的度数即为；③在画板上任取一点，过点分别作直线、的平行线，量出它们所成锐角的度数即为．可行的是（    ） A． ①② B．②③ C．①③ D．①②③ 46．（24-25七年级下·上海·月考）如图所示，修高速公路需开凿隧道，为节省时间，现从山的两侧、处同时开工．如果在处测得隧道的走向是北偏东，那么在处应按 方向开工，才能使隧道准确接通． 【题型二十五】根据平行线判定与性质求角度 47．（23-24七年级下·上海·期末）如图，，，，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 48．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）某小区车库门口需要用到曲臂直杆道闸，模型如图所示．如果，，，那么 °． 【题型二十六】根据平行线判定与性质证明 49．如图，AB∥CD，EF⊥DB，垂足为点E，则∠1与∠2的关系是 ． 50．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，垂足为点，，，求证：． 证明：， __________（ ）， ， ， （______）， （______）， ， ． ____________（______） （______） 【题型二十七】判断是否是命题 51．（24-25七年级下·上海·月考）下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．和相等吗？ C．对顶角相等 D．若，求a的值 52．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列定义不合理的是 （填序号）． ①能被2整除的整数叫作“偶数”； ②能写成（n是整数）的数叫作“偶数”； ③1，3，5，7，……叫作“单数”； ④两个数的所有公约数中比较大的公约数叫作“大公约数”． 【题型二十八】写出命题的题设与结论 53．探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 【题型二十九】判断命题真假 54．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，已知点、分别在、上，连接、交于点、．有以下三个论断：①；②，③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 【题型三十】举例说明假（真）命题 55．（24-25七年级下·上海青浦·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D． 56．说明命题“若，则”是假命题的一个反例的c的值可以是 ． 【题型三十一】写出命题的逆命题 57．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 58．（24-25七年级下·上海·期中）命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是 ．（用“如果…那么…”的形式写出）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $